17.4直角三角形全等的判定 同步练习题 2024-2025学年冀教版八年级数学上册

2024-2025学年冀教版八年级数学上册《17.4直角三角形全等的判定》同步练习题（附答案） 一．选择题 1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 2．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 3．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确 4．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 5．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 6．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 7．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等 8．下列说法，正确的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形 D．两边分别相等的两个直角三角形全等 9．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论中不成立的是（　　） A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE与△CBE不一定全等 D．∠1＝∠2 10．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．无法确定 二．填空题 11．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等． 12．两个锐角分别相等的直角三角形　 　全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．（不添加字母和辅助线） 14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　 　°． 15．如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝　 　时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等． 16．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 　 　分钟后，△CAP与△PQB全等． 17．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连接AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝　 　cm． 18．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　 　． 三．解答题 19．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）△OBC是何种三角形？证明你的结论． 20．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC． 21．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O （1）图中有几对全等的直角三角形？请你选择其中一对进行证明； （2）连接OA、BC，试判断直线OA、BC的关系并说明理由． 23．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 24．如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB． 操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD于点F，交AC所在直线于点E，连接DE． （1）猜想△CDE的形状； （2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形； （3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由． 参考答案 1． 选择题 1．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意； 故选：D． 2．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：D． 3．解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD， 故选：B． 4．解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：A． 5．解：在Rt△AOB和Rt△COD中， ， ∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL）， 则如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是HL， 故选：A． 6．解：∵在△ABC中，∠C＝90°， AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E， ∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB， ∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°， ∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°， ∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°． 故选：B． 7．解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C； 而B构成了AAA，不能判定全等； D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等． 故选：D． 8．解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误； B、到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确； C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误； D、若一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的两个直角边相等则这两个直角三角形不全等，错误； 故选：B． 9．解：∵AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，∠DEA＝∠CEB ∴△DAE≌△CBE（C不正确） ∴∠DAE＝∠CBE（A正确） CE＝DE（B正确） ∵AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB ∴△ABC≌△ABD ∴∠DAB＝∠CBA ∵∠DAE＝∠CBE ∴∠1＝∠2（D正确）． 故选：C． 10．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC＝90°， ∠GDC+∠FDC＝90°， ∴∠EDF＝∠GDC， 于是在Rt△EDF和Rt△CDG中， ， ∴△DEF≌△DCG， ∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1， 所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1． 故选：A． 二．填空题 11．解：添加的条件是：AB＝DF， 证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∴∠ACB＝∠DEF＝90°， ∵AB∥DF， ∴∠ABC＝∠DFE， ∴添加AB＝DF， 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（AAS）， 故答案为：AB＝DF（答案不唯一）． 12．解：当还有一条边对应相等时，两直角三角形全等； 当三角形的边不相等时，两直角三角形不全等； 即两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等， 故答案为：不一定． 13．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等， ∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC． 故答案为：AB＝DC（答案不唯一） 14．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中 ∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠EAC+∠ABD＝90°， ∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°， ∴∠ACD+∠BDC＝90°， 故答案为90． 15．解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD， ∵BC＝8，BP＝2， ∴PC＝6， ∵AB⊥BC、DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， 在△ABP和△PCD中， ∴△ABP≌△PCD（SAS）， 故答案为：2． 16．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， 设运动x分钟后△CAP与△PQB全等； 则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m， 分两种情况： ①若BP＝AC，则x＝4， AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ， ∴△CAP≌△PBQ； ②若BP＝AP，则12﹣x＝x， 解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC， 此时△CAP与△PQB不全等； 综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等； 故答案为：4． 17．解：当P在A点的右侧时，AC不可能等于AQ，要使三角形全等，只能AC＝AB 要使△AFC与△ABQ全等， 则应满足， ∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm， 设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4， ∴x＝4， ∴AQ＝12（cm）， 当P在A点的左侧时，若AC＝AQ（即C，Q重合），可得AQ长为2； 若AC＝AB，可得AQ长为， 故答案为：12或2或． 18．解：连接AP， 在Rt△ASP和Rt△ARP中， ∴Rt△ASP≌Rt△ARP（HL）， ∴①AS＝AR正确； ∵AQ＝PQ， ∴∠QAP＝∠QPA， 又∵Rt△ASP≌Rt△ARP， ∴∠PAR＝∠PAQ， 于是∠RAP＝∠QPA， ∴②PQ∥AR正确； ③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②． 三．解答题 19．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90° AC＝BD，BC为公共边， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）； （2）△OBC是等腰三角形， ∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形． 20．证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在△BED和△CFD中，， ∴△BED≌△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． 21．证明：∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE． ∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE． ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL） 22．解：（1）△ABE≌△ACD，△ADO≌△AEO，△DOB≌△EOC； ∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ADC和△AEB中， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）AO垂直平分BC， 连接AO并延长交BC于F， ∵△ABE≌△ACD， ∴AE＝AD，∠ABO＝∠ACO， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即DB＝EC， 在△DBO和△ECO中， ∴△DBO≌△ECO（AAS）， ∴BO＝CO， ∴点O在BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC． 23．解：全等三角形为：△ACD≌△CBE． 证明如下： 由题意知∠CAD+∠ACD＝90°， ∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE． 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． 24．解：（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，容易猜想到△ACD≌△BEC，那么CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形； （2）据要求画出图形如下： （3）结论成立； 证明：∵∠ACB＝90°，AF⊥BE， ∴∠FDB+∠FBD＝90°，∠EBC+∠CEB＝90°， ∴∠FDB＝∠CEB； 又∵∠FDB＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠CEB； ∵在三角形ACD和三角形BCE中， ∴△ACD≌△BEC； ∴CD＝CE， ∴△CDE是等腰直角三角形．即猜想△CDE是等腰直角三角形结论成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$