上海市位育中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高三年级 数学学科 (考试时间 120分钟，总分150分 ) 一、填空题(本大题共有12题, 第1-6题每题4分, 第7-12 题每题 5分, 满分54分) 1. 已知集合A=(0,4), B=(1,5), 则A∩B= . 2. 抛物线 的准线方程为 . 3. 不等式 的解集为 . 4. 若正数a、b满足a+2b=1, 则 ab的最大值为 . 5. 已知复数 (i为虚数单位)，则 . 6. 已知 若, 则 . 7. 若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 8. 已知点A(-2,3), B(1,-1), 则在 方向上的投影为 . 9. 若 则的值为 . IO. 设无穷等比数列的公比 则 11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中, AB=3 , BC=2, AA₁=1. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 12. 已知实数x₁,x₂,y₁,y₂满足: 则 的最大值是 . 二、选择题(本大题共有4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分) 13. 已知a∈R, 则“”是 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( ) A. B. 15. 已知集合M={(x,y)|}, 若对于任意实数对 存在 使 成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ④. 其中是“垂直对点集”的序号的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 数列中, 是数列的前项和, 若对任意正整数, 总存在正整数, 使得 则称数列为“P数列”，现有如下两个命题： ① 等比数列为“P数列”; ② 对任意的等差数列 ，总存在两个“P 数列”和 使得 。 则下列选项中正确的是 ( , A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分 78分) 17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD ，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. (1) 求证: AF⊥BE; (2) 若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 18.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知向量 设 (1) 求函数的单调增区间; (2) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若的面积为, 求边a的长. 19.(本题满分 14分) 本题共有3 个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1） 求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2） 独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3） 为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将 100个体重数据分为6组: 第一组[45,50), 第二组[50,55), ……,第六组[70，75），得到如图所示的频率分布直方图. 其中第一组有2人, 第二组有 13 人。 求与的值. 20.(本题满分 18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知椭圆Γ： O为坐标原点. (1) 求Γ的离心率; (2) 设点N(1,0), 点M在Γ上, 求|MN|的最大值和最小值; (3) 设点T(2,1), 点P为直线上的动点, 过点P且与OT平行的直线与Γ交于A、B两点. 试探究：是否为存在常数λ，使得 恒成立，若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由。 21. (本题满分 18分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 设函数的定义域为R, 其导函数为。若存在区间及实数满足:对任意, 都有恒成立, 则称函数为上的“函数”。 (1) 判断函数是否为上的函数, 并说明理由; (2) 已知实数满足：函数 为上的函数, 求的取值范围; (3) 已知函数存在最大值. 对于以下两个命题， P: 对任意, 都有与恒成立; Q: 对任意正整数, 满足函数都是上的函数; 判断P是否为Q的充要条件，并说明理由. $$ 2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高三年级 数学学科 (考试时间 120分钟，总分150分 ) 一、填空题(本大题共有12题, 第1-6题每题4分, 第7-12 题每题 5分, 满分54分) 1. 已知集合A=(0,4), B=(1,5), 则A∩B= . 2. 抛物线 的准线方程为 . 3. 不等式 的解集为 . 4. 若正数a、b满足a+2b=1, 则 ab的最大值为 . 5. 已知复数 (i为虚数单位)，则 . 6. 已知 若, 则 . 7. 若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 8. 已知点A(-2,3), B(1,-1), 则在 方向上的投影为 . 9. 若 则的值为 . IO. 设无穷等比数列的公比 则 11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中, AB=3 , BC=2, AA₁=1. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 12. 已知实数x₁,x₂,y₁,y₂满足: 则 的最大值是 . 二、选择题(本大题共有4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分) 13. 已知a∈R, 则“”是 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( ) A. B. 15. 已知集合M={(x,y)|}, 若对于任意实数对 存在 使 成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ④. 其中是“垂直对点集”的序号的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 数列中, 是数列的前项和, 若对任意正整数, 总存在正整数, 使得 则称数列为“P数列”，现有如下两个命题： ① 等比数列为“P数列”; ② 对任意的等差数列 ，总存在两个“P 数列”和 使得 。 则下列选项中正确的是 ( ) A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分 78分) 17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD ，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. (1) 求证: AF⊥BE; (2) 若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【解析】： (1) 联结 , 则 , 又 平面 , 平面 平面 , . (2) 据题知, , 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 是直线 与平面 所成的角. 设正方形 的边长为 , 则 . 与平面 所成角为 . 18.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知向量 设 (1) 求函数的单调增区间; (2) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若的面积为, 求边a的长. 【解析】： (1) 因为 , 则 得 , 故函数 的单调增区间为 (2) 因为 , 所以 , 又 , 则 所以 , 则 , 又 , 所以 , 由余弦定理可得: 12 19.(本题满分 14分) 本题共有3 个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1） 求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2） 独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3） 为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将 100个体重数据分为6组: 第一组[45,50), 第二组[50,55), ……,第六组[70，75），得到如图所示的频率分布直方图. 其中第一组有2人, 第二组有 13 人。 求与的值. 【解析】 (1) 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列 因为 所以第 75 百分数为 ; （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为 , 第二种生产方式中优秀的概率为 所以选出的两个人均为优秀的概率为 ; （4） ；；； ； 20.(本题满分 18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知椭圆Γ： O为坐标原点. (1) 求Γ的离心率; (2) 设点N(1,0), 点M在Γ上, 求|MN|的最大值和最小值; (3) 设点T(2,1), 点P为直线上的动点, 过点P且与OT平行的直线与Γ交于A、B两点. 试探究：是否为存在常数λ，使得 恒成立，若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由。 【解析】 【详解】(1) 设 的半长轴长为 ，半短轴长为 ，半焦距为 ， 则 , 则 , 所以 . (2) 依题意，设 ，则 ，故 ， 则 , 所以由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值为 ， 当 时， 取得最大值为 . (3) 设 ，又 ， 易得 , 则直线 为 , 即 , 而 , , , 联立 ，消去 ，得 则 , 得 , 所以 , 故 , 所以 , 故存在 ，使得 恒成立 21. (本题满分 18分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 设函数的定义域为R, 其导函数为。若存在区间及实数满足:对任意, 都有恒成立, 则称函数为上的“函数”。 (1) 判断函数是否为上的函数, 并说明理由; (2) 已知实数满足：函数 为上的函数, 求的取值范围; (3) 已知函数存在最大值. 对于以下两个命题， P: 对任意, 都有与恒成立; Q: 对任意正整数, 满足函数都是上的函数; 判断P是否为Q的充要条件，并说明理由. 【解析】 21.【答案】(1)设定义域为 的函数 在 上可 导, 导函数为 . 若区间及实数 满足: 对任意 成立， 则称函数 为 上的 " 函数". , 在 时恒成立, 是 上的 函数. (2) 满足: (3) 若 成立, 则对任意正整数 , 有: 即 为 上的 函数， 成立。故 为 分条件。 若 成立, 即对任意正整数 , 有: 记函数 的最大值为 . 先证明 恒成立。 反证法，假如存在 使得 ，则取正整数 , 使得 ,此时有 , 与(2)矛盾. 这意味着 为 上的严格减函数. 反证法, 假如存在 使得 , 则取正整数 , 使得 , 此时有 , 与(2)矛盾. 这意味着 为 上的严格减函数. 再证明 恒成立。 取 为 的一个最大值点, 则当 时, 由单调性知 , 但 , 所以 , 于是 . 对任意 , 可取一个与 有关的正整数 , 使得 由(2)知: . 于是 成立. 故 也为 的必要条件. $$