精品解析：安徽省淮南第四中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题

2024—2025学年第一学期高一第一次段考数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 十六世纪中叶、英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数a，b满足，则下列是真命题的为（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的取值范围是______． 13. 函数的最小值是__________. 14. 已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求证：成立的充要条件是．提示： 16. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知全集为R，集合，集合． （1）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 18. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）若正数a，b满足，求的最小值． 19. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． （1）证明糖水不等式； （2）已知是三角形的三边，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期高一第一次段考数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“，”的否定是，. 故选：D 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中阴影部分表示求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示， ，则. 故选：A 3. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【详解】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 4. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再根据结果判断命题条件. 【详解】由题可知，，解得或， 所以“”是“”的必要非充分条件， 故选：B. 6. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 7. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 8. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于等于 D. 小于等于 【答案】A 【解析】 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设）， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小：（作差比较法） 因为， 因为，所以，即. 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 十六世纪中叶、英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，，则，所以，故B正确； 对于C，若，，显然符合，， 但，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：AB 10. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得两集合，再根据交集和补集的定义即可判断AB，根据补集的定义和集合间的关系即可判断CD. 【详解】解：或， ， 则，故A错误； ，故B正确； ，故C正确，D错误. 故选：BC. 11. 已知正实数a，b满足，则下列是真命题的为（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最大值为2 D. 的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断即可得正确的选项. 【详解】对A，，当且仅当时“等号”成立，故A正确； 对B，， 当且仅当时“等号”成立，故B正确； 对C，， 当且仅当时“等号”成立，故C错误； 对D，， 当且仅当时“等号”成立，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 13. 函数的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 函数式变形后用基本不等式求得最小值． 【详解】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是把函数式变形，凑出积为定值，则和可得最小值，但要注意等号成立的条件． 14. 已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】 充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【解析】 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 16. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）化简集合，然后利用补集及交集的定义运算即得； （2）由题可得，然后分，讨论即得. 【小问1详解】 由， 得或， 所以 【小问2详解】 因为， 所以， ①当时，，则， ②当时，，则， 综上，的取值范围为或. 17. 已知全集为R，集合，集合． （1）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到集合P是集合M的子集，进而得到或，解出不等式即可；（2），由集合间的包含关系得到或，解出不等式即可. 【小问1详解】 因为是成立的充分不必要条件， 所以集合P是集合M的子集． 因为，集合， 所以或，解得或， 故a的取值范围为． 【小问2详解】 因为集合， 所以． 又因为，所以或， 即或， 故a的取值范围为． 18. 解答下列各题 （1）若，求的最小值． （2）若正数a，b满足，求的最小值． 【答案】（1）8； （2）18. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用配凑及基本不等式求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【小问1详解】 由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 【小问2详解】 正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值18. 19. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． （1）证明糖水不等式； （2）已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 因为，所以， 所以，即． （2） 因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $