精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：必修第二册，选择性必修第一册第一章至第三章3.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】由，得倾斜角为． 故选：C. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数化简为的形式，再根据复平面内对应的点判断在第几象限. 【详解】由题意得，，所以在复平面内对应的点的坐标为，故在第四象限. 故选:D. 3. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为. 故选：A 4. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 5. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为. 故选：A. 6. 已知向量，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 7. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（ ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，利用中位线的性质可求出，可得出，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理可求得的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、， 由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（ ） A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D. 这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：， B地月降雨量按升序排列可得：， 对于选项A：可知A地月平均降雨量为， B地月平均降雨量为， 因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确； 对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为， 因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误； 对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为， 因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确； 对于选项D：因为， 可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40， 且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD. 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. 为质数 B. 为直角三角形 C. 与所成角的正弦值为 D. 几何体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 所以不是质数，A错误； 对于选项B：因为，则， 所以为直角三角形，B正确； 对于选项C：因为， 所以与所成角的正弦值为，C正确； 对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台， 且与该三棱台的底面垂直，， 所以几何体的体积为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与圆相切 B. 若圆上存在两点关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆上存在两点关于直线对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误. 【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径. ∴圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离，故A不正确. B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心， ∴，解得，故B正确. C. 若，则圆心到直线的距离， ∴，故C正确. D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示， ， 当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的线段长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的线段长为. 故答案为： 13. 经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 所以的周长为. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， ，于是， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过两点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合求得，即可得方程； （2）设椭圆的方程为，代入点运算即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为，即，解得， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆的方程为. 因为椭圆经过两点， 则，解得 故椭圆的标准方程为. 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案； （2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，即， 由于， 故，即，结合，则； 【小问2详解】 ，，的面积为，则，则， 故， 故. 17. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 18. 如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 所以点四点共面， 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 因为四边形为正方形，所以， 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，故， 令，可得，， 故为平面的一个法向量， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角（锐角）的余弦值为. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【解析】 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【小问1详解】 设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． 【小问2详解】 曲线的圆心到直线的距离， 所以． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：必修第二册，选择性必修第一册第一章至第三章3.1. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 7. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（ ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（ ） A. 这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B. 这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C. 这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D. 这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ） A. 为质数 B. 为直角三角形 C. 与所成角的正弦值为 D. 几何体的体积为 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与圆相切 B. 若圆上存在两点关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的线段长为__________. 13. 经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______. 14. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过两点. 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 17. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 18. 如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $