精品解析： 广东省江门市蓬江区陈白沙中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年广东省江门市蓬江区陈白沙中学九年级（上）第一次 月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 2 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　 A. B. C. D. 6. 抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（　　） A. （0，1） B. （1，O） C. （0，﹣3） D. （0，2） 7. 在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A. 2（1+x）2=8 B. 2（1﹣x）2=8 C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D. 2（1+x）+2（1+x）2=8 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程x2=4x的解 __． 12. 若关于的函数是二次函数，则的值为_______． 13. 若抛物线的对称轴是直线，则常数_______． 14. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 15. 已知：，是方程的两根，则_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 已知函数 （1）指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； （2）当x______时，y随x的增大而增大； （3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1．求的值． 19. 已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 20. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 21. 如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 22. 观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为，； （3）的解为，； 解答下列问题： 请猜想：方程的解为________； 请猜想：关于的方程________的解为，； 下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 23. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市蓬江区陈白沙中学九年级（上）第一次 月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，并且二次项系数不为0的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（　　） A. （0，1） B. （1，O） C. （0，﹣3） D. （0，2） 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标． 【详解】解：当x=0时，y=x2-4x+1=1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令x=0，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令y=0，可得到抛物线与x轴交点的横坐标． 7. 在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是和， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 8. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意，得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性，和时的函数值相等，根据函数图象，当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线轴， ∴和时的函数值相等， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵，，在二次函数上 ∴． 故选：D． 9. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A. 2（1+x）2=8 B. 2（1﹣x）2=8 C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=8 D. 2（1+x）+2（1+x）2=8 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出今年和明年的投资额，根据今明两年的投资总额为8万元列方程即可得答案. 【详解】∵去年实验器材的投资为2万元，这两年在实验器材投资上的平均增长率为x， ∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2(1+x)2； ∵预计今明两年的投资总额为8万元， ∴2(1+x)+2(1+x)2=8． 故选:D. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到相关量的等量关系是解题关键. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 12. 若关于的函数是二次函数，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，则． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：3． 13. 若抛物线的对称轴是直线，则常数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数顶点式的性质，，对称轴为：，根据题意，抛物线的对称轴是直线，即可求出． 【详解】解：∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴． 故答案为：． 14. 篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=36． 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=36． 故答案为：x（x﹣1）=36． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 15. 已知：，是方程的两根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，则，，根据元二次方程根与系数的关系，，，可得，，再对进行化简，即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：，， 原方程的解为：， 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解题的关键． 17. 已知函数 （1）指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； （2）当x______时，y随x的增大而增大； （3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【答案】（1）向下，直线， （2） （3）向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以解答本题； （3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题． 【小问1详解】 解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； 【小问2详解】 解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 18. 关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 19. 已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 【答案】（1） （2）最值为4，为最大值 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可． （1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象交轴于， ∴设该二次函数的解析式为： ∵二次函数图象过点 ∴将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． 【小问2详解】 解：∵， ∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴最值为4，为最大值． 20. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 21. 如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 【答案】（1） （2）4或5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列二次函数的表达式， （1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， ， ； 【小问2详解】 ， 解得：，． 答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为． 22. 观察下列方程及其解的特征： （1）的解为； （2）的解为，； （3）的解为，； 解答下列问题： 请猜想：方程的解为________； 请猜想：关于的方程________的解为，； 下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【答案】解：（1），；（2）（或）；，（或） 【解析】 【分析】本题要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）x1=5，x2＝； （2）（或a+）； （3）方程二次项系数化为1， 得x2−x＝−1． 配方得， x2−x+(−)2＝−1+(−)2，即(x−)2＝， 开方得， x−＝±， 解得x1=5，x2＝． 经检验，x1=5，x2＝都是原方程的解． 【点睛】本题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 23. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $