广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

惠州中学2023级高二年级上学期期中考试 数学科试卷 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. D. 2.复数，则的虚部是(     ) A. B. C. D. 3.已知函数 则  (     ) A. B. C. D. 4.已知，则的值是(     ) A. B. C. D. 5.已知空间向量，，且，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 6.点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(     ) A. 或 B. 或 C. D. 7.方程所表示的图形是(     ) A. 一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆 8.已知实数满足，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量，，，则(     ) A. B. C. D. 向量，，共面 10.已知直线：，下列说法正确的是(     ) A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 11.已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是(     ) A. 四边形周长的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则三角形的面积为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分． 12.已知圆经过点，，，则圆的标准方程为_____ _ ． 13.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为_______． 14.在平面直角坐标系中，，，定义为两点之间的“折线距离”坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是        _______  ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    _______      ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.本小题分 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分整理成如图所示的频率直方图． 求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 16.本小题分 已知在平行六面体中，，，，，设，， 试用、、表示 求线段的长度 求直线与所成角的余弦值． 17.本小题分 已知函数． 求的最小正周期； 在中，三个角，，所对的边分别为，，，若，, ，求的面积． 18.本小题分 已知点和直线 点是点关于直线的对称点． 求点的坐标； 为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； 若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 19.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州中学2023级高二年级上学期期中考试 数学科试卷参考答案 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. D. 1.解：，，，故B选项错误；，故C选项错误； ，故D选项错误．故选A． 2.复数，则的虚部是(     ) A. B. C. D. 2.解：复数，故的虚部为．故选C． 3.已知函数则  (     ) A. B. C. D. 3.解：，， 则，故选D． 4.已知，则的值是(     ) A. B. C. D. 4.解：．故选A 5.已知空间向量，，且，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 5.解：由题意可知 在 上的投影向量为 ， 向量在向量上的投影向量为．故选B． 6.点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(     ) A. 或 B. 或 C. D. 6.解：如图，点，，点， 则，， 直线过点，且与线段相交， 由图可知，或．故选B． 7.方程所表示的图形是(     ) A. 一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆 7.解：由题意，首先，平方整理得， 若，则是以为圆心，以为半径的右半圆  若，则是以为圆心，以为半径的左半圆  总之，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形  故选C． 8.已知实数满足，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 8解：设表示圆上一动点，则表示点到直线的距离， 表示点到原点的距离，又圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，记切点为， 则，当点为取最大值．的最大值为．故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知向量，，，则(     ) A. B. C. D. 向量，，共面 9.解：因为，， 所以，，所以A正确； ，故B正确； ，故C不正确； 由，所以，故选项D正确．故选：． 10.已知直线：，下列说法正确的是(     ) A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 10.BC解：对于，由直线：可化简为， 所以直线表示经过定点、斜率为的直线，故A项错误； 对于，当时，直线的方程为， 用代换得，整理得，即为直线关于轴对称的直线，故B项正确； 对于，因为直线经过定点，所以当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，故C项正确； 对于，当时，直线：经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D项错误． 故选：． 11.已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是(     ) A. 四边形周长的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则三角形的面积为 D. 若，则的最大值为 11.解： 均与圆相切，，， 则． 对于，四边形周长为， 因为点为轴上一个动点，所以的最小值即为点到轴的距离，则， 所以， 即四边形周长的最小值为，故A正确； 对于，可知，则， 所以，所以， 由可得， 因为，所以，所以， 即，所以，故B错误； 对于，若，则， 由选项AB可得，，， 所以， 所以，故C正确； 对于，设，由可得，点，，，四点都在以为直径的圆上， 则该圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 即，与圆：作差可得直线的方程为， 易得直线过定点； 又因为直线为，易得直线过定点， 因为直线与交于点且，所以， 即点的轨迹为以为直径的圆不包含点， 所以点的轨迹方程为，其中圆心为，半径为， 若，则， 即的最大值为，故D正确．故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分． 12.已知圆经过点，，，则圆的标准方程为_________________． 12.解：设圆的方程为， 则 所以所求圆的标准方程为． 13.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为_______． 13.解： ，故  ，， 设直线 与直线 所成的角为 ，则  ，故 ， 点 到直线 的距离为 ．故答案为 ． 14.在平面直角坐标系中，，，定义为两点之间的“折线距离”坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是        _______  ；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    _______      ． 14.解：如图， 该直线与两轴的交点分别为，设为直线上任意一点， 作轴于，于是有，所以， 即当与重合时，， 如图所示： 设为圆上任意一点，过、分别作、轴的垂线交于点，延长交直线于点， 将看作定点，由问题知与的最小“折线距离”为，设的纵坐标为， 则， 显然只需要考虑，设，则， 其中，，所以当，时， ．故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.本小题分 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分整理成如图所示的频率直方图． 求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 15.解：因为......1分 所以，......2分 因为共五组，前三组的频率和，......3分 前四组的频率和，所以中位数位于第四组。......4分 设中位数为，则，因为，......5分 所以；......6分 因为第四组与第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，，......7分 第五组抽取人数为人，记为，，......8分 从人中选出人， 共有，，，，，，，，，，，，，......9分 样本点个数共有N=种，......10分 其中选出的人来自同一组的是：，，，，，，样本点个数有M=种，......11分 ......12分 答：选出的人中来自同一组的概率为． ......13分 16.本小题分 已知在平行六面体中，，，，，设，， 试用、、表示 求线段的长度 求直线与所成角的余弦值． 16.解： ......1分 ......2分 ......3分 ......4分 ．......5分 ，， ......6分 ......8分 ，......9分 的长度为．......10分  ，......11分 则 ......12分 ......13分 ......14分  直线与所成角的余弦值为 ......15分 17.本小题分 已知函数， 求的最小正周期； 在中，三个角，，所对的边分别为，，，若，、，求的面积． 17.解：函数 ......1分 ，......2分 ．......3分 的最小正周期．......4分 在中，三个角，，所对的边分别为，，，， ，......5分 ，，......6分 ，，......7分 ，，......8分 ，......9分 ，......10分 ，......11分 ，，......12分 ，中的内角，，，......13分 ， ． ......14分 的面积是． ......15分 18.本小题分 已知点和直线点是点关于直线的对称点． 求点的坐标； 为坐标原点，且点满足，求点的轨迹； 若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 18.解：设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上，......1分 即，......2分 又直线直线，且直线的斜率为，则，......3分 联立式子解得，......5分 故点的坐标；......6分 设，由，则，......7分 故，......8分 化为......10分 化简得，......11分 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径．......12分 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，......13分 则，......14分 ，......15分 解得......16分 故的取值范围为 ......17分 19.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度； 若不存在，请说明理由． 19.解：证明： 因为在中，，，且， 所以，， 则折叠后，，......1分 又平面， 所以平面，......2分 平面， 所以，......3分 又已知，且都在面内，......4分 所以平面；......5分 由知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，......6分 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，，......7分 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，，......8分 设，则， ，......9分 设平面的法向量为， 则有，即......10分 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为，......11分 设平面的法向量为， 则有，即......12分 不妨令，则，， 所以平面的一个法向量为，......13分 若平面与平面成角余弦值为， 则满足，......14分 化简得，......15分 解得或，......16分 即或，故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．......17分 第6页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$