精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025 学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义可求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】因为，，所以， 因此. 故选：B 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可得到命题的否定. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以其否定为. 故选：C. 3. 下列各组函数表示同一函数的是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数为同一个函数：（1）定义域相同；（2）表达式相同. 【详解】A选项，定义域：，定义域：，两个函数定义域不同，故不为同一函数，A选项错误； B选项，，∴定义域：，定义域：，两个函数定义域不同，故不为同一函数，B选项错误； C选项， 定义域：，定义域：，且，，两个函数定义域相同且表达式相同，故为同一函数，C选项正确； D选项，定义域：，定义域：，两个函数定义域不同，故不为同一函数，D选项错误. 故选：C. 4. “”是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 因为“”是“或”充分不必要条件， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断AC；利用作差法即可判断BD. 【详解】因为，所以，，故AC错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，故B错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数为奇函数,且当时, ,则 A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以，故选A. 7. 若正实数x，y，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得. 【详解】若正实数x，y，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 8. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由不等式解集可求，代入求解即可. 【详解】由题意知：，则有， ∴，解之得， 故选：B 9. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式中的式子有意义，即可求得定义域. 【详解】根据函数解析式可知需满足， 解得且； 即该函数定义域为. 故答案为： 11. 已知函数，则的值是 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为： 12. 若幂函数在单调递减，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】 幂函数具有的形式 【详解】为幂函数 故，故或 或 在单调递减，故 故答案为： 13. 已知函数,,则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为奇函数,计算即可. 【详解】由题,设,易得为奇函数.故, 即. 故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了奇函数的运用,属于基础题型. 14. 已知、为正实数，且，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为、为正实数，由基本不等式可得， 即， 因为，所以，，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 15. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，函数在上递减，且，即可得到不等式组，解出即得解． 【详解】由题意得，. 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 求解下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）或 （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）（2）因式分解即可求解； （3）去绝对值即可求解； （4）原不等式等价于，且，即可求解. 【小问1详解】 由可得，即， 解得或， 故原不等式的解集为或. 【小问2详解】 由可得： 解得：， 所以不等式的解集为：. 【小问3详解】 由原不等式可得：可得：或， 解得或， 故原不等式的解集为：或 【小问4详解】 由可得， 即：，且， 解得， 故原不等式的解集为. 17. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合交集，并集，补集的定义计算即可； （2）由题意得，再根据集合B是否为空集分类讨论即可. 【小问1详解】 ①由题意知，因此， 又，所以； ②因为或，所以. 【小问2详解】 由可得， 当时，，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，； 故实数m的取值范围是. 18. 设 （1）若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： （2）解关于x的不等式 的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）注意分类讨论，直接说明，时，由二次不等式恒成立得关系式； （2）按与的大小关系分类讨论可得． 【小问1详解】 由已知在上恒成立，即恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，，解得， 综上，； 【小问2详解】 由已知不等式为，即， ， ∵， ∴， 当时，不等式的解为， 当时，，不等式的解为或， 当时，，不等式的解为或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （3）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 设任意、，且， 则， 因为，则，所以，。， 又，，所以，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及函数所过点求解； （2）判断函数的单调性，利用定义证明即可； （3）令，化简函数的解析式为，结合函数的单调性可求得函数在上的值域. 【小问1详解】 因为函数函数是定义在上的奇函数， 则，则，解得， 所以，， 又因为，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于函数，任取、，且， 则，所以，，，，， 则， 即，即，所以函数在上单调递减， 当时，令， ， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 因为，，显然，则， 所以，，故， 因此，当时，函数的值域为. 附加题：填空 （本大题共1小题共10分） 20. 设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为__________________________ 【答案】## 【解析】 【分析】将化为，利用基本不等式可求出时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案. 【详解】由题意知正实数，，，满足， 即，则， 则， 当且仅当，即时取等号，故，即最大值为， 此时，故， 当，即时，取最大值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化为单变量问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “”是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数,且当时, ,则 A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 7. 若正实数x，y，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域是___________. 11. 已知函数，则的值是 __________. 12. 若幂函数在单调递减，则___________ 13. 已知函数,,则的值为______. 14. 已知、为正实数，且，则的最小值是_______. 15. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为__________. 三、解答题（本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 求解下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4） 17. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 18. 设 （1）若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： （2）解关于x的不等式 的解集. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （3）若，求函数的值域. 附加题：填空 （本大题共1小题共10分） 20. 设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为__________________________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $