精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2024—-2025学年九年级上学期学习活动（月考）数学试卷

九年级数学第一次学习活动 一、选择题（3*10=30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 6. 如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D. 它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（3*7=21分） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 当______时，关于的方程是一元二次方程． 13. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 14. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 15. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O旋转得到线段，则此时点的坐标为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为_____． 三、解答题（共69分） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 20. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）在x轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？ 22. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人，并补全条形统计图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________； （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ 23. 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；并写出y随x如何变化； （2）求顶点D的坐标以及的面积； （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次学习活动 一、选择题（3*10=30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意 故选：A． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形定义是解题的关键解题． 根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后对称轴两旁的部分互相重合即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． 故选． 4. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 5. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，解之可得x的取值，进而可得三角形三边可能的边长，由此可得三角形的周长． 【详解】解：把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， ∵， ∴三角形三边为4、4、2， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，能够熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 6. 如图，中，，，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可． 【详解】， ，，， ， ， ． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D. 它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式，对称轴的计算，增减性，平移的性质即可求解． 根据题意，把二次函数化成顶点式可判定，选项，根据图象开口，增减性可判定选项，根据图象的平移可判定选项，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，故选项正确，不符合题意； 当时，有最小值，故选项正确，不符合题意； 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故选项正确，不符合题意； 根据平移的规律，的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，故选项说法错误，符合题意． 故选：． 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题(一元二次方程的应用)，因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，结合第三季度生产零件196万个，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个 ∴八月份生产零件万个，九月份生产零件万个， ∵第三季度生产零件196万个 ∴ 故选：C 9. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到，进而得到函数经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解． 【详解】解：令y=0，则， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∵， ∴， ∴函数经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点，Δ＝b2﹣4ac＞0，即可判断②，根据函数图象即可判断③⑤，由抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，当时，取得最小值，最小值为，即可判断④ ． 【详解】①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴， ∴a＞0，﹣＝1，c＜0， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，结论①不正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，结论②正确； ③∵当x＝0时，y＜0，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＜0， 即4a+2b+c＜0，结论③不正确； ④∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数m,有am2+bm+c≥a+b+c， ∴a+b≤m（am+b）（m为任意实数），结论④正确； ⑤∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与系数的关系，抛物线与轴交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（3*7=21分） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标．根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 当______时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 【点睛】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 13. 已知方程可以配方成的形式，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 14. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 15. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O旋转得到线段，则此时点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作轴于点B，根据旋转的性质可得，，利用平角的定义得出，解直角，求出，，进而得到点的坐标． 此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 【详解】解：如图1，将线段绕点O沿逆时针方向旋转线段， 过点作轴于点B， ，， ， 在直角中，，， ， ∴， 点的坐标为． 如图2，将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， 过点作轴于点B， ，， ． 在直角中，，， ， ∴， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为_____． 【答案】10096． 【解析】 【分析】由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题. 【详解】由图象可知点在轴上， ，，， ， ，，，… ， 点横坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型. 三、解答题（共69分） 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ∴ 【小问2详解】 解： ， ， ∴ 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 20. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）在x轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如下图所示即为所求， ； （2） 如下图所示即为所求； （3） 点即为所求如下图所示， 【解析】 【分析】（1）根据旋转角和旋转方向分别画出点、、的对应点、、，连接点、、可得，根据图形所在的位置得出点的坐标； （2）根据关于原点对称的性质画出分别画出点、、的对应点、、，连接点、、，可得； （3）作点关于x轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：连接，在第二象限作， 连接，在第二象限作， 连接，作， 连接点、、可得：， 即为所求， 从图中可以看出点的坐标是； 【小问2详解】 解：连接并延长到使， 连接并延长到使， 连接并延长到使， 连接、、可得， 即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知点、关于轴对称， 连接交于点D， 根据两点之间线段最短可知此时最短， 根据对称性质可知， 此时， 此时使的值最小， 此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到三角形三个端点的对应点，顺次连接对应点得到相应的图形． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元 （2）定价70元，最大利润为1800元 【解析】 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）由题意得，当时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值． 本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． 【小问1详解】 解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； 【小问2详解】 解：由题意得，∵时，每天可售出100盒， ∴当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒， ， 配方，得：， ， ∴开口向下， 当时，取最大值，最大值为元． 答：关于的函数解析式为，且最大利润为1800元． 22. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人，并补全条形统计图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________； （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ 【答案】（1）①240；② （2）600人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数． ②用乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①参加问卷调查的学生人数为 （人）． 故答案为：240； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“D”对应的百分比为， 扇形统计图中“C”对应的百分比为， 人， 该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人． 23. 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）． 【答案】 （1）如图1， （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3） 【解析】 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2）略 （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；并写出y随x如何变化； （2）求顶点D的坐标以及的面积； （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （2）8 （3）为或或或 【解析】 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）把抛物线的解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：因为点在抛物线上， ，即． 将点、代入，得 解得 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 【小问2详解】 解：， 顶点D的坐标为， 的面积； 【小问3详解】 解：存在，理由如下：抛物线的解析式为， 其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $