精品解析：山东省泰安市泰山区2024—2025学年九年级上学期期中数学试卷

第一学期期中学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在等腰，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象位于第一、三象限 B. 当时， C. 该函数图象经过点 D. 函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值 C. 与x轴只有一个交点 D. 当时，随的增大而增大 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…，分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…，连接、、…，过点、、…分别向、、…作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 14. 二次函数y=x2﹣6x+5的顶点坐标是 ____________. 15. 如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________． 16. 如图，在距离铁轨米的处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；一段时间后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是________米．（结果保留根号） 17. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 18. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 23. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 24. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 25. 如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点逆时针旋转，所得直线与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点到直线的距离最大时，求出最大距离； ②当点到直线的距离为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中学情抽测 初四数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、不是反比例函数，故该选项符合题意； D、是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理等知识点，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 在中，由于，因而可设，，根据勾股定理可求得，由即可求出答案． 【详解】解：如图， ， 可设，， 根据勾股定理可得： ， ， 故选：． 3. 已知抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的平移．根据二次函数平移的规律解答，即可求解． 【详解】解：抛物线，将抛物线向下移动5个单位长度，向左移动3个长度单位后，所得抛物线的表达式是． 故选：B 4. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中， 反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上， ，在第二象限， 又， ， 又在第四象限， ， ， 故选：． 5. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 6. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴ ∴． 故选：B． 7. 在等腰，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 8. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象位于第一、三象限 B. 当时， C. 该函数图象经过点 D. 函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，根据新定义运算得到反比例函数解析式，根据反比例函数图形性质一一判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴由可知，反例函数的图象位于第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 当时，对应点都在左半支，随的增大而增大，所以，故选项B错误，不符合题意； 当时，，所以函数图象不经过点，故选项C错误，不符合题意； 反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项D正确，符合题意； 故选：D 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值 C. 与x轴只有一个交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与系数的关系，根据二次函数的性质求解判断即可． 【详解】， 直线是抛物线的对称轴， 故A选项说法正确； 当时，抛物线有最大值， 故B选项说法正确； 令，， 抛物线与x轴有两个交点， 故C选项说法错误； 当时，随的增大而增大， 故D选项说法正确， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出与的正负，即可作出判断． 【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ，，即，， 则一次函数不经过第一象限． 故选A． 11. 图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…，分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…，连接、、…，过点、、…分别向、、…作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，设，，…，则，表示出…的值，再相加即可． 【详解】解：∵ ∴设，，… ∵、、、…在反比例函数的图像上 ∴ ∵ ∴ … ∴ 故选：C． 12. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；；函数的最大值为；若关于的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和位置一一判断即可；利用抛物线的对称轴公式及抛物线与轴的交点坐标求解即可；根据轴对称的性质求出抛物线与轴的另一个交点坐标，设抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为；把问题转化为一元二次方程，利用判别式，解一元二次不等式即可．据此即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ， 故正确； ， ， 又抛物线与轴交于点， ， 即：， 代入，可得： ， 故正确； 抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， 根据轴对称的性质可得，抛物线与轴另一个交点的横坐标为：， 抛物线与轴交于点，， 可以假设抛物线的解析式为， 当时，的值最大，最大值为， 故正确； 无实数根， 无实数根， ，， ， 整理，得：， 解得：， 故正确； 综上所述，正确的有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，的图象与性质，轴对称的性质，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元二次不等式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 老李驾车从甲地到乙地，他以60千米/时的平均速度5小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度（千米/时）与时间（时）（）的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了根据实际问题列反比例函数关系式，清楚路程、速度、时间三者之间的关系对解答本题很重要．根据速度×时间=路程，可以求出甲地到乙地的路程；再根据行驶速度=路程÷时间，得到y与x的函数解析式． 【详解】解：由已知得：甲地到乙地的路程（千米），则 汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（）的函数关系式为：， 故答案为：． 14. 二次函数y=x2﹣6x+5的顶点坐标是 ____________. 【答案】（3,-4）. 【解析】 【详解】，由此可得二次函数y=x2﹣6x+5的顶点坐标是（3，-4）. 15. 如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段的中点即可找出点B的坐标，根据k值几何意义得出求解即可． 【详解】解：∵D坐标为，点D在反比例函数的图象上， ∴， ∵D好是的中点， ∴点B的坐标为 ， ∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：20． 16. 如图，在距离铁轨米的处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上；一段时间后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是________米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件及直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由已知条件及直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，最后由即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知： ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 17. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 18. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，把两个等式相减，整理得，通过判断的符号判断③；将方程写成，整理，得，再利用判别式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线过两点，且， ， ， ∴，即， ∵抛物线开口向下，， ∴，故①正确； 若，则， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线，点在抛物线上， ∴， 把两个等式相减，整理得， ， ， ， ∴，故③正确； 依题意，将方程写成， 整理，得， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②③④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出B点坐标； （2）根据函数图象即可求解； （3）把A、B坐标代入，即可求出一次函数解析式，求出点D坐标，由计算即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ， 将代入， 得， ， ； 【小问2详解】 由图象可知当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 将，分别代入， 得， ， ， 令，则， 解得：， ． 21. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 图象如图所示， （3）向下平移10个单位 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；再根据画函数图象的步骤画图即可； （3）把代入，得，即点向下平移10个单位得到点． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得：； 【小问2详解】 二次函数， 画函数图象的步骤： 列表： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点： 连线： 顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问3详解】 把代入， 得， 点向下平移10个单位得到点， 所以需将抛物线向下平移10个单位． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米 （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 【解析】 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； 【小问2详解】 略 23. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题； （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可 （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 由题意得， 解得． 所求函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，设利润为元，得 整理得 当时，取得最大值，最大值为225 每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 24. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义——“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，时，，得到是函的“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，时，，是的“近轴点”； （2）的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时， ，得到． 【小问1详解】 解：①中，时，， 是函的“近轴点”； ②，由对称性，当时，， 函数不存在“近轴点”； ③， 时，， 是的“近轴点”； 上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③ 【小问2详解】 中， 时，， 图象恒过点， 当直线过时，， ； ； 当直线过时，， ， ； 的取值范围为或． 25. 如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，将直线绕点逆时针旋转，所得直线与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点到直线的距离最大时，求出最大距离； ②当点到直线的距离为时，求的值． 【答案】（1） （2）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可计算出点A、B、C的坐标，再证明，即可得D点的坐标，因此可得所在直线的解析式． （2）①作轴交直线于点，设P点的横坐标为t，因为P在抛物线上因此可得纵坐标为，因为N点在直线上因此可得N，根据三角函数可得的长度，再利用二次函数可得取最大值时t的值，进而计算出P点的坐标； ② 解二元一次方程即可得到t的值，再根据t的值计算即可． 【小问1详解】 解：当时，则点的坐标为， 当时，，解得，，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵将直线绕点逆时针旋转得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为 ，得， 即直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：作轴交直线于点，如图①所示， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴轴， ∴轴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时点P的坐标为， 即当点到直线的距离最大时，点的坐标是，最大距离是； ②当点到直线的距离为时，如图②所示， 则， 解得：， 则的坐标为，的坐标为， 当的坐标为，则， ∴； 当的坐标为，则， ∴； 由上可得，的值是或． 【点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $