精品解析：吉林省长春市榆树市 2024-2025学年八年级上学期10月期中数学试题

榆树市2024—2025学年度第一学期期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题的是( ) A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同角的余角相等 D. 内错角相等 4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A. 12xy2＝3xy•4y B. （x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3 C. x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D. x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 5. 比较的大小结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知AB＝CB，若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD，需要补充的一个条件是（　　） A. ∠A＝∠C B. ∠ADB＝∠CDB C. ∠ABD＝∠CBD D. BD＝BD 7. 若，则a+b等于（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④； 你认为其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 _____． 10. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可） 11. 若，，则_______． 12. 已知，，则的值是 _______． 13. 若是一个完全平方式，则________． 14. 如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是____． 三、解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，. 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 19. 已知， 求： （1）； （2）． 20. 我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， （1）用简便方法计算：； （2）当x等于多少时，． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 22. 如图①，有一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线剪开可平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．请观察分析后完成下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积可表示为（ ） A． B． C． D． （2）观察图②，请你归纳出，，之间的一个等量关系______； （3）运用（2）中归纳的结论：当时，求的值． 23. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如∶①用配方法分解因式∶， 解∶原式； ②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶， 不论取何值，总是非负数，即． ， 当时，有最小值，最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： （1）分解因式（利用配方法）：； （2）若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由； （3）已知是的三条边长，若满足，求的周长． 24. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t的值； （2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市2024—2025学年度第一学期期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据无理数是无限不循环小数，可得A.是无理数，B．，C．，D．是有理数， 故选A． 考点：无理数 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，合并同类项进行计算，进而判断即可． 【详解】A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列命题中，真命题的是( ) A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同角的余角相等 D. 内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可判断A、D缺少前提条件，是假命题，根据对顶角的定义可判断B是错误的，根据余角的性质可判断C是正确的. 【详解】A、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题； B、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题； C、同角或等角的余角相等，正确，是真命题； D、两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题. 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的定义以及余角的性质，熟记相关定理是解题的关键. 4. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A. 12xy2＝3xy•4y B. （x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3 C. x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D. x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 5. 比较的大小结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运用．根据幂的乘方的逆运用，即可求解． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 故选：A 6. 如图，已知AB＝CB，若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD，需要补充的一个条件是（　　） A. ∠A＝∠C B. ∠ADB＝∠CDB C. ∠ABD＝∠CBD D. BD＝BD 【答案】C 【解析】 【分析】利用公共边BD以及AB＝CB，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【详解】如图，∵在△ABD与△CBD中，AB＝CB，BD＝BD， ∴添加∠ABD＝∠CBD时，可以根据SAS判定△ABD≌△CBD 故选C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 7. 若，则a+b等于（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则将展开即可求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，代数式求值，正确计算出是解题的关键． 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④； 你认为其中正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．掌握多项式与多项式相乘的法则是解题的关键．利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为，然后利用多项式乘多项式对四种表示方法进行判断即可． 【详解】解：最大长方形面积为 ． 故其中正确的有共3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， 故答案为：1． 10. 写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可） 【答案】答案不唯一（如等） 【解析】 【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数， 【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可； 所以可以写： ①开方开不尽的数： ②无限不循环小数，， ③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可． 故答案为：答案不唯一（如等） 【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 11. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 12. 已知，，则的值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用整体代入求代数式的值．将因式分解，再将已知代入即可． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式．由是完全平方式，不难得到是6的倍． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是____． 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出大的正方形的边长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为， 边长为， 表示1的点A为圆心，向左向右移个单位， ∴与数轴的交点表示的实数是，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了数轴和实数，根据面积的关系得出大正方形的边长是解此题的关键． 三、解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘除，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用单项式与单项式的乘除法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用多项式乘多项式的乘法则计算，合并即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据提取公因式法，再根据平方差公式，可得答案； （）根据提取公因式，再根据完全平方公式，可得答案； 本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握提公因式法，平方差公式和完全平方公式． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 17. 先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可． 【详解】 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．根据题意得出，，证明，再利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 已知， 求： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式得，再把代入计算即可； （2）运用完全平方公式得，再把代入求出，然后由平方根定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 即． 【点睛】本题考查分式运算，平方根，熟练掌握运用完全平方公式变形求代数式值上解题的关键． 20. 我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， （1）用简便方法计算：； （2）当x等于多少时，． 【答案】（1）1 （2）5 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义将原式变形为，再利用平方差公式进行简便运算； （2）根据新定义将原式变形为，通过整理可得一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 所以当时，． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点D是图③的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 【答案】（1） 即为所求，如图所示： （2） 即为所求，如图所示： （3） 即为所求，如图所示： 【解析】 【分析】此题考查了格点作图，三角形全等的判定，勾股定理和网格问题，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． （）根据勾股定理，三角形全等的判定方法作图即可； （）根据勾股定理，三角形全等的判定方法作图即可； （）根据网格线的特点及平移的性质作图即可； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴． 22. 如图①，有一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线剪开可平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．请观察分析后完成下列问题： （1）图②中，阴影部分的面积可表示为（ ） A． B． C． D． （2）观察图②，请你归纳出，，之间的一个等量关系______； （3）运用（2）中归纳的结论：当时，求的值． 【答案】（1）C （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积法证明完全平方公式之间的关系． （1）阴影部分为边长为的正方形，然后根据正方形的面积公式求解； （2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则； （3）由（2）的结论得到，再把代入得到，然后利用平方根的定义求解． 【小问1详解】 解： 阴影部分为边长为的正方形，所以阴影部分的面积， 故选：C； 【小问2详解】 解：由图可得：（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴ ∴． 23. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如∶①用配方法分解因式∶， 解∶原式； ②利用配方法求最小值∶求的最小值．解∶， 不论取何值，总是非负数，即． ， 当时，有最小值，最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： （1）分解因式（利用配方法）：； （2）若，其中x为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由； （3）已知是的三条边长，若满足，求的周长． 【答案】（1） （2），理由如下： ； （3）9 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．理解配方法是把代数式通过配方等手段，得到完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为∶比较两个数的大小，通常用作差法，如果差是正数，则被减数大于减数；若差是负数，则被减数小于减数；几个非负数相加得0，这几个非负数均为0． （1）把所给式子的前两项加上一个常数，整理为完全平方式，再把整个式子整理为和原来式子相等的形式，进而用平方差公式继续展开，整理可得因式分解的形式； （2）计算M与N的差，根据差的符号可得M和N的大小； （3）把所给等式整理为三个非负数相加得0的形式，可得这三个非负数均为0，即可求得的值，进而求的周长即可． 【小问1详解】 解: 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解得： 的周长． 24. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t的值； （2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长． 【答案】（1）t的值为秒；（2）CP的长为；（3）当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6 【解析】 【分析】（1）由题意得t+3t=6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值； （2）根据题意即可得出CP的长为； （3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长． 【详解】解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8， 解得：t＝（秒）， 当P、Q两点相遇时，t的值为秒； （2）由题意可知AP＝t， 则CP的长为； （3）当P在AC上，Q在BC上时， ∵∠ACB＝90， ∴∠PCE＋∠QCF＝90°， ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F． ∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠EPC＝∠QCF， ∴△PCE≌△CQF， ∴PC＝CQ， ∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1， ∴CQ＝8﹣3t＝5； 当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC， 由题意得，6﹣t＝3t﹣8， 解得：t＝3.5， ∴CQ＝3t﹣8＝2.5， 当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6， 综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $