2.2圆的对称性课时训练-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性课时训练-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧叫做等弧 B．弧分为优弧和劣弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D．三点确定一个圆 2．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（    ） A．5 B．4 C．8 D．6 4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧所在圆的圆心，点是上一点，，垂足为点，，，则弧所在圆的半径是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 6．如图，等腰三角形内接于半圆，，半径长为，且直径，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，矩形与相交于，若，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，一辆卡车装满货物后，高米，宽米，若使这辆卡车安全通过隧道（上方是一个半圆，仅一辆车通过），则高度应小于 米． 10．如图，某水平放置圆柱形水管截面示意图，已知水管半径为10cm，水面宽，则水深为 cm． 11．如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 12．如图，为的弦，半径，垂足为点．如果，，那么的半径是 ． 13．《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是             14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 15．如图，矩形中，E，F分别是边，上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换，得到，点恰好在边上，过点D，F，作，连结．若时，则 ． 16．如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    三、解答题 17．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 18．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 19．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 20．如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． (1)求的半径； (2)若，求的长． 21．如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作⊙O，分别与两边相交于点，和点，，连接，此时有． (1)求证：； (2)若弦，求的长． 22．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B B D C A 1．C 【分析】本题考查圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系，根据圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系一一判断即可，解题的关键是熟练掌握圆的有关概念及定理的应用． 【详解】、能够互相重合的弧叫做等弧，此选项说法错误，不符合题意； 、圆弧分为三种：优弧、劣弧和半圆，此选项说法错误，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，此选项说法正确，符合题意； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出． 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， 则的半径为5， 故选A． 4．B 【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为r，则，结合勾股定理可推出半径r的值． 【详解】解：， ， 在中，， 设半径为得：， 解得：， 这段弯路的半径为； 故选择：B． 5．B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，由得到，进而得到，设，由勾股定理得到，解方程即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂径定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．过作并延长，交于，求出的长，再根据矩形的性质求出的长，再由垂径定理解答即可． 【详解】解：如下图，过作并延长，交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，过圆心作于，由垂径定理得到，由勾股定理得到，即可求出高度的取值，根据题意，画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，米，米， 过圆心作于，则米，， 在中，米， ∴高度应小于米， 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查的是垂径定理的应用．连接，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ， ， ， cm， ， 故水深为， 故答案为：4． 11． 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．过点作于点，根据垂径定理得，由题意可得，结合等腰三角形的“三线合一”可推出是等腰直角三角形，从而求出；设，可得，，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：，． 12．/ 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，先由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵半径，，， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 13．26寸 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识，利用垂径定理，勾股定理解决问题即可． 【详解】解：∵是半径， ∴， ∵寸，寸， ∴寸， 在中，， ∴， ∴寸， ∴寸． 故答案为：26寸． 14． 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，关键是延长交于G，由得到，再证四边形是矩形，由勾股定理求得，设，根据勾股定理求解即可． 【详解】解: 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵和关于对称， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 【详解】解：如下图，连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，， 连接，当点在的延长线上时，的值最大， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 18．见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 19． 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 20．(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，，，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 设半径， ，，，是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； （2）解：由（1）得：直径，，， ∵ ∴， ， ， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强． （1）由平分可得，由可得，从而有，则有． （2）过点作于，如图．根据垂径定理可得，从而可求出，在中，运用勾股定理可求出的长，从而进一步可得的长． 【详解】（1）证明：如图， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：过点作于，如图． 根据垂径定理可得：， ． 在中， ， 由勾股定理得：． ∴的长为． 22．(1)①作图见解析；②； (2)弧形拱所在圆的半径为． 【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； ②过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，， 证明四边形，是矩形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，设，则，，在中，，即，在中，，即，从而得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在弧形拱上任取一点，连接，分别作、的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，如图： ②如图，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，则， 由①可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，，， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴圆心到直线的距离是， 故答案为：； （2）解：如图： 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴弧形拱所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$