精品解析：北京市陈经纶中学2024～2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

陈经纶中学2024-2025第一学期初三数学期中检测 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是（ ） A. 144 B. 72 C. 60 D. 50 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 5. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ） A. （0，0） B. C. D. 7. ，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 方程的解是________． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 11. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数__________． 12. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，则的解是 _____． 13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 15. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程． 18. 若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 19. 如图，是直角三角形，，将绕点C顺时针旋转． （1）试作出旋转后的，其中B与D是对应点； （2）在作出的图形中，已知，求的长． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 22. 景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为平方米，求x的值． 23. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y与x的关系式：_________（）； （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/ … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 ① 28.5 31.3 （3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （4）结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． （1）当时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于 都有 求t的取值范围． 25. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． （1）如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） （2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 26. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学2024-2025第一学期初三数学期中检测 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一除二移三配方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是（ ） A. 144 B. 72 C. 60 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∴旋转的度数至少为， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 5. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ） A. （0，0） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论； 【详解】如图，点Q即为所求，； 故选C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，准确分析判断是解题的关键． 7. ，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 8. 四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线；乙同学发现当时，；丙同学发现函数的最小值为；丁同学发现是一元二次方程的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立． 【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线时，，即． 当乙同学的结论正确，即当时，时，，可得． 当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为时，，可得． 当丁同学的结论正确，即当是一元二次方程的一个根时，，可得． 根据和不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的， 假设丁同学的结论错误，联立和，得，，不满足，故假设不成立； 假设乙同学的结论错误，联立和，得，，此时满足，故假设成立； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 【详解】原方程变形为：， 解得，， 故答案为：，． 10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 11. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理求出，进而可求的度数． 【详解】解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后的对应角相等，旋转角的定义是解题的关键． 12. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，则的解是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据图象，的解就是二次函数与一次函数的图象交点的横坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图形可得，的解就是二次函数与一次函数的图象交点的横坐标， 所以的解是或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，解决本题的关键是熟练掌握用数形结合解决二次函数与一次函数交点问题． 13. 杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得，由此即可求解． 【详解】解：把代入一元二次方程得，，且， 解得，，且， ∴， 故答案为： ． 15. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元． 【答案】 ①. ① ②. 1010 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 三．解答题：共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】直接代入求根公式求解即可． 【详解】解：，， 因为 所以 所以， 【点晴】本题考查了一元二次方程的解法，熟练记住求根公式是解题的关键． 18. 若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，由即可求解； 【详解】解：将代入得， ∴， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键. 19. 如图，是直角三角形，，将绕点C顺时针旋转． （1）试作出旋转后的，其中B与D是对应点； （2）在作出的图形中，已知，求的长． 【答案】（1） 如图所示； （2）7 【解析】 【分析】（1）根据题意作出旋转图形即可； （2）由勾股定理得出，再由旋转的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵由旋转而成， ∴， ∵， ∴B、C、E共线， ∴． 【点睛】题目主要考查旋转图形的作法，勾股定理解三角形，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … （1）并画出图象； （2）求此抛物线的解析式； （3）结合图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）抛物线图象如图， （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键． （1）再利用描点法画函数图象； （2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可， （3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵设二次函数的解析式为， 由题意得：当时，， ∴ ∵时，，当时，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时， 当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意，， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据即可证明； （2）根据因式分解法求出方程的解为，，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，， ∵方程的一个实数根是另一个实数根的两倍， ∴或， 解得或． 22. 景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为平方米，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建花道后剩余的面积为平方米，根据花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得：，， ∵园地的宽为5米，而， ∴不合题意，舍去． 答：x的值为1． 23. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y与x的关系式：_________（）； （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/ … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 ① 28.5 31.3 （3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （4）结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）根据长方体表面积公式即可求解； （2）将代入（1）中所得函数关系式即可； （3）描点连线即可完成作图； （4）观察图象，找到图象最低点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：观察图象可知，当约为时，需要的材料最省， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用．掌握函数的研究方法是解题关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． （1）当时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于 都有 求t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，，， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图1， ∴在抛物线段上，在段上，在上， ∵对于，都有， ∴且， 且， 解得：； 当时，如图2， ∵对于，都有， ∴且， 解得：； 当时，如图3， ∵对于，都有， 又∵在图象中已包含最小值， ∴不存在的情况，即此种情况舍去； 当时，如图4， ∵对于，都有， 又∵， ∴，即此种情况与题意不符，舍去； 综上所述，t的取值范围为或． 25. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接． （1）如图1，当时，则 ；（用含有α的式子表示） （2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F．交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）①如图所示： ； ②，理由如下： 如图2，过点C作于H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点A逆时针旋转α得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图， ∵， ∴， ， ∴； ②略 26. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】（1）和 （2） （3）最大值为12，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最小值，当抛物线过点时有最大值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， 如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”； 【小问2详解】 解：∵， ∴在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”； ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴， 设直线的解析式为：，则： ， 解得：， ∴， 当在上时，，解得：； 当在上时，，解得：； ∴当时，点是关于原点O的“伴随点”； 【小问3详解】 解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中． ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过，即， 解得：， n的最小值为； 同理，当过，得到n的最大值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $