专题05线段和角的动态问题（两种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

专题05线段和角的动态问题（两种技巧精讲精练+过关检测） 类型一：线段中的动态问题 题型01与线段中点有关的动点问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·重庆梁平·期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 【例1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点为线段上的一个动点，分别是的中点；①若点恰为的中点，则 ；②若，则 ； （2）如图，点为线段上的一个动点，分别是的中点；若，则 ； 【例1-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数如图所示，请按要求回答下列问题：    (1)线段的中点D表示的数是几？ (2)线段的中点E与点D的距离是多少？ (3)如果点B是线段上的动点，的长度有变化吗？为什么？ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【变式1-3】（23-24七年级上·全国·期末）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则　　，　　，　　； (2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 题型02线段和差倍分关系中的动线段问题 【典例分析】 【例2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【例2-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．    (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【例2-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【变式2-2】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【变式2-3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 题型03线段中的存在性探究问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【例3-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【例3-3】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在长方形的边上存在一动点G，点P、Q分别是、的中点，连接、．当点G在线段边上移动时，试探究三角形的面积是否发生变化？ 设，，且a、b满足． ①直接写出__________，__________； ②小明同学认为当点G在线段边上移动时，线段的长度并没有发生变化，故三角形的面积也不发生变化．请你根据小明同学的解题思路，求出三角形的面积； 【类比分析】 （2）王老师在问题（1）的基础上将图1的长方形改成正方形．设点O是正方形的中心，并提出了下面的问题，请你解答．如图2，在边长为m的正方形中，动点G在边上，点P、Q分别是、的中点，连接、．当点G移动的过程中，三角形的面积是否发生变化？如果不变化，请求出这个三角形的面积（用含m的代数式表示），如果变化，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在正方形中，设点O是正方形的中心，点G、H分别在、边上，点P是的中点，连接、．当四边形的面积为正方形面积的时，请写出线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．    类型二：角中的动态问题 题型01求角度问题 【典例分析】 【例4-1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）一套三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为t． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是___________度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当t为何值时，边平分． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【例4-3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟． 求的大小（用t的代数式表示）； (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，OB为内一条射线，的余角等于它自身． (1)求的度数； (2)射线从开始，在内以2°/s的速度绕着O点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以3°/s的速度绕O点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为t秒． ①若，运动的任一时刻，均有，求的度数； ②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为________． 【变式4-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动． (1)猜想：__________，并说明理由； (2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余． ①当秒时，__________； ②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式4-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 题型02定值问题 【典例分析】 【例5-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【例5-3】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点旋转． （1）若三角板在的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现的大小发生了变化，但它们的和不变，即 ； （2）若分别位于的上方和下方，如图所示，则之间的上述关系还成立吗?若不成立，则它们之间有怎样的数量关系?请说明你的理由； （3）射线分别是的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（20-21七年级·四川成都·）已知，，平分，平分. （1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型03存在性探究问题 【典例分析】 【例6-1】（20-21七年级上·四川德阳·期末）已知为直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，则　 　； （2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与之间有何数量关系？请说明理由． （3）在图3中，若，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【例6-2】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余 (1)①若m＝50，则射线OC的方向是　 　； ②图中与∠BOE互余的角有　 　与∠BOE互补的角有　 　． (2)若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程，请说明理由． 【例6-3】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知：，过点引两条射线，，且平分．    (1)如图，若，，且点在内部． ①请补全图形； ②求出的度数； (2)若，求出，，三者的等量关系． (3)若，是否存在与互余？若存在，求的度数（用表示）；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【变式6-2】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【变式6-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 一、解答题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 3．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，射线绕点O从射线顺时针向射线转动，同时，点M从线段的端点E沿线段向端点F移动．如果当射线转动到的角平分线位置时，点M也恰好移动至线段的中点位置，我们称点M为射线的半随点． (1)若，射线，点M分别以的速度如图所示方式运动，判断点M是否为射线的半随点？请说明理由； (2)已知，射线，点M分别以的速度如图所示方式运动，若点M是射线的半随点，求线段的长度（用含有m的式子表示）； (3)若点E在的边上（不与点O重合），过点E作射线交边于点F，射线绕点O从射线顺时针向射线转动，交于点M，请判断是否存在线段，使得M为射线的半随点，若存在，请画出线段，并简要说明画法：若不存在，请说明理由． 4．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 　 　； (2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°． ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由； ②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05线段和角的动态问题（两种技巧精讲精练+过关检测） 类型一：线段中的动态问题 题型01与线段中点有关的动点问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·重庆梁平·期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（    ） A．3 B．3.5 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案． 【详解】解：点分别是和的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键． 【例1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点为线段上的一个动点，分别是的中点；①若点恰为的中点，则 ；②若，则 ； （2）如图，点为线段上的一个动点，分别是的中点；若，则 ； 【答案】 6 6 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，利用数形结合的思想，找出线段之间的关系是解此题的关键． （1）①根据线段的中点、线段的和差进行计算即可；②根据线段的中点、线段的和差进行计算即可； （2）根据线段的中点、线段的和差进行计算即可． 【详解】解：（1）①点恰为的中点，， ， 分别是的中点， ，， ， 故答案为：； ②，， ， 分别是的中点， ，， ， 故答案为：； （2）分别是的中点， ，， ， 故答案为：． 【例1-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数如图所示，请按要求回答下列问题：    (1)线段的中点D表示的数是几？ (2)线段的中点E与点D的距离是多少？ (3)如果点B是线段上的动点，的长度有变化吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)4； (3)没有，理由见解析． 【分析】本题考查线段的中点，数轴上的点之间的距离： （1）先得出点A，B，C表示的数分别为，，，进而得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离，即可得出答案； （3）设点B表示的数为b，线段的中点D表示的数是；线段的中点E表示的数是，进而求出的长度，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点A，B，C表示的数分别为，，， ∴线段的中点D表示的数是； （2）解：∵点A，B，C表示的数分别为，，， ∴线段的中点E表示的数是， ∴E与点D的距离是； （3）解：设点B表示的数为b， ∴线段的中点D表示的数是， 线段的中点E表示的数是， ∴的长度， ∴的长度没有变化． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差运算，解题的关键在于能够熟练掌握线段中点的定义．如图所示，先根据线段中点的定义得到，，再由即可得到答案． 【详解】解：如图所示，    ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选B． 【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【答案】 6 6 / 【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级上·全国·期末）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则　　，　　，　　； (2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 【答案】(1)2，， (2)不变， 【分析】此题考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）根据中点的定义得到，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ． 解得． ． 故答案为：2，，； （2）解：如图，当点D运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： ∵点E、点F分别为中点， ∴，， ， ， ∴当点D运动时，线段的长度不发生变化，其值为． 题型02线段和差倍分关系中的动线段问题 【典例分析】 【例2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动． (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)7 (2)3或5 【分析】本题主要考查了与线段中点的有关线段和差计算： （1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出，由线段的和差即可得到的长． （2）分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ，， 为中点， ， ， ∴， ∴； （2）解：当点在点的左侧，如图2， ∵，， 点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，故图2（b）这种情况求不出； 如图3，当点在点的右侧， ，， ∴， ∴， ． ∵，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 【例2-2】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．    (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意得出，，由线段的中点得出，再求出的长，最后由计算即可得出答案； （2）分两种情况：当点在点的左侧，当点在点的右侧，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵为中点时， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在点的左侧，   ， ∵，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴图2（）这种情况求不出； 当点在点的右侧，   ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴图3（）这种情况求不出； 综上所述，的长为或． 【例2-3】（23-24七年级上·安徽蚌埠）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或 (2)或． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴或， ∴或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【答案】(1)12，6 (2)①7；②的长为3或5． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，，可求得，； （2）①根据中点定义求出，由线段的和差即可得到的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长． 【详解】（1）∵，， ，； （2）如图1， 为中点， ， ， ， ； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，， 点是的中点， ， ， ； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，， ， ， ． ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 【变式2-2】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1)7 (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； （2）当点线段的三等分点时，可求得，则，由线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解 【变式2-3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)①；②的长为或 (2)或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答． （1）根据已知条件得到，， ①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； ②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论； （2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得． 【详解】（1）解：，， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点F在点C的右侧时， ， ， ， ； 当点F在点C的左侧时， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． （2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或或． 题型03线段中的存在性探究问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 【例3-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 【例3-3】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①1；② (3)存在，t＝1，，7或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）（1），， 故答案为：，． （2）①点P为线段的中点， ， ， 解得； 故答案为：1． ②点P为线段上的一个动点， ； 故答案为：． （3）点M表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，|解得或； 当时，，解得或；． 存在t值，，，7或，使得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数； (2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为 (3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解． （3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴， 又∵， ， ∴M点为5，N点为， 故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵， ∴中点所对应的数也为1， ∵， ， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴． ∴， ∴． ∴为，为． （3）解：存在，理由： ∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴． ∴． ∴， ∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令， ∴， ∴， ∴． ． 当表示的数为65时，， 解得：． 又∵和关于1对称， ∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键 【变式3-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在长方形的边上存在一动点G，点P、Q分别是、的中点，连接、．当点G在线段边上移动时，试探究三角形的面积是否发生变化？ 设，，且a、b满足． ①直接写出__________，__________； ②小明同学认为当点G在线段边上移动时，线段的长度并没有发生变化，故三角形的面积也不发生变化．请你根据小明同学的解题思路，求出三角形的面积； 【类比分析】 （2）王老师在问题（1）的基础上将图1的长方形改成正方形．设点O是正方形的中心，并提出了下面的问题，请你解答．如图2，在边长为m的正方形中，动点G在边上，点P、Q分别是、的中点，连接、．当点G移动的过程中，三角形的面积是否发生变化？如果不变化，请求出这个三角形的面积（用含m的代数式表示），如果变化，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在正方形中，设点O是正方形的中心，点G、H分别在、边上，点P是的中点，连接、．当四边形的面积为正方形面积的时，请写出线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）①， ②；（2）不变，；  （3） 【分析】本题考查绝对值得非负性，中点的定义，三角形的面积，能根据重点的定义计算是解题的关键． （1）①根据绝对值的非负性计算即可；②根据中点的定义得到，，然后根据解题即可； （2）根据中点得到，，即可求出长，根据面积公式计算即可； （3）过点作，，设正方形边长为，，可以推出，然后用x，a表示的长即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， 解得：，； ②∵为中点，为中点， ∴，， ∴， ∴ ， ∴长度不变，面积不变，为； （2）不变，理由如下： ∵为中点，为中点 ∴，， ∴， ∵为正方形的中心， ∴点到距离与于， ∴； （3）设正方形边长为，，过点作，， ∴，则， 又∵， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 类型二：角中的动态问题 题型01求角度问题 【典例分析】 【例4-1】（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键 【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）一套三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为t． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是___________度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当t为何值时，边平分． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或者 (2)①，②或时， 【分析】（1）根据旋转的性质即可计算得出结论； （2）由旋转知，的旋转角为，的旋转角为， ①根据PB平分和平角的定义列出方程即可计算得出； ②分PA在PC左侧和右侧两种情况表示出，根据已知建立方程即可解得结论． 【详解】（1）当秒时，旋转了： ∵是等腰直角三角形， ∴， 此时，边经过的量角器刻度线对应的度数是：或， 故答案为：或者； （2）①由旋转知，的旋转角为，的旋转角为， ∴边旋转的角度为：；边旋转的角度为：； ∴依题意得：， 即： ∴秒； ②根据①中已得：，，，， 当PA在PC左侧时，如图 由旋转知： 根据：，，，， 可得：， ， 根据题意：， 得：，即：， ∴秒； 当PA在PC右侧时，如图所示： 根据：，，，， 可得：，， 若，则， 解得，（秒）． 当PB在PD的右侧时，，， 则， 解得，（秒）， 此时PB在PD的左侧，不符合题意，舍去， 综上所述：或时，． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了角度的和与差，旋转的知识，量角器的识别，表示出是解的关键． 【例4-3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟． 求的大小（用t的代数式表示）； (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇前、后表达式不同，故需分与相遇前后即和两种情况求解； （3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，再分①射线在射线同侧；②射线在射线异侧，分别求解即可． 【详解】（1）① ， ② ； 故答案为：； （2）设旋转时间为t秒，则，， ①时，与相遇前，， ∴； ②时，与相遇后，， ∴； （3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转， ①时，如图①， 在射线同侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图②， 在射线异侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，OB为内一条射线，的余角等于它自身． (1)求的度数； (2)射线从开始，在内以2°/s的速度绕着O点逆时针方向旋转，转到停止，同时射线在内从开始以3°/s的速度绕O点逆时针方向旋转转到停止，设运动时间为t秒． ①若，运动的任一时刻，均有，求的度数； ②为内任一射线，在①的条件下，当时，以为边所有角的度数和的最小值为________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据余角的定义列方程解答即可； （2）①分别用的代数式表示出、，，根据列方程解答即可； ②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值，把代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则的余角， 依题意有：， ， ； （2）解：①运动时间为秒，则 ，，， ， 设， 又， 则有：， 解得：， ， ②当与重合时，以为边所有角的度数和的有最小值， 当时，， 以为边所有角的度数和的最小值为：． 故答案为： 【点睛】本题主要是考查了角的计算，能够根据题目，进行分类讨论，是解答此题的关键 【变式4-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动． (1)猜想：__________，并说明理由； (2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余． ①当秒时，__________； ②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)180，理由见解析 (2)①60；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义： （1）根据题意可得，再由，即可求解； （2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：180 （2）解：①当秒时，， ∵与互余， ∴； 故答案为：60 ②，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵射线始终平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100 (2) (3)①或30或48；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 题型02定值问题 【典例分析】 【例5-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，则，，可得，再根据角平分线的定义可得，故①正确；再由，可得②正确；再分别求出和，可得③正确；然后求出和，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴，故①正确； ，是定值，故②正确； ∵， ， ∴，故③正确； ∵， ， ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 【例5-2】（22-23七年级上·山东青岛·期末）在数学活动课上，某学习小组用三角尺拼出了如下图案： (1)图①中，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若，则______，______． (2)图②中，将两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，试判断与的和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)65，115． (2)定值， 【分析】（1）根据角的和差即可求得． （2）两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起，重叠部分是2个，是定值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 故答案为：65，115． （2）是定值， ∵两个同样的三角尺角顶点O叠放在一起， ∴重叠部分是2个， ∴一个与是， 另一个与是 ∴， 【点睛】此题考查了三角板角度问题，解题的关键是熟知三角板各个角的度数． 【例5-3】（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点旋转． （1）若三角板在的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现的大小发生了变化，但它们的和不变，即 ； （2）若分别位于的上方和下方，如图所示，则之间的上述关系还成立吗?若不成立，则它们之间有怎样的数量关系?请说明你的理由； （3）射线分别是的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不成立，，理由见解析；（3）是，135° 【分析】（1）根据平角和直角的概念分析求解； （2）根据平角和直角的概念及角的和差关系分析求解； （3）根据角平分线的定义及角的和差关系分析求解 【详解】解：（1）由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180° ∴当三角板在的上方， 故答案为：90°． （2）由题意可得：∠AOB=90°，∠EOF=180° 若分别位于的上方和下方， ∴，即 故（1）中的关系不成立，之间的数量关系为． （3）射线分别是的角平分线， ∴∠AOM=，∠BON=， ∴ ∵三角板始终在的上方，由（1）已得 ∴ 即的度数是一个定值为135°． ． 【点睛】本题考查角的和差计算及角平分线的定义，题目难度不大，掌握相关概念正确推理论证是解题关键． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 【变式5-2】（20-21七年级·四川成都·）已知，，平分，平分. （1）如图，当、重合时，求的值； （2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 【答案】（1）35°；（2）是定值，35° 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解； （2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得． 【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°， ∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°； （2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2， 由题意∠BOC=3t°， 则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°）， ∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°， ∴∠AOE-∠BOF的值是定值． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 题型03存在性探究问题 【典例分析】 【例6-1】（20-21七年级上·四川德阳·期末）已知为直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，则　 　； （2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与之间有何数量关系？请说明理由． （3）在图3中，若，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）56°；（2）∠BOE＝2∠COF，理由见解析；（3）存在，16° 【分析】（1）首先根据，是直角，求出∠EOF＝62°，然后根据平分求出∠AOE＝124°，最后根据平角的性质即可求出的度数； （2）首先根据是直角，平分表示出∠AOE＝180°﹣2∠COF，然后根据平角的性质即可得到与之间的数量关系； （3）首先根据是直角，平分求出∠EOF＝25°，∠BOE＝130°，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝124°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°； （2）结论：∠BOE＝2∠COF； 理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣∠COF，     ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF； （3）存在； ∵∠COF＝65°，∠COE＝90°， ∠EOF＝25°， ∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°， ∴∠BOE＝130°， ∵2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD）， 即2∠BOD+25°＝（130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°． 【点睛】此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分析图形中各角之间的关系． 【例6-2】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余 (1)①若m＝50，则射线OC的方向是　 　； ②图中与∠BOE互余的角有　 　与∠BOE互补的角有　 　． (2)若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程，请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②，；，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）①根据互余即可直接得出； ②根据题意结合等角的余角相等，等角得补角相等即可得出结果； （2）根据角平分线可得，结合（1）中过程可得，由图中角之间的数量关系求解即可得． 【详解】（1）解：①∵与互余， ∴， 当时， ， ∴射线OC的方向是北偏东； ②∵， ∴图中与互余的角有， ∵与互余， ∴， ∴图中与互余的角有，； ∵， ∴图中与互余的角有， ∵， ∴的补角也是的补角， ∴的补角有，； 故答案为：①北偏东；②，；，； （2）解：， ∵射线OA是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查方位角的计算，包括余角、补角的计算，利用角平分线计算等，理解题意，找准各个角之间的数量关系是解题关键． 【例6-3】（23-24七年级上·广东广州·期末）已知：，过点引两条射线，，且平分．    (1)如图，若，，且点在内部． ①请补全图形； ②求出的度数； (2)若，求出，，三者的等量关系． (3)若，是否存在与互余？若存在，求的度数（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． （1）①根据题意画出相应的图形即可； ②根据计算过程进行解答即可； （2）分两种情况，分别画出相应的图形进行计算即可． （3）分三种种情况，分别根据相应的图形进行计算即可． 【详解】（1）①解：补全图形如图所示：    ②∵， 又∵平分， （2）分两种情况：    当射线、射线在射线的同侧时，如图1所示， 设 ∵平分， 当射线、射线在射线的异侧时，如图2所示， 设 ∵平分， 综上，或． （3）若， ， 由（2）得当时，，故， ∴； 当时，，故， ∴ 由（1）中图得当时， ， 故， ∴； 综上，存在，或． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知O为直线AB上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则∠BOE＝___；若，则∠BOE＝___；与的数量关系为___． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得2∠BOD与∠AOF的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)66°，，； (2) (3) 【分析】（1）由题意可知：，由角平分线的性质可求得，所以，即可求得答案． （2）由（1）可知：，进而求得，由于平分，所以，分别代入 解得即可； （3））由于是直角，于是，而平分，得出，，由此可得出结论． 【详解】（1）解：（1）若， ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 若， ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴； 故答案为：66°，，； （2）存在； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， 即， 解得； （3）和的关系不成立． 设，则，， ∴． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是利用角平分线认真观察图形，找出角的和差关系是解题关键． 【变式6-2】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 【变式6-3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 一、解答题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（21-22七年级上·福建厦门·期末）如图，射线绕点O从射线顺时针向射线转动，同时，点M从线段的端点E沿线段向端点F移动．如果当射线转动到的角平分线位置时，点M也恰好移动至线段的中点位置，我们称点M为射线的半随点． (1)若，射线，点M分别以的速度如图所示方式运动，判断点M是否为射线的半随点？请说明理由； (2)已知，射线，点M分别以的速度如图所示方式运动，若点M是射线的半随点，求线段的长度（用含有m的式子表示）； (3)若点E在的边上（不与点O重合），过点E作射线交边于点F，射线绕点O从射线顺时针向射线转动，交于点M，请判断是否存在线段，使得M为射线的半随点，若存在，请画出线段，并简要说明画法：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点M不是射线的半随点，理由见解析 (2) (3)存在，图见解析 【分析】（1）分别求出射线OE运动到∠AOC的角平分线的时间和点M运动到EF中点的时间即可得到答案； （2）先求出射线OE运动到∠AOC的角平分线的时间，由此可以求出EM的长，再根据线段中点的定义即可得到答案； （3）如图所示，以O为圆心，以OE的长为半径画弧交OD于F，点F即为所求； 【详解】（1）解：点M不是射线的半随点，理由如下： 当射线恰好为∠AOB的角平分线时， ∵∠AOB=60°， ∴， ∴射线OC的运动时间为； 当点M恰好运动到EF的中点时， ∵， ∴， ∴点M的运动时间为， ∴当射线OC平分∠AOB时，点M不是恰好运动到EF的中点， ∴点M不是射线的半随点； （2）解：当射线OC恰好运动到∠AOB的角平分线的位置时， ∵OC平分∠AOB，， ∴， ∴射线OC的运动时间为， ∵当射线OC运动都∠AOB的角平分线的位置时，点M恰好运动到EF的中点， ∴ ， （3）解：如图所示，以O为圆心，以OE的长为半径画弧交OD于F，点F即为所求； 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，线段中点有关的计算，正确理解题意是解题的关键． 4．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 　 　； (2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°． ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由； ②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值． 【答案】(1)∠BOC＝∠BOE． (2)①存在，t=2.5或10或31；②40° 【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案； （2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得； ②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∠BOC＝∠BOE． 理由如下： ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， ∵OA平分∠COD， ∴∠AOD＝∠AOC， ∴∠BOC＝∠BOE， 故答案为：∠BOC＝∠BOE； （2）①存在． 理由：∵∠COE＝130°， ∴∠COD＝180°﹣130°＝50°， 当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5； 当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10； 当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31； 综上所述，t的值为2.5、10、31； ②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE， ∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°， ∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$