精品解析：四川省眉山市仁寿县城北实验初级中学2023-—2024学年上学期八年级期末数学试题

城北初中八年级上期数学期末学业评价 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 9的平方根是(　　) A. ±3 B. ± C. 3 D. －3 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 8或10 B. 8 C. 10 D. 6或12 4. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若，则 或b=0 D. 两点之间，线段最短 6. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 33 D. 4 8. 如图， 在中，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 18 9. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 1 B. 或1 C. 6或 D. 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 11. 已知：，则（ ） A. 1 B. C. D. 12. 如图中，，，是边的中线，有，垂足为点E，交于点D，且平分交于N，交于H，连接，则下列结论：①；②；③；④；正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2020的值为________． 14. 已知，则______________ 15. 若，，则______ 16. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____． 17. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 18. 在中，，，，点为射线上一点，当为等腰三角形时，的周长为 _______． 三、解答题（共78分） 19. 20. 因式分解 （1） ． （2）． 21. 先化简，再求值：+（2﹣14y+8x）÷（﹣2x），其中x=﹣，y=5． 22. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 23. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 24. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G． （1）求证：． （2）当DG=3，BC=时，求 CG的长． 25. 把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． （3）求代数式的最小值，并求出此时的的值． 26. 探究题： （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为 （直接写出结论，不用证明）． ②线段之间的数量关系是 （直接写出结论，不用证明）． （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：在（2）问的条件下，若，试求的面积（用，表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城北初中八年级上期数学期末学业评价 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 9的平方根是(　　) A. ±3 B. ± C. 3 D. －3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：9的平方根是： ±=±3． 故选A． 【点睛】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的法则逐项计算即可． 【详解】解：A. ，故原选项计算正确，符合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不符合题意； D. ，故原选项计算错误，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 3. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 8或10 B. 8 C. 10 D. 6或12 【答案】C 【解析】 【详解】①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2=4，∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10， 综上所述，它的周长是10． 故选C． 4. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A．，正确； B．，正确； C．不能因式分解，错误； D．，正确； 故选C． 考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法；3．因式分解-十字相乘法等． 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若，则 或b=0 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据有理数乘法对C进行判断；根据线段公理对D进行判断． 【详解】A．相等的角是不一定对顶角，所以A为假命题； B．同位角相等，两直线平行，所以B为真命题； C．若ab=0，则a=0 或b=0，所以C为真命题； D．两点之间，线段最短，所以D为真命题． 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，且，可求得，故不是直角三角形； B、不妨设，此时，故是直角三角形； C、，且，可求得，故是直角三角形； D、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：A． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 33 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：A． 8. 如图， 在中，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为8， ， ， ， 的周长． 故选：C 9. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 1 B. 或1 C. 6或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或1． 故选：B 10. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 11. 已知：，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，乘方运算，因为，所以，解得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B 12. 如图中，，，是边的中线，有，垂足为点E，交于点D，且平分交于N，交于H，连接，则下列结论：①；②；③；④；正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作交的延长线于．通过角的等量代换，得出，再通过证明，然后角的等量代换，得出，再通过证明，最后证明，即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，， ∴是等腰直角三角形， ∵平分， ，， ， ， ， ， ∴ ， ∵， ， ，，，故②③正确， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，，故①④正确， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若m2+m﹣1=0，则m3+2m2+2020的值为________． 【答案】2021 【解析】 【分析】根据已知求出m2+m=1,把所求的代数式化成含有m2+m的形式,代入求出即可. 【详解】∵m2+m-1=0, ∴m2+m=1. ∴m3+2m2+2020=m(m2+m)+m2+2020 =m×1+m2+2020 =m+m2+2020 =1+2020 =2021, 故答案为：2021. 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则. 14. 已知，则______________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，算术平方根的非性，代数式求值． 首先依据非负数的性质求得，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 15. 若，，则______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，可得，，再通过对完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：7． 16. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____． 【答案】至少有两个内角是钝角 【解析】 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角， 故答案为至少有两个内角是钝角． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 17. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 18. 在中，，，，点为射线上一点，当为等腰三角形时，的周长为 _______． 【答案】32或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB=AD=10时，CD=CB=6，得△ABD的周长为32m； ②如图2，当AB=BD=10时得CD=4，在Rt△ACD中，AD=，得到△ABD的周长=； ③如图3当AB为底时．则设腰AD=BD=x，则CD=x-6，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2=（x-6）2+82，解得：x= ，得到△ABD的周长为m． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=， 如图1， 当AB=AD=10时，CD=CB=6， 得△ABD的周长为10+10+12=32m； 如图2， 当AB=BD=10时， 得CD=4， 在Rt△ACD中，AD= ∴△ABD的周长=10+10+ ； 如图3， 当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6， 在Rt△ACD中，AD2=CD2+AC2， 即x2=（x-6）2+82，解得：x=， 则△ABD的周长为++10=m． 故答案为32或或. 【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是正确认识到需要讨论，讨论等腰三角形的边应如何分类． 三、解答题（共78分） 19. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根、平方根，乘方运算，化简绝对值，先求出立方根、平方根，乘方运算以及化简绝对值，再运算加减法，据此即可作答． 【详解】解： ． 20. 因式分解 （1） ． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21. 先化简，再求值：+（2﹣14y+8x）÷（﹣2x），其中x=﹣，y=5． 【答案】－10 【解析】 【详解】试题分析：首先根据完全平方公式和整式的除法的计算方法法则将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x和y的值代入合并后的代数式进行计算． 试题解析：原式=﹣4xy+4﹣+7xy﹣4=3xy， 当x=﹣，y=5时，原式=3×（﹣）×5=﹣10． 考点：整式的混合运算—化简求值． 22. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【答案】 证明：（1）， ， 在和中 ， （2）， ， 又平分， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可． （2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 23. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 【答案】（1）80，20，72； （2）16，补全统计图如图所示； （3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 【解析】 【分析】（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解. （2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可. （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可． 【详解】解：（1）80，20，72. （2）骑自行车的人数为：80×20%=16人， （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车， 由题意得，，解得x≥50. 答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用． 24. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G． （1）求证：． （2）当DG=3，BC=时，求 CG的长． 【答案】 （1）由折叠知AE=FE，∠BFE=∠A， ∵E是边AD的中点， ∴DE=AE ， ∴DE=FE， 又∵ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠BFE=90°， ∴∠D=∠EFG=90°， 又∵EG=EG ∴． （2）CG=1． 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质，矩形的性质，中点的含义证明： 再利用斜边直角边公理证明：，即可得到结论； （2）设CG=x，利用的性质，矩形的性质，用含的代数式表示 再利用勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：（1） 略 （2）∵， ∴FG=DG=3， 设CG=x， 则BF=AB=DC=3－x， BG=6－x 在中 解得： x=1 即CG=1． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 25. 把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，，求的值； （2）若，，求的值． （3）求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】（1）8 （2） （3）最小值为，， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 即， 又， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 【小问3详解】 解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 26. 探究题： （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为 （直接写出结论，不用证明）． ②线段之间的数量关系是 （直接写出结论，不用证明）． （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题：在（2）问的条件下，若，试求的面积（用，表示）． 【答案】（1）①．②；（2），，理由如下（3） 【解析】 【分析】（1）①由和均为等边三角形知，，．据此得，再证得，结合为等边三角形知，根据点，，在同一直线上，知，最后由可得答案； ②由知； （2）证得，，由为等腰直角三角形知．由点，，在同一直线上知，，由，知，根据可得，继而得出答案； （3）由（2）知，，，根据可得答案． 本题是三角形综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形与等腰三角形的性质等知识点． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ， ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ， ， ； ②， ． 故答案为：①．②． （2）猜想：，．理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ， ， ， ，， ． ， ， ． （3）由（2）知，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $