（决胜中考）2025年中考数学一轮复习分式方程小专题训练

（决胜中考）分式方程小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•道里区校级月考）方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝1 2．（2024秋•新华区校级月考）已知关于x的方程，下列说法错误的是（　　） A．当m＝1时，x＝3 B．当m＝3时，原方程无解 C．x为正数时，m＜3 D．x为负整数时，m有4个整数值 3．（2024秋•荣昌区校级月考）关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜﹣3 D．m＜﹣3且m≠﹣2 4．（2024•温州自主招生）已知关于x的方程+＝恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•新华区校级月考）解分式方程，去分母后，结果正确的是（　　） A．2﹣1﹣x＝1 B．2﹣1+x＝1 C．2﹣1+x＝2x D．2﹣1﹣x 6．（2024秋•桥西区校级月考）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（　　） A．k＜6且k≠3 B．k＞6 C．k≠3 D．k＜6 7．（2024•丛台区校级二模）小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约435公里，线路②全程约430公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的1.2倍，假设汽车在线路①的平均时速为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•锦江区期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 　 　． 10．（2024秋•昌平区校级期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 　 　． 11．（2024•香坊区校级模拟）定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b＝，如3※2＝．若（x﹣4）※（x+1）＝0，则x的值为 　 　． 12．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 　 　． 13．（2024春•崇明区期中）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程为 　 　． 14．（2024秋•襄都区月考）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C会合，琳琳从A经过B摊位，最后到达出口C，华华从D摊位直接前往出口C，速度与琳琳从B到C的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从A到B的速度比从B到C的速度慢10m/min，且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则　 　（填“琳琳”或“华华”）先到达出口C． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•桥西区校级月考）（1）化简：； （2）化简：； （3）解方程：； （4）解方程：． 16．（2024秋•黄浦区校级月考）如果关于x的方程的解为非负数，求k的取值范围． 17．（2024•绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 18．（2024秋•永兴县校级月考）阅读下列材料 学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程＝1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行． （1）请回答：　 　的说法是正确的，正确的理由是 　 　． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程＝2的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程＝﹣1无解，求n的值． 19．（2024春•高碑店市期末）某中学积极探索“五育并举，融合育人”的育人方式，计划组织八年级师生到皮影非遗传承基地开展跨学科主题研学活动．为正常开展研学活动，学校需为前往的师生们准备一些皮影道具作为学习材料，供应商A提供的皮影材料每件比供应商B提供的皮影材料每件便宜20元，用240元在供应商A处购买的皮影材料的件数与用360元在供应商B处购买的皮影材料的件数相同． （1）供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为多少元？ （2）考虑到学生的参与度和学习效果，学校计划购买皮影道具的总数量为120件．若学校的预算不超过5600元，且从供应商B处购买的材料件数不少于从供应商A处购买的材料件数的一半．若学校决定从供应商A处购买m件皮影道具，求m的值． 20．（2024•南山区校级一模）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ （决胜中考）分式方程小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•道里区校级月考）方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝1 【解答】解：， 去分母得：x+2＝3（x﹣2）， 去括号得：x+2＝3x﹣6， 移项得：x﹣3x＝﹣6﹣2， 合并同类项得：﹣2x＝﹣8， 系数化为1得：x＝4， 经检验，x＝4是方程的解， ∴方程的解为：x＝4． 故选：B． 2．（2024秋•新华区校级月考）已知关于x的方程，下列说法错误的是（　　） A．当m＝1时，x＝3 B．当m＝3时，原方程无解 C．x为正数时，m＜3 D．x为负整数时，m有4个整数值 【解答】解：A、原方程整理得：（m﹣3）x＝﹣6， 当m＝1时，﹣2x＝﹣6， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴原方程的解为x＝3， 故选项A正确，但不符合题意； B、当m＝3时，方程无解， 故选项B正确，但不符合题意； C、当x为正数时，m﹣3＜0，且 ∴m＜3且m≠0， 故选项C错误，符合题意； D、当x为负整数时，则x＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6， ∴3﹣m＝6或3或2或1， ∴m有4个整数值， 故选项D正确，但不符合题意， 故选：C． 3．（2024秋•荣昌区校级月考）关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜﹣3 D．m＜﹣3且m≠﹣2 【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：2x﹣m＝3（x+1）， 解得：x＝﹣m﹣3， ∵x+1≠0， ∴x≠﹣1， 即﹣m﹣3≠﹣1， 解得：m≠﹣2， 又∵方程的解是负数， ∴﹣m﹣3＜0， 解不等式得：m＞﹣3， 综上可知：m＞﹣3且m≠﹣2， 故选：B． 4．（2024•温州自主招生）已知关于x的方程+＝恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）＝0．① 方程①的根的情况有两种： （1）方程①有两个相等的实数根，即Δ＝9﹣4×2（4﹣a）＝0． 解得a＝． 当a＝时，解方程2x2﹣3x+（4﹣）＝0，得x1＝x2＝． （2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2． （i）当x＝0时，代入①式得4﹣a＝0，即a＝4． 当a＝4时，解方程2x2﹣3x＝0，x（2x﹣3）＝0，x1＝0或x2＝1.5． 而x1＝0是增根，即这时方程①的另一个根是x＝1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． （ii）当x＝2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）＝0，即a＝6． 当a＝6时，解方程2x2﹣3x﹣2＝0，x1＝2，x2＝﹣． x1是增根，故x＝﹣为方程的唯一实根； 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个． 故选：C． 5．（2024秋•新华区校级月考）解分式方程，去分母后，结果正确的是（　　） A．2﹣1﹣x＝1 B．2﹣1+x＝1 C．2﹣1+x＝2x D．2﹣1﹣x 【解答】解：， 两边同乘以2x，得：2﹣（1﹣x）＝2x， 得：2﹣1+x＝2x， 故选：C． 6．（2024秋•桥西区校级月考）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（　　） A．k＜6且k≠3 B．k＞6 C．k≠3 D．k＜6 【解答】解：去分母，得x＝2（x﹣3）+k， 去括号，得x＝2x﹣6+k， 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣6+k， 未知数的系数化1，得x＝6﹣k， ∵原方程的解是负数， ∴6﹣k＜0， ∴k＞6， ∵x＝3是原分式方程的增根， ∴6﹣k≠3， ∴k≠3， ∴k＞6． 故选：B． 7．（2024•丛台区校级二模）小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约435公里，线路②全程约430公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的1.2倍，假设汽车在线路①的平均时速为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ﹣1＝． 故选：D． 8．（2024春•锦江区期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设乙班每小时植x棵树，则甲班每小时植（x+4）棵树， 依题意得，， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 　1或　． 【解答】解： 去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3， （m﹣1）x＝﹣1． ∵关于x的分式方程无解， 当m﹣1＝0时，原方程无解， ∴m＝1， ∵最简公分母x﹣3＝0， ∴x＝3， 当x＝3时，得， 综上m的值为1或． 故答案为：1或． 10．（2024秋•昌平区校级期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 　2　． 【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a， 移项、合并同类项，得x＝3﹣a， x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1， 解得a＝2， ∴当a＝2时，原分式方程无解． 故答案为：2． 11．（2024•香坊区校级模拟）定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b＝，如3※2＝．若（x﹣4）※（x+1）＝0，则x的值为 　﹣6　． 【解答】解：∵， ∴（x﹣4）※（x+1） ＝， ∵（x﹣4）※（x+1）＝0， ∴， 解得：x＝﹣6， 经检验，x＝﹣6是的解． 故答案为：﹣6 12．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 　　． 【解答】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可得：， 故答案为：． 13．（2024春•崇明区期中）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程为 　y2﹣3y+2＝0　． 【解答】解：原方程可变为﹣﹣3＝0， 设，则＝，则原方程可变为y+﹣3＝0， 两边都乘以y得，y2﹣3y+2＝0． 