最值专题（将军饮马5种类型）讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

最值专题（将军饮马5种类型） 课前评估 总分10分 得分___________ 1．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（0，2），P为y＝ x直线上一点，且△PAB的面积为2，则点P的坐标为___________． ( y A B x O ) ( x O A B y )2．（6分）如图，直线y＝－ x＋3与y轴交于点A，点B（2，a）是直线y＝－ x＋3上一点，点M是线段OB上一动点，过点M作y轴的平行线交AB于点N，点Q为y轴上一动点，使得△MNQ为等腰直角三角形，则点Q的坐标为_____． 【学习目标】 掌握八上知识点涉及到的各类最值问题的解题策略，冲刺期末考试． 【教学重难点】 1．作对称点或垂线；2．灵活运用三角形三边关系（两点之间线段最短）和斜垂关系． 考点1：与三角形三边关系有关的最值问题 知识点与方法技巧梳理： 这类最值问题与三角形的三边关系有关，可利用对称或旋转，将线段或线段和转化到一个三角形中，根据三角形中两边之和大于等于第三边、两边之差小于等于第三边来解决． 如果是求两条线段和的最小值，可以作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点得一条线段，根据“两点之间线段最短”可知，这条线段就是最小值． 模型1：两定一动同侧 【例1】如图，点A和点B都在直线l的同侧，在直线l求一点P，使PA＋PB的值最小． ( A B l ) 【模型应用】 ( A B y x O )1．如图，直线y＝－ x＋b经过点A（4，3），与y轴交于点B，点C是x轴上一动点，求AC＋BC的最小值及此时点C的坐标． 2．如图，直线y＝－ x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点P为x轴上的一个动点，当PC＋PD的长最小时点P的坐标为_________． ( x O A B y C D ) 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，D是BC的中点，E是AB边上的动点，则CE＋ED的最小值是__________． ( A B C D E ) 4．如图，点A（0，3），点B（1，0），点C（3，m），使△ABC的周长最短，则m的值为__________． ( x O y A B ) 模型2：两定一动异侧 【例2】如图，点A和点B在直线l的异侧，在直线l求一点P，使|PA－PB|的值最大． ( A B l ) 【模型应用】 ( x y A B O )如图，在平面直角坐标系中，点A（1，3），点B（5，－1），点P是x轴上一动点，求|PA－PB|的最大值及此时点P的坐标． 模型3：一定两动 【例3】如图，点P是∠AOB内的一个定点，分别在射线OA、OB上求点M、N，使△PMN的周长最小． ( A B O P ) 【模型应用】 1．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，OP＝2，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN的周长的最小值为__________． ( A B O P ) ( B O A P )2．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一点，OP＝2，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN的周长的最小值为__________． 模型4：两定两动 【例4】如图，点P、Q是∠AOB内的两个定点，分别在射线OA、OB上求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． ( A B O P Q ) 【模型应用】 ( y A B O C x E M F N )1．如图，长方形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别是OC、BC的中点，点M、N分别是线段OA、AB上的动点，求四边形EFNM的周长的最小值及此时点M、N的坐标． 2．如图，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点A的坐标为（10，0），C的坐标为（0，8），点D是线段AB上一点，连接OD，将△AOD沿OD翻折，点A的对应点E恰好落在线段BC上． ( y x O A B C D E )（1）求D、E两点的坐标； （2）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形DMNE周长的最小值． ( M O N A B )【模型5】如图，∠MON是定角，点A为OM上的定点，点B为ON上的定点，在ON上求点C，在OM上求点D，使AC＋CD＋DB的值最小． 【模型应用】 ( M N O B D A C )如图，∠MON＝30°，点A在OM上，OA＝2，点D在ON上，OD＝4，点C是OM上的动点，点B是ON上的动点，则AB＋BC＋CD的最小值为__________． 考点2：与斜线段、垂线段大小关系有关的最值问题 知识点与方法技巧梳理： 这类最值问题与斜线段和垂线段的大小关系有关，可通过构造辅助线（连接线段、作垂线等），利用斜线段或折线段大于等于垂线段来解决． ( A B C D Q P )【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为__________． 【例2】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N分别是线段AC、BC上的动点，则BM＋MN的最小值为__________． ( A D B C M N ) 【例3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，D为边AB上一点，AD＝1，E、F分别为边AC、BC上的动点，则DE＋EF的最小值为__________． ( A D B C F E ) 【例4】如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，AH＝1，BH＝2，CH＝3，点D是BC边上的动点（点D不与点B、C重合），将线段BD沿AB翻折得到线段BD1，将线段CD沿AC翻折得到线段CD2，连接D1D2，则四边形BCD2D1的面积的最小值是__________． ( A B C H D 1 D D 2 ) 【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝－4x－4与x轴交于点C，与l1交于点D．点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点Q从点C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止，求点Q在整个运动过程中所用的最少时间及相应的点P的坐标． ( x l 1 l 2 A B y O C D ) 【学习评估】 ( y B A P O x C D )1．如图，直线y＝ x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD最小时，点P的坐标为（ ） A．（－3，0） B．（－6，0） C．（－ ，0） D（－ ，0） ( x y O A B C D )2．如图，点A的坐标是（3，－2），点B的坐标是（3，－1），点C是x轴上一个动点，点D是y轴上的一个动点，则四边形ABCD周长的最小值是__________． ( A B C D P )3．如图，等边△ABC的边长为2，点D为AC的中点，点P为边BC上的动点，则AP＋PD的最小值为__________． 4．如图，线段AB的长为2，直线l垂直平分AB，交AB于点D，点C为l上的动点，连接BC，以BC为边向左作等边△BCE，连接AE、DE，当BE＋DE的值最小时，AE的长是__________． ( l C A B D E ) ( A B C D E )5．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC＋CE的长：__________________．根据上述方法，求出＋的最小值为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 最值专题 课前评估 1．（－4，－2）或（，） 2．（0，）或（0，）或（0，） 考点1：与三角形三边关系有关的最值问题 【模型1】 【模型应用】 1．解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′ 交x轴于点C，连接BC ( A B y x O C B ′ )则此时AC＋BC的值最小 ∵直线y＝－ x＋b经过点A（4，3），∴3＝－ ×4＋b ∴b＝5，∴y＝－ x＋5，∴B（0，5），∴B′（0，－5） ∴AB′＝4，直线AB：y＝2x－5 ∴AC＋BC的最小值为4，此时点C的坐标为（，0） 2．（，0） 提示：由题意可得：A（4，0），B（0，3），C（3，7），D（7，4） 作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，连接PD 则此时PC＋PD的值最小 易得C′（3，－7），直线C′D：y＝ x－ 当y＝0时，x＝ ∴当PC＋PD的长最小时点P的坐标为（，0） 3．3 提示：作点D关于AB的对称点D′，连接BD′、CD′、DD′、ED′则△BD′D是等边三角形 ( A B C D H E D ′ )∴∠BDD′＝∠BD′D＝60°，D′D＝BD＝CD ∴∠DD′C＝∠DCD′＝30°，∴∠BD′C＝90° ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4 ∴BC＝＝ ＝2 ∴BD′＝ BC＝ ∴CD′＝＝3 ∵CE＋ED＝CE＋ED′≥CD′ ∴CE＋ED的最小值是3 ( x O y x ＝ 3 A B C B ′ )4． 提示：易知点C在直线x＝3上，作点B关于直线x＝3的对称点B′ 连接AB′ 交直线x＝3于点C，此时△ABC的周长最短 易得B′（5，0），直线AB′：y＝－ x＋3 ∴m＝－ ×3＋3＝ 【模型2】 【模型应用】 解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′ 并延长交x轴于点P ( x y A B P O B ′ )此时|PA－PB|的值最大，等于线段AB′ 的长 易得B′（5，1），AB′＝2，直线AB′：y＝－ x＋ ∴|PA－PB|的最大值为2，此时点P的坐标为（7，0） 【模型3】 【模型应用】 1．2 ( A B O M N P ′ P ″ P )提示：作OP关于OA的对称线段OP′，作OP关于OB的对称线段OP″ 连接P′P″ 分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN 此时△PMN的周长最小，等于线段P′P″ 的长 由∠AOB＝30°，可得∠P′OP″＝60°，△P′OP″ 是等边三角形 ∴P′P″＝OP′＝2 即△PMN的周长的最小值为2 ( B O A P P ′ P ″ M N H )2．2 提示：作OP关于OA的对称线段OP′，作OP关于OB的对称线段OP″ 连接P′P″ 分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN 此时△PMN的周长最小，等于线段P′P″ 的长 由∠AOB＝6°，可得∠P′OP″＝120°，作P″H⊥P′O交P′O的延长线于H 则∠P″OH＝60°，∴OH＝ OP″＝1，P″H＝ ∴P′H＝3，∴P′P″＝＝2 即△PMN的周长的最小值为2 【模型4】 【模型应用】 1．解：作点E关于y轴的对称点E′，作点F关于AB的对称点F′， ( y A B O C x E ′ F ′ E M F N )连接E′F′ 交OA于点M，交AB于点N，连接ME、FN 此时四边形EFNM的周长最小 易得E（4，0），F（8，3），E′（－4，0），F′（8，9） 可得EF＝5，CE′＝12，CF′＝9，E′F′＝15 ∴EF＋FN＋NM＋ME＝EF＋F′N＋NM＋M′E＝EF＋E′F′＝20 即四边形EFNM的周长的最小值为20 可得直线E′F′：y＝ x＋3 ∴此时点M的坐标为（0，3），点N的坐标为（4，6） 2．解：（1）由题意，OE＝OA＝10 ∴CE＝＝＝6 ( y x O A M N B C D E D ′ E ′ )∴BE＝10－6＝4 设AD＝DE＝x，则BD＝8－x 在Rt△BDE中，4 2＋( 8－x )2＝x 2 解得x＝5，∴D（10，5），E（6，8） （2）作点D关于x轴的对称点D′，作点E关于y轴的对称点E′， 连接D′E′ 交x轴于点M，交y轴于点N，连接DM、NE 此时四边形DMNE的周长最小 易得D′（10，－5），E′（－6，8） 可得BD′＝13，BE′＝16，D′E′＝5，DE＝5 ∴DM＋MN＋NE＋ED＝D′M＋MN＋NE′＋ED＝D′E′＋ED＝5＋5 即四边形EFNM的周长的最小值为5＋5 【模型5】 【模型应用】 2 ( M N O B D A C D ′ A ′ )提示：作点D关于OM的对称点D′，作点A作关于ON的对称点A′，连接A′D′ 与OM交于点C，与ON交于点B 此时AB＋BC＋CD的值最小，等于线段A′D′ 的长 ∠A′ON＝∠D′OM＝∠MON＝30°，∴∠A′OD′＝90° ∴A′D′＝＝ ＝2 考点2：与斜线段、垂线段大小关系有关的最值问题 【例1】 提示：作CH⊥AB于H，交AD于点P，作PQ⊥AC于点Q ( A B C D Q P H )则PC＋PQ的最小值就是线段CH的长 由勾股定理得AB＝10 在△ABC中，由面积法可得CH＝ 即PC＋PQ的最小值为 ( A D B C M N B ′ H O )【例2】 提示：作点B关于AC的对称点B′，连接B′B、B′C、B′M，作B′H⊥BC于H 设B′B交AC于点O ∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5 在Rt△ABC中，由面积法可得OB＝ ∴B′B＝2OB＝ ，OC＝＝ 在△B′BC中，由面积法可得B′H＝ ∵BM＋MN＝B′M＋MN≥B′H ∴BM＋MN的最小值为 【例3】 提示：作点D关于AC的对称点D′，作D′F⊥BC于F，交AC于E 则此时DE＋EF的值最小，等于线段D′F的长 ( D ′ A D B C F E )∵AB＝6，AC＝3，∴BC＝3 ∵AD＝1，∴BD′＝7 ∵S△BCD′ ＝ BC·D′F＝ BD′·AC ∴D′F＝ ＝ 即DE＋EF的最小值为 【例4】 提示：作CE⊥BA交BA的延长线于点E ∵AH⊥BC，∴AB＝＝，AC＝＝ ( A B C H D 1 D D 2 E )由S△ABC ＝ AB·CE＝ BC·AH可得CE＝ ∴AE＝＝，∴AE＝CE ∴∠CAE＝45°，∴∠BAC＝135° ∴∠BAD1＋∠CAD1＝∠BAD＋∠CAD＝135° ∴∠D1AD2＝90°，∴S△AD1D2＝ AD1·AD2＝ AD 2≥ AH 2＝ ∴S四边形BCD2D1＝S△ABC ＋S△ABD1＋S△ACD2＋S△AD1D2 ＝2S△ABC ＋S△AD1D2≥2××5×1＋ ＝ 即四边形BCD2D1的面积的最小值是 ( x l 1 l 2 A B y O C P H l D )【例5】解：易得C（－1，0），∠OAB＝45° 过点D作x轴的平行线l，过点C作CH⊥l于点H，交直线l1于点P， 则点P为所求 设点P在整个运动过程中最少用时t秒 则t＝ ＋ ＝CP＋PH＝CH 即点D的纵坐标，易求D（－3，8） ∴最少用时8秒 把x＝－1代入y＝－x＋5，得P（－1，6） 【学习评估】 1．C 2．1＋2 3． ( A B C D P D ′ H )提示：作点D关于BC的对称点D′，连接PD′、AD′、CD′ 则AP＋PD＝AP＋PD′≥AD′，∠BCD′＝∠ACB＝60° ∴∠ACD′＝120° 作D′H⊥AC交AC的延长线于点H ∴CH＝ CD′＝ ，D′H＝＝ ∴AH＝2＋ ＝ ，∴AD′＝＝ ∴AP＋PD的最小值为 ( l C A B D E F ) ( l C A B D F E )4． 提示：以AB为边向下作等边△ABF，连接AC、EF 则AC＝BC，△ABC≌△FBE ∴AC＝EF，∴EF＝BC＝BE ∴△ABE≌△AFE，∴∠BAE＝∠FAE＝30° ∴BE＋DE＝DE＋EF≥DF 当点E落在线段DF上时BE＋DE的值最小 此时DE＝ AD＝ ，AE＝2DE＝ 5．＋；13 提示：∵BD＝8，CD＝x，∴BD＝8－x ∵AB＝5，DE＝1，∴AC＝，CE＝ ∴AC＋CE＝＋ 如图，作线段BD＝12，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝3，DE＝2，C为线段BD上一动点，连接AC、CE，设CD＝x，则BC＝12－x，CE＝，AC＝ ∴＋＝AC＋CE，＋的最小值为线段AE的长 ( A B C D E F )作EF∥BD交AB的延长线于点F 则BF＝DE＝2，EF＝BD＝12，AF＝5，∴AE＝＝13 即＋的最小值为13 1 学科网（北京）股份有限公司 $$