培优课10 构造法求数列通项 学案——2025届高三数学一轮复习

培优课10 构造法求数列通项 培优点一 an+1=Aan+f(n)型 【审题指导】 已知在数列{an}中，a1=1，，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【通性通法】 形如an+1=Aan+f(n)(A≠0，f(n)≠0)的递推式求通项公式的3种类型及解题策略 类型 解题策略 an+1=Aan+B(A≠0，B≠0)型 形如an+1=Aan+B或an+1=Aan+Bn+C的递推关系式可以化为an+1+λ=A(an+λ)或an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)的形式，构造新的等比数列，求出通项公式，其中变量λ，μ是关键 an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型 an+1=Aan+tBn(A，t，B≠0，1)型 形如an+1=Aan+tBn的递推关系式可以两边同时除以Bn+1后得到=·+，转化为bn+1=kbn+，再参考第一种形式求解即可 【培优训练】 an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型 1.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+3，求数列{an}的通项公式. an+1=Aan+tBn(A，B，t≠0，1)型 2.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式. 培优点二　取倒数型 【审题指导】 已知在{an}中，a1=1，　　　　　an+1=　　　　　　，则数列 审题②形如an+1=的递 推式可考虑用取倒数法 {an}的通项公式为　　　　.  【通性通法】 1.形如an+1=(A，B，C≠0，an≠0)的递推式求通项公式，两边同时取倒数转化为=·+的形式，化归为bn+1=tbn+f(n)型，求出数列的通项公式，从而可得{an}的通项公式. 2.形如an+1=(n≥2，an≠0)的递推式求通项公式，两边同时取倒数转化为-=-，证明数列为等差数列，转化求解可得{an}的通项公式. 【培优训练】 an+1=(A，B≠0，A≠C)型 1.已知在正数数列{an}中，a1=1，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  an+1=型 2.已知在正数数列{an}中，a1=1，a2=，an+1=(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　.  培优点三　取对数型 【审题指导】 已知在数列{an}中，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【通性通法】 　　在数列的递推关系中，遇上形如非线性关系的，如an+1=A(A>0，B≠1，a1>0)，可以两边取对数，把次数变成系数，转化为线性关系式logaan+1=logaA+Blogaan(a>0，且a≠1)，这样就变成了bn+1=m+Bbn(m，B为常数)的形式，从而转化到熟悉的线性递推关系来求解. 【培优训练】 递推关系中增加二次项的系数 1.若将典例3中的条件“an+1=”改为“an+1=2”，则数列{an}的通项公式为　　　　.  递推关系中增加一次项和常数项 2.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=+4an+2，则数列{an}的通项公式为　　　　.  *培优点四　特征根型 【审题指导】 已知在数列{an}中，a1=1，，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【注意】本例与培优点一的典例1同题，但此处采取特征根法求解. 【通性通法】 1.an+1=Aan+B(A≠0，1，B≠0)型，其特征根方程为x=Ax+B，解为不动点x0，则an+1-x0=A(an-x0)，即数列{an-x0}(x0≠a1)是等比数列.特别地，当x0=a1时，数列{an}为常数列. 2.an+1=(C≠0，AD-BC≠0)型，其特征根方程为x=，解为x1，x2. (1)当特征根方程有两个相同的实数根，即x1=x2=x0时，数列是等差数列； (2)当特征根方程有两个相异的实数根，即x1≠x2时，数列是等比数列； (3)当特征根方程无实数根时，数列{an}是周期数列. 3.an+2=Aan+1+Ban(A≠0，1，B≠0)型，其对应的特征根方程为x2-Ax-B=0，解为x1，x2. (1)当x1≠x2时，数列{an}的通项公式为an=P+Q，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2确定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=P+Q，得到关于P，Q的方程组)； (2)当x1=x2=x0时，数列{an}的通项公式为an=(P+Qn)，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2确定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=(P+Qn)，得到关于P，Q的方程组). 【培优训练】 an+1=型，1个特征根 1.设数列{an}满足a1=2，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  an+1=型，2个特征根 2.设数列{an}满足a1=3，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  an+2=Aan+1+Ban型 3.设数列{an}满足a1=1，a2=，an+2=an+1-an，求数列{an}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课10 构造法求数列通项 培优点一 an+1=Aan+f(n)型 【审题指导】 已知在数列{an}中，a1=1，，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【解题观摩】 　　答案　an=2n+1-3 　　解析　因为an+1=2an+3，所以设an+1+λ=2(an+λ)，整理得an+1=2an+λ， 审题① 由对应系数相等可得λ=3，即an+1+3=2(an+3). 设bn=an+3，则b1=a1+3=4，且=2， 故数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn=4·2n-1=2n+1，即an=2n+1-3(n∈N*). 【通性通法】 形如an+1=Aan+f(n)(A≠0，f(n)≠0)的递推式求通项公式的3种类型及解题策略 类型 解题策略 an+1=Aan+B(A≠0，B≠0)型 形如an+1=Aan+B或an+1=Aan+Bn+C的递推关系式可以化为an+1+λ=A(an+λ)或an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)的形式，构造新的等比数列，求出通项公式，其中变量λ，μ是关键 an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型 an+1=Aan+tBn(A，t，B≠0，1)型 形如an+1=Aan+tBn的递推关系式可以两边同时除以Bn+1后得到=·+，转化为bn+1=kbn+，再参考第一种形式求解即可 【培优训练】 an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型 1.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+3，求数列{an}的通项公式. 解析　因为an+1=2an+2n+3，设an+1+λ(n+1)+μ=2(an+λn+μ)， 整理得an+1=2an+λn+μ-λ，对应系数相等可得解得所以an+1+2(n+1)+5=2(an+2n+5). 设bn=an+2n+5，b1=a1+2+5=8，且=2，故数列{bn}是以8为首项，2为公比的等比数列，所以bn=8·2n-1=2n+2(n∈N*)， 即an=2n+2-2n-5(n∈N*). an+1=Aan+tBn(A，B，t≠0，1)型 2.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式. 解析　因为an+1=2an+3n，所以=·+，令bn=，则b1==，所以bn+1=bn+. 设bn+1+λ=(bn+λ)，整理得bn+1=bn-，对应系数相等可得λ=-1，所以bn+1-1=(bn-1).设cn=bn-1，则c1=b1-1=-，且=， 故数列{cn}是以-为首项，为公比的等比数列，所以cn=-·n-1=-n(n∈N*)， 则bn=-n+1(n∈N*)，则an=3n-2n(n∈N*). 培优点二　取倒数型 【审题指导】 已知在{an}中，a1=1，　　　　　an+1=　　　　　　，则数列 审题②形如an+1=的递 推式可考虑用取倒数法 {an}的通项公式为　　　　.  【解题观摩】 　　答案　an= 　　解析　因为数列{an}为正数数列， 审题① an+1=，所以=+2， 审题② 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，故=1+(n-1)·2=2n-1， 即an=(n∈N*). 【通性通法】 1.形如an+1=(A，B，C≠0，an≠0)的递推式求通项公式，两边同时取倒数转化为=·+的形式，化归为bn+1=tbn+f(n)型，求出数列的通项公式，从而可得{an}的通项公式. 2.形如an+1=(n≥2，an≠0)的递推式求通项公式，两边同时取倒数转化为-=-，证明数列为等差数列，转化求解可得{an}的通项公式. 【培优训练】 an+1=(A，B≠0，A≠C)型 1.已知在正数数列{an}中，a1=1，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　因为数列{an}为正数数列，an+1=，所以=+2， 令bn=，则b1==1，所以bn+1=3bn+2，设bn+1+λ=3(bn+λ)，整理得bn+1=3bn+2λ，对应系数相等可得λ=1，所以bn+1+1=3(bn+1)， 令cn=bn+1，则c1=b1+1=2，且=3，故数列{cn}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以cn=2·3n-1(n∈N*)，则bn=2·3n-1-1(n∈N*)，即an=(n∈N*). an+1=型 2.已知在正数数列{an}中，a1=1，a2=，an+1=(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　因为数列{an}为正数数列，an+1=，所以=，所以=-，即-=-，又-=1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以=n，即an=(n∈N*). 培优点三　取对数型 【审题指导】 已知在数列{an}中，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【解题观摩】 　　答案　an= 　　解析　由an+1=， 审题① 两边取以2为底的对数，可得log2an+1=2log2an，设bn=log2an，则bn+1=2bn，且b1=1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，即bn=2n-1(n∈N*)，所以log2an=2n-1，即an=(n∈N*). 【通性通法】 　　在数列的递推关系中，遇上形如非线性关系的，如an+1=A(A>0，B≠1，a1>0)，可以两边取对数，把次数变成系数，转化为线性关系式logaan+1=logaA+Blogaan(a>0，且a≠1)，这样就变成了bn+1=m+Bbn(m，B为常数)的形式，从而转化到熟悉的线性递推关系来求解. 【培优训练】 递推关系中增加二次项的系数 1.若将典例3中的条件“an+1=”改为“an+1=2”，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　由an+1=2，两边取以2为底的对数，可得log2an+1=2log2an+1. 设bn=log2an，b1=1，则bn+1=2bn+1，再设bn+1+λ=2(bn+λ)，整理得bn+1=2bn+λ，对应系数相等可得λ=1，所以bn+1+1=2(bn+1)，设cn=bn+1，c1=2，则cn+1=2cn，故数列{cn}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以cn=2n，则bn=2n-1，即log2an=2n-1，所以an=(n∈N*). 递推关系中增加一次项和常数项 2.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=+4an+2，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an=-2 解析　由an+1=+4an+2，两边加上2，可得an+1+2=(an+2)2，两边取以3为底的对数得log3(an+1+2)=2log3(an+2)，可得数列{log3(an+2)}是首项为1，公比为2的等比数列，即log3(an+2)=2n-1，所以an=-2(n∈N*). *培优点四　特征根型 【审题指导】 已知在数列{an}中，a1=1，，则数列{an}的通项公式为　　　　.  【注意】本例与培优点一的典例1同题，但此处采取特征根法求解. 【解题观摩】 　　答案　an=2n+1-3 解析　因为an+1=2an+3，令x=2x+3， 审题① 解得特征根x=-3，所以变形得到an+1-(-3)=2an+3-(-3)=2(an+3)，又a1+3=4， 所以数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an+3=4·2n-1=2n+1， 即an=2n+1-3(n∈N*). 【通性通法】 1.an+1=Aan+B(A≠0，1，B≠0)型，其特征根方程为x=Ax+B，解为不动点x0，则an+1-x0=A(an-x0)，即数列{an-x0}(x0≠a1)是等比数列.特别地，当x0=a1时，数列{an}为常数列. 2.an+1=(C≠0，AD-BC≠0)型，其特征根方程为x=，解为x1，x2. (1)当特征根方程有两个相同的实数根，即x1=x2=x0时，数列是等差数列； (2)当特征根方程有两个相异的实数根，即x1≠x2时，数列是等比数列； (3)当特征根方程无实数根时，数列{an}是周期数列. 3.an+2=Aan+1+Ban(A≠0，1，B≠0)型，其对应的特征根方程为x2-Ax-B=0，解为x1，x2. (1)当x1≠x2时，数列{an}的通项公式为an=P+Q，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2确定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=P+Q，得到关于P，Q的方程组)； (2)当x1=x2=x0时，数列{an}的通项公式为an=(P+Qn)，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2确定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=(P+Qn)，得到关于P，Q的方程组). 【培优训练】 an+1=型，1个特征根 1.设数列{an}满足a1=2，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　因为an+1=，所以设x=，即(x-1)2=0，解得特征根x=1， 因此变形为an+1-1=-1==，两边同时取倒数可得=+，又=1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以=1+(n-1)·=，即an=(n∈N*). an+1=型，2个特征根 2.设数列{an}满足a1=3，an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　因为an+1=，所以设x=，即(x-1)(x-2)=0，解得特征根x1=1和x2=2， 因此变形为an+1-1=-1=，　① an+1-2=-2=，　② 两式相除得=·，又=2， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以=2·n-1，即an=(n∈N*). an+2=Aan+1+Ban型 3.设数列{an}满足a1=1，a2=，an+2=an+1-an，求数列{an}的通项公式. 解析　因为an+2=an+1-an，设其特征根方程为x2-x+=0，解得x1=，x2=1，所以设an=P·n-1+Q，将a1=1，a2=代入上式得解得故an=3-2·n-1(n∈N*). 学科网（北京）股份有限公司 $$