精品解析：江苏省盐城市盐都区 五校 联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 3. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 6. 如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图圆的半径是4，是弦，且A是弧的中点，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 写一个关于x的一元二次方程，使得这个方程有两个相等的实数根，你写的方程是______．（写出一个即可） 10. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 11. 若是方程的一个根，则的值为_____________． 12. 如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 14. 为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选______.（填“小洋”或“小亮”）． 15. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________． 16. 如图，，，，D是线段上的一个动点，以为直径画分别交，于E，F，连接，则线段长度的最小值为______． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 18. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）； （2）； 20. 初一某班16名男生在体检时测量了身高．以为基准，记录男生们的身高，超过记为正，不足记为负．前15名男生的相对身高（单位：）记录如表，第16名男生身高为． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高 0 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 m （1）表格中m＝ ； （2）该班最高的男生与最矮的男生身高相差 ； （3）计算该班男生的平均身高． 21. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在上用其它材料做了宽为1米的一扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请你用含的代数式表示另一边的长为___________米； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． 22. 如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求证：是的切线． 23. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长． 24. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件． （1）这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？ （2）为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围． 26. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：点D是边的中点． （2）记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 27. 如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 3. 若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 4. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 5. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 7. 如图圆的半径是4，是弦，且A是弧的中点，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接，根据圆周角定理得到，由A是弧的中点得到，则是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵A是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 8. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：D． 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 写一个关于x的一元二次方程，使得这个方程有两个相等的实数根，你写的方程是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 11. 若是方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2024 【解析】 【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， ∴ ． 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 12. 如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式即可求解． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果， ∴朝上的面的点数为奇数的概率是． 故答案为：． 14. 为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选______.（填“小洋”或“小亮”）． 【答案】小亮 【解析】 【分析】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键． 根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定． 【详解】解：由折线统计图可得， 小洋的波动大，小亮的波动小， 小亮的成绩更加稳定， 应选小亮． 故答案为：小亮． 15. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵正六边形的内角和， 每个内角为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，，，，D是线段上的一个动点，以为直径画分别交，于E，F，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，当半径最短时，最短，连接，，过O点作，垂足为H，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知，即可求出答案． 【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短， 连接，过O点作，垂足为H，则，当半径最小时，的长最小， ∵在中，， ∴，即此时圆的直径为4， 由圆周角定理可知， ∴在中，， 由垂径定理可知， 故答案为：． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； 【详解】解：解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 根据题意，有， 整理这个方程，得：， 解方程得：，（舍去）， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 【答案】142 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键； （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为：，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：， 20. 初一某班16名男生在体检时测量了身高．以为基准，记录男生们的身高，超过记为正，不足记为负．前15名男生的相对身高（单位：）记录如表，第16名男生身高为． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高 0 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 m （1）表格中m＝ ； （2）该班最高的男生与最矮的男生身高相差 ； （3）计算该班男生的平均身高． 【答案】（1） （2）25 （3） 【解析】 【分析】本题考查正负数在实际问题中的应用以及平均值的计算； （1）用16号学生的身高﹣标准身高，即可得到m的值； （2）用身高最大的差值－最小差值，即可求解； （3）根据表格数据可以根据求平均数公式求出平均身高． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 即该班最高的男生与最矮的男生身高相差， 故答案为：25； 【小问3详解】 解： 答：该班男生的平均身高为． 21. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在上用其它材料做了宽为1米的一扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请你用含的代数式表示另一边的长为___________米； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9米，宽为6米 【解析】 【分析】（1）根据材料总长及小门即可合理表示长宽； （2）根据长方形面积公式代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 长为米的篱笆做3宽1长的墙，其中上用其它材料做了宽为2米两扇小门，上用其它材料做了宽为1米的一扇小门， ∴总共长宽为， ∴的长为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 长为米，宽为x米， ∴， 即， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 当时，， 答：此时花圃的长为9米，宽为6米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、列代数式，用未知数表示相应的线段长度是解题关键． 22. 如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求证：是的切线． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 又， ， ，即：， ； （2） 证明：连接并延长交于G点，再连接， 为O直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理． （1）根据，可得，两式相减即得，结论得证； （2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义可得； （2）分类讨论：若时，把代入方程得，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案. 【小问1详解】 根据题意得，解得； 【小问2详解】 当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得， 当时，，解得，则三角形周长为； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，三边长为其周长为， 综上所述，m的值是，这个三角形的周长为或或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． 24. 定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． （1）判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）③； （2） ①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：①略 ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 25. 某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件． （1）这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？ （2）为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）第30天的利润最大，最大利润是5600元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设销售利润为w元，销售时间为x天， 由题意可知， ∵ ∴函数有最大值， ∴当时，w取最大值为元， ∴第30天的利润最大，最大利润是5600元； 【小问2详解】 设未来30天每天获得的利润为y，时间为t天，根据题意， 得 化简，得 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大， ∴ 解得， 又∵ 即a的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 26. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：点D是边的中点． （2）记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点D是边的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角定理，解答关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）连接，先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接，先求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质和三角形的内角定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：，理由如下， 如图，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 即． 27. 如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）①；（3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：连接，在中，设，则． 在中，， ∴，即．解得． （2）（I）解：过点分别作，连接， ∵过圆心，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 设，则， 在中， 在中， ∴，即． 解得， ∴，即． （II）过点分别作，连接，如图： 由（I）知：， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵到的距离， 类比平面直角坐标系内的几何意义， ∴的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，过作于，如图： 由（II）知，， 四边形是矩形， 小与相交且与相离， 即 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $