精品解析：上海市闵行中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期高一期中质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分、1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，集合，若，则_________. 2. 已知集合，用列举法表示集合为___________. 3. “或”的否定形式为______． 4. 不等式的解集为______. 5. 已知幂函数的图像经过点，则实数的值为______． 6. 已知方程的两个根为和，则______. 7. 已知，则=______． 8. 已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________. 9. 若，，且，则的最大值为__________. 10. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 11. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 12. 若“对于任意的实数，关于的不等式在区间上总有解”是真命题，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 第一象限的点组成的集合可以表示为（ ） A. B. C. 且 D. 或 14. 函数的图象是（ ）． A. B. C. D. 15. 如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 三、解答题（本大题满分78分，共有5题） 17. 设，比较与的大小 18. 已知全集，集合. （1）求集合A和B； （2）求和. 19. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. （1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? （2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 20. 使不等式对一切实数恒成立的的取值范围记为集合，不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 21. 集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． （1）判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”，证明是奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高一期中质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分、1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，集合，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合，又因为，所以， 则， 故答案为：. 2. 已知集合，用列举法表示集合为___________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据集合描述法得到集合的列举法表示. 【详解】由可得， ， 故答案为： 3. “或”的否定形式为______． 【答案】“且” 【解析】 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【详解】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 4. 不等式的解集为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解步骤求解即可. 【详解】，所以，所以或， 所以的解集为或. 故答案为：或 5. 已知幂函数的图像经过点，则实数的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入幂函数表达式即可求解. 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以，解得. 故答案为：4. 6. 已知方程的两个根为和，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程有实根，则， 所以. 故答案为：14 7. 已知，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 8. 已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 9. 若，，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，，则，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 10. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 11. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围. 【详解】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 12. 若“对于任意的实数，关于的不等式在区间上总有解”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先将问题转换为即可，其中，，这当然得对取分类讨论求的最大值（与有关），再根据相应的的范围即可得到此时的范围，由此即可得解. 【详解】由题意，使得， 不妨令，故只需即可， 当时，， ，有，，所以，即此时满足题意； ，有，， 不妨令， ，有，，即此时满足题意， ，有，，即此时满足题意； ，有，，所以，即此时满足题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先将问题转换为，使得，思路一定要明确，此时先对分类讨论求，由函数不等式恒成立、能成立问题的理论去解决即可. 二、选择题（本大题满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 第一象限的点组成的集合可以表示为（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点集的表示方法，即可求解. 【详解】第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即且， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为且. 故选：C 14. 函数的图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，继而根据幂函数的奇偶性和单调性进行判断即可得答案． 【详解】由题意得，故函数的定义域为R，为偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 故选项，错误， 又当时，，即当时，图象上升的趋势较平缓， 由图象观察可知选项A错误，正确， 故选：． 15. 如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 16. 已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可． 【详解】解：①当时，若，则，此时，,所以； 当，时，此时，，所以， 故“”是“”的充分条件； ②当时，若，此时， 当，此时，不满足题意， 当时，，符合题意，此时； 若，此时， 当时，，不符合题意； 当时，，满足题意，此时， 故“”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C 三、解答题（本大题满分78分，共有5题） 17. 设，比较与的大小 【答案】 【解析】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 18. 已知全集，集合. （1）求集合A和B； （2）求和. 【答案】（1）或，或. （2）或，. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式和绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，即可求得集合. （2）由（1）中的集合，集合集合的交集、并集和补集的概念及运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，可得，即， 解得或，即或， 又由不等式，可得或，解得或， 所以或. 【小问2详解】 解：由（1）知或，或， 根据集合交集的概念及运算，可得或， 根据集合并集的概念及运算，可得或， 所以. 19. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. （1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? （2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 【答案】（1）或（单位：） （2）当时，矩形的面积最小，为. 【解析】 【分析】（1）设，表示出，再表示出矩形的面积，解不等式可求的取值范围. （2）利用基本（均值）不等式求最小值及对应的的长度. 【小问1详解】 设，， 因为即. 所以矩形的面积为. 由，因为，所以，所以或. 即或（单位：）. 【小问2详解】 因为矩形的面积为. 所以，（当且仅当即时取“”）. 所以当时，矩形的面积最小，为. 20. 使不等式对一切实数恒成立的的取值范围记为集合，不等式的解集为. （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； （3）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，解一元二次不等式可得集合. （2）当时，根据一元二次不等式的解集为，可求参数的取值范围，得到集合. （3）问题转化成，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，由. 所以，所以集合. 【小问2详解】 当时，由的解集为的解集为， 显然不合题意； 若，则必有且. 所以此时. 【小问3详解】 当时，由对一切实数恒成立，所以， 所以. 由. 所以当时，；当时，；当时，. 由“”是“”的充分条件，可得. 所以：当时，，此时； 当时，，此时； 当时，由，此时. 综上：，即的取值范围是： 【点睛】关键点点睛：根据集合的包含关系求参数的取值范围的时候，要注意分类讨论，还要注意：空集是任意集合的子集. 21. 集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． （1）判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】（1）不是“可分集合”，为“可分集合” （2） 不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3） 设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【解析】 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【小问1详解】 解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $