精品解析：辽宁省大连市中山区 2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

九年级阶段质量检测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如这样的式子，叫做是的二次函数，其中，、、是常数）解决此题． 【详解】解：A．，是的二次函数，故A选项符合题意； B．，是关于的一元二次方程，故B选项不符合题意； C．，不是二次函数，，故C选项不符合题意； D．，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数，函数经过第一、三象限问题可解； 【详解】解：∵， ∴反比例函数位于第一、三象限； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质和图象是解题的关键． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别过点和点作轴和轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：D． 5. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 6. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，随的增大而减小 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 7. 某工厂现有原材料，平均每天用去，这批原材料能用天，则与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数解析式，利用“工厂现有原材料，平均每天用去，这批原材料能用天”，即可列出解析式，正确运用得出解析式是解此题的关键． 详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 8. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 10. 已知，为二次函数图象上两点，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴右边，y随着x的增大而减小，从而得到因变量的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴右边，y随着x的增大而减小， ∴关于直线的对称点的坐标为：， ∵， ∴，即． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则α为____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 利用旋转的性质求出的度数，再根据平行得到即可求解计算． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，把代入反比例函数得关于m的方程，即可得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ， 解得：， 经检验是方程的根， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得,根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得,进而完成解答． 【详解】解：∵是的直径，于点， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数的最大值是__________ 【答案】5 【解析】 【详解】试题解析：y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∵开口向上， ∴当x=-2时，有最大值：ymax=5. 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）整理后，用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原方程整理得， ， ∴或， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点关于原点成中心对称的对称点，再连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图——中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 18. 一辆小汽车从甲地出发前往的乙地． （1）写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式； （2）若，直接写出的取值范围____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质． （1）根据题意可得，变形后即可得出平均速度与所用时间的函数解析式； （2）分别求出当，时的值，再根据反比例函数的性质即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得：，即， 平均速度与所用时间的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 当时，， ∵在第一象限内随时间的增大而减小， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 19. 如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 20. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：． （1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式； （2）设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； 【小问1详解】 解：设， 将代入， ． 解得：． ； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元． 则可得 ， 当时，取最大值为， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 21. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据点及顶点坐标，然后设抛物线的顶点式求解即可； （2）求出函数解析式中时的值即可得出答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：根据题意可得，抛物线顶点坐标是， 设关于的函数表达式为，抛物线过， ， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中， 令得， 解得或（舍去）， 运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米． 22. 问题情境： 数学活动课上，张老师提出以下问题： 如图，中，，． 动手操作： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作交延长线于点． （1）补全图形： 实践探究： （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； 综合应用： （3）过点作于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）由旋转的性质可得，则，证明得到．再由平行线的性质得到，．则．据此可证明； （3）如图所示，过点作于点，可证明．得到．由勾股定理建立方程可求出时，．再由全等三角形的性质得到，．由等面积法求出．则． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2），证明如下： 由旋转性质可得， ， ， ，， ． ，． ． ； （3）如图所示，过点作于点， ． ， ． ． ，，在中，由勾股定理得． ． ∴ 解得或． 当时，中，，不符合题意，舍去． ∴时，． 由（2）得， ，． ． ． ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，画旋转图形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点的“升幂点”，称函数为函数的“升幂函数”，点在函数的图象上． 例如：函数的图象上任意一点，点为点的“升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）点的“升幂点”的坐标为______________； （2）点在函数的图象上，点的“升幂点”是点，求的值； （3）点在函数的图象上，点“升幂点”为点，点在函数的“升幂函数”的图象上．过点作轴的平行线，与函数的图象交于点，与函数的图象相交于点．设点的横坐标为，若，求的值． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“升幂点”的定义求解即可； （2）点的坐标为，则点的“升幂点”坐标为，再结合点的坐标求解即可； （3）设点的坐标为，进而得到“升幂点”点的坐标为，“升幂函数”为，再根据轴，轴，得到、两点的坐标，进而求出，，再根据得到关于的一元二次方程，求解即可． 小问1详解】 解：点的“升幂点”的坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 点的“升幂点”是点， 点的坐标为， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：点在函数上， 设点的坐标为， 点的“升幂点”是点， 点的坐标为，且在函数的“升幂函数”的图象上， 点在函数上，且轴， 点与点关于对称轴直线对称， 点的坐标为， 点在函数上，且轴， 点的坐标为， ，， ， ， 或， 若，则， ， ， 若，则， ， ， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，求反比例函数解析式，坐标与图形，一元二次方程的求解等知识，理解“升幂点”和“升幂函数”的定义，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级阶段质量检测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A B. C. D. 5. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 6. 对于函数，下列说法正确的是（　　） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，随的增大而减小 C. 随增大而减小 D. 随的增大而增大 7. 某工厂现有原材料，平均每天用去，这批原材料能用天，则与之间的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为二次函数图象上两点，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则α为____________． 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是____________． 14. 如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为____________． 15. 已知二次函数的最大值是__________ 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 18. 一辆小汽车从甲地出发前往的乙地． （1）写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）函数解析式； （2）若，直接写出的取值范围____________． 19. 如图，是直径，弦于点，若，．求的半径． 20. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润多少？ 21. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 22. 问题情境： 数学活动课上，张老师提出以下问题： 如图，中，，． 动手操作： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作交延长线于点． （1）补全图形： 实践探究： （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； 综合应用： （3）过点作于点，若，，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点的“升幂点”，称函数为函数的“升幂函数”，点在函数的图象上． 例如：函数的图象上任意一点，点为点的“升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）点的“升幂点”的坐标为______________； （2）点在函数的图象上，点的“升幂点”是点，求的值； （3）点在函数的图象上，点“升幂点”为点，点在函数的“升幂函数”的图象上．过点作轴的平行线，与函数的图象交于点，与函数的图象相交于点．设点的横坐标为，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$