精品解析：广西壮族自治区贵港市2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024年秋第一次月考九年级数学试卷 一、选择题（共12小题，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 3. 反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 4. 若是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 2015 D. 2016 5. 如图，是一个简单的数值运算程序．则输入的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 27 6. 九年级(3)班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组一共互赠了240本图书．设全组共有x名同学，依题意,列出的方程是（ ） A. x(x+1)=240 B. x(x-1)=240 C. 2x(x+1)=240 D. x(x+1)=240 7. 双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中的解析式为，过图象上的任意一点，作轴的平行线交图象于，交轴于，若，则的解析式是 A. B. C. D. 8. 下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 11. 如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A. x＜﹣1或0＜x＜2 B. x＜﹣1或x＞2 C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D. ﹣1＜x＜0或x＞2 12. 如图所示在平面直角坐标系中，矩形，，，在坐标轴上，，若反比例函数过点则反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，共12分） 13. 反比例函数的图象经过点，则函数的解析式为____________． 14. 把一元二次方程（x-3）2=4化成一般形式为：__________ 15. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 16. 据源源了解：赫山大明眼镜店近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例.已知500度近视眼镜镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为_____________ 17. 已知正比例函数y=-2x与反比例函数的图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为_______． 18. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 三．解答题（共8小题，共72分） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表： 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 8 6 3 1 1 （1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数； （2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数． 22. 已知代数式，-2x2+4x-18 （1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数． （2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？ 23. 如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 24. 如图，在中，，点P从A点出发，以1的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，运动时间为t秒． （1）用t表示长为______，长为______； （2）经过几秒后的面积等于？ 25. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与y轴的交点为C． （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求的面积． 26. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋第一次月考九年级数学试卷 一、选择题（共12小题，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 3. 反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 【答案】A 【解析】 【分析】对于函数y=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1－k＜0， ∴k＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误． 4. 若是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 2015 D. 2016 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，再整体代入要求的代数式即可完成 【详解】由是关于的方程的解， 得： ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 5. 如图，是一个简单的数值运算程序．则输入的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意列出方程：，解方程即可求得答案． 【详解】根据题意得： 简单的数值运算程序为：， 化简得：， ∴， 解得：或． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 6. 九年级(3)班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组一共互赠了240本图书．设全组共有x名同学，依题意,列出的方程是（ ） A. x(x+1)=240 B. x(x-1)=240 C. 2x(x+1)=240 D. x(x+1)=240 【答案】B 【解析】 【分析】全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x-1）本，则总共送出的图书为，即可列出方程 【详解】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x-1）本； 则总共送出的图书为x（x-1）本； 又知实际互赠了240本图书， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程，弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题关键 ． 7. 双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中的解析式为，过图象上的任意一点，作轴的平行线交图象于，交轴于，若，则的解析式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设y 2= ，根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S △OAC= ×4=2，S △OBC= k 2，由S △AOB=1得到 k 2-2=1，然后解方程即可． 【详解】设y 2= ，  ∵AB∥x轴，  ∴S △OAC= ×4=2，S △OBC= k 2，  ∴S △AOB= k 2-2=1，  ∴k 2=6, ∴的解析式为．  故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 8. 下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝()的函数是反比例函数． 【详解】①∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ②，不是反比例函数，不合题意； ③∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ④（为常数，且），是反比例函数，符合题意； 是反比例函数的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y＝()的函数是反比例函数． 9. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 10. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数（ ），当时，函数在第二象限，y随x增大而增大；当时，函数在第四象限，y随x增大而减小，比较函数大小得出结论． 【详解】如图， 函数（ ），当时，点A（1，）在第四象限， ； 当时，点B、点C在第二象限，函数值大于零，且y随x增大而增大， ； 综合以上信息可得： ． 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图像性质，牢记反比例函数图像特征是解题关键． 11. 如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A. x＜﹣1或0＜x＜2 B. x＜﹣1或x＞2 C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D. ﹣1＜x＜0或x＞2 【答案】D 【解析】 【详解】析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围． 解答：解：∵函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M（2，m），N（-1，n）， ∴当y1＞y2时，那么直线在双曲线的上方， ∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞2． 故选D． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围． 12. 如图所示在平面直角坐标系中，矩形，，，在坐标轴上，，若反比例函数过点则反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作轴于，过作轴于，设与轴交于，得到，，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，过作轴于，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，设反比例函数解析式为，于是得到结论． 【详解】过作轴于，过作轴于，设与轴交于， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 过作轴于， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设反比例函数解析式为， ， 反比例函数解析式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（共6小题，共12分） 13. 反比例函数的图象经过点，则函数的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为反比例函数的图象经过点，所以把点代入得：k=-6，所以函数的解析式为． 考点：反比例函数 14. 把一元二次方程（x-3）2=4化成一般形式为：__________ 【答案】x2-6x+5=0 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），据此即可求解． 【详解】移项得：（x-3）2-4=0，展开完全平方得：x2-6x+9-4=0，整理得：x2-6x+5=0. 【点睛】理解一元二次方程的一般形式，正确对方程进行变形是解决本题的关键． 15. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 16. 据源源了解：赫山大明眼镜店近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例.已知500度近视眼镜镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接列式计算求出值，问题随之得解． 【详解】解：根据题意得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求解反比例函数解析式的知识，明确题意是解答本题的关键． 17. 已知正比例函数y=-2x与反比例函数的图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为_______． 【答案】（1，-2） 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可： 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是（-1，2）， ∴另一个交点的坐标是（1，-2）． 故答案为：（1，-2）． 18. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足．据此求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， 故答案为∶ 且． 三．解答题（共8小题，共72分） 19. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先计算乘法、乘方，然后进行加法运算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得，． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1） 如下直线l即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表： 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 8 6 3 1 1 （1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数； （2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数． 【答案】（1）众数为1、中位数为2、平均数为 （2）估计为“优秀”等级的女生约为50人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数． 【小问1详解】 解：女生进球数的平均数为（个）， 女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个）， 女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计为“优秀”等级的女生约为50人． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，用样本件估计总体，掌握中位数，平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键． 22. 已知代数式，-2x2+4x-18 （1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数． （2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？ 【答案】 （1）∵-2x2+4x-18=-2（x2-2x+9）=-2（x2-2x+1+8）=-2（x-1）2-16， -2（x-1）2≤0， ∴-2（x-1）2-16＜0， ∴-2x2+4x-18无论x取何值，代数式的值总是负数； ⑵-16 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据配方法的步骤把代数式-2x2+4x-18进行配方，即可得出答案； （2）根据（1）的结果即可直接得出代数式的最大值． 试题解析：（1） 略 （2）∵-2x2+4x-18=-2（x-1）2-16， ∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16． 23. 如图，某小区建一长方形电动车充电棚，一边靠墙（墙长15米），另三边用总长25米的栏杆围成，留1米宽的门，若想要建成面积为80平方米的电动车充电棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】车棚垂直于墙的一边的长为8米 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，根据电动车充电棚的面积为80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长15米，即可得出结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 依题意得：， 整理得， 解得：． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：车棚垂直于墙的一边的长为8米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，在中，，点P从A点出发，以1的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，运动时间为t秒． （1）用t表示长为______，长为______； （2）经过几秒后的面积等于？ 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，含的直角三角形．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用，含的直角三角形是解题的关键． （1）由题意知，，，则，然后作答即可； （2）由题意知，，如图，作于，则，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，， 如图，作于， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴经过2秒后的面积等于． 25. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与y轴的交点为C． （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）将，代入得，，，可求，则，，将，代入，可求，进而可得； （2）当时，，则； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，，， 解得，， ∴，， 将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 【小问3详解】 解：，， ∴， ∴的面积为． 26. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） （3）11或13 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 【小问3详解】 ①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $