广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题

2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试 数 学 试 题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数z满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．4 8．是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．当时，的值域为 D．若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多 人 13．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 14．已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则 ，的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 16．已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值； (3)求与平面所成角的正弦值． 19．已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 (1)求的值； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试数学参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C B C C ABD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由题可知，，所以， 故选：D． 2．C 【分析】根据复数运算求得，进而求得. 【详解】由得， 两边乘以得， 所以. 故选：C 3．B 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 4．C 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 5．C 【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 6．B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 7．C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得. 【详解】取中点，连接，则， 而平面， 于是平面，，， 又，则， 解得，，而，则， ， 所以三棱锥的体积为. 故选：C    8．C 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 9．ABD 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D. 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A正确； 因为， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C错误； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】根据三角恒等变换化简，即可利用平移以及奇函数的性质求解，由周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD. 【详解】由， 得， 故， 由于为奇函数，故， 由于，故取，则， 故， 对于A，最小正周期为，A错误， 对于B，由于，故B正确， 对于C，当时，则，故，故的值域为，C正确， 对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确，    故选：BCD 11．ABD 【分析】A选项，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变；B选项，找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小；CD选项，找到点轨迹，计算可得. 【详解】对A：如图：    当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确； 对B：如图      当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确； 对C：如图：    因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误； 对D：如图：      使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：与立体几何有关的轨迹问题，关键是要弄清楚动点的轨迹形状. 12．9 【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，最后计算出中年人比青少年多多少个. 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人， 由分层随机抽样可知，， 解得，， 故中年人比青少年多9人， 故答案为：9. 13．26 【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可. 【详解】中，，,.所以. 在中，运用正弦定理，可得，代入值求得， 由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米. 故答案为：26. 14． 1 【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案. 【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示： 由图象可知：且 因为， 所以， 由，可得， 因为，所以 所以，整理得； 当时， 令，可得， 由韦达定理可得 所以， 因为且， 所以或，则或， 所以 故答案为：1，． 【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题. 15．【详解】（1）因为，， 所以，， 又，所以，得到. （2）因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16．【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. （2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 17．【详解】（1）由频率分布直方图有，解得， 因为，所以中位数在区间内，设为x，则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18． 【详解】（1）由已知，，因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面. （2）由已知平面，平面，所以，又， 所以直线两两垂直，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，设平面的法向量为，则 ，所以，取，可得，， 所以为平面的一个法向量，又为平面的 法向量， 设二面角的平面角为，所以， 观察可得，所以，所以， 所以二面角的正切值为. （3）因为，，所以， 因为平面平面，为平面的一个法向量， 所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值为. 19．【详解】（1）设，函数过，代入，即，解得，则.定义域为的奇函数，则，解得，则， 由于，解得，则. 检验：，则满足题意.则. （2），即， 即存在，使得成立. 由于，越大，则由指数单调性知道越大， 则也变大，变小，变小.则在定义域内单调递减. 即存在，使得成立. 即存在，使得. 则对于，使得即可. 对于， ，则. （3）恰有2个零点,即有两个不同根. 即有两个不同根. 由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可. 则有两个不同根即可. 令，q与x个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即.实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$