故答案为：y2﹣3y+2＝0． 14．（2024秋•襄都区月考）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C会合，琳琳从A经过B摊位，最后到达出口C，华华从D摊位直接前往出口C，速度与琳琳从B到C的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从A到B的速度比从B到C的速度慢10m/min，且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则　琳琳　（填“琳琳”或“华华”）先到达出口C． 【解答】解：设琳琳从A到B的速度为x m/min，根据题意得： ， x＝50， x＝50是原方程的解， ∴x+10＝50+10＝60 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ∵6min＜12min， ∴琳琳先到达出口C． 故答案为：琳琳． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•桥西区校级月考）（1）化简：； （2）化简：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【解答】解：（1）； （2） ＝ ＝； （3）， 2（x+1）＝5， 2x+2＝5， ， 经检验，是分式方程的解； （4）解方程：， 1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 1﹣x＝﹣1﹣2x+4， x＝2， 经检验，x＝2不是分式方程的解， ∴原方程无解． 16．（2024秋•黄浦区校级月考）如果关于x的方程的解为非负数，求k的取值范围． 【解答】解：， 去分母得：x﹣4＝﹣k， 解得：x＝﹣k+4， 由于分式方程的解为非负数，即﹣k+4≥0， ∴﹣k≥﹣4， ∴k≤4， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴﹣k+4≠1， ∴k≠3， 因此k的取值范围为k≤4且k≠3． 17．（2024•绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【解答】解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：﹣＝2， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×25＝30， 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株， 由题意得：， 解得：45≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m＝45，46，47，48，49，50， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880， ∵﹣4＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m＝50时，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680， 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 18．（2024秋•永兴县校级月考）阅读下列材料 学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程＝1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a+4，由题目可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行． （1）请回答：　小聪　的说法是正确的，正确的理由是 　分式的分母不能为0　． 完成下列问题： （2）已知关于x的方程＝2的解为非负数，求m的取值范围； （3）若关于x的方程＝﹣1无解，求n的值． 【解答】解：（1）∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0， ∴小聪说得对，分式的分母不能为0； （2）＝2， ， m+x＝2（x﹣3）， x＝m+6， ∵解为非负数， ∴m+6≥0，即m≥﹣6， 又∵x﹣3≠0， ∴m+6≠3，即m≠﹣3， ∴m≥﹣6且m≠﹣3； （3）＝﹣1， 3﹣2x+nx﹣2＝﹣（x﹣3）， （n﹣1）x＝2， ∵原方程无解， ∴n﹣1＝0或x＝3， ①当n﹣1＝0时，解得n＝1； ②当x＝3时，解得； 综上所述：当n＝1或时原方程无解． 19．（2024春•高碑店市期末）某中学积极探索“五育并举，融合育人”的育人方式，计划组织八年级师生到皮影非遗传承基地开展跨学科主题研学活动．为正常开展研学活动，学校需为前往的师生们准备一些皮影道具作为学习材料，供应商A提供的皮影材料每件比供应商B提供的皮影材料每件便宜20元，用240元在供应商A处购买的皮影材料的件数与用360元在供应商B处购买的皮影材料的件数相同． （1）供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为多少元？ （2）考虑到学生的参与度和学习效果，学校计划购买皮影道具的总数量为120件．若学校的预算不超过5600元，且从供应商B处购买的材料件数不少于从供应商A处购买的材料件数的一半．若学校决定从供应商A处购买m件皮影道具，求m的值． 【解答】解：（1）设供应商A提供的皮影材料每件为x元．由题意，得： ， 解得：x＝40． 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意． 则x+20＝60． 答：供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为40元、60元． （2）由题意，得： 解得：m＝80． 20．（2024•南山区校级一模）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：＝2×， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$