河北省保定市2025届高三上学期摸底考试（一模）数学试题

第1页/共4页 学科网(北京)股份有限公司 2024 年高三摸底考 数学试题 本试卷共 4 页,19 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和容题卡一并交回. 一､选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是正确的. 1. 已知 { }1 , { 5, }A x x B x x x= ≤ = < ∈N∣ ∣ ,则 A B = ( ) A. { }0,1 B. { }1 C. [ ]0,1 D. ( ]0,1 2. 已知 ( )2 1 i , 1 i z z − = + 是 z 的共轭复数,则 z =( ) A 0 B. 2i C. 2 D. 2− 3. 已知向量 ( ) ( )1,1 , 2,a b = = − ,且 ( )5, 0b = > ,则a b⋅ = ( ) A. 1 B. 2 C. 1− D. 0 4. 若一个球的体积和表面积数值相等,则该球的半径 r 的数值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 3 5. 设函数 ( ) ( ) cos 0, 2 f x x = + > < 为偶函数.当 1 2,x x 满足 ( ) ( )1 2 2f x f x− = 时, 1 2x x− 有 最小值 2,则 和 的值分别是( ) A. , 0 = = B. , 2 = = . 第2页/共4页 学科网(北京)股份有限公司 C. , 2 2 = = D. , 0 2 = = 6. 若 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , , , 4, 16,a b c a b CD= = 平分 ACB∠ 交 AB 于 D ,且 4CD = ,则 BD =( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 3 7. 已知 0ab > 且 2 1a b+ = ,则 2 2 1a b ab + + 的最小值是( ) A. 12 B. 16 C. 15 D. 14 8. 已知函数 ( ) ( ) 1, 1 1, 2 2 , 1 7, x x f x f x x − − ≤ < = − ≤ ≤ 若关于 x 的方程 ( )f x a= 至少有 5 个不等的实数解,则a 的取值范围是( ) A. [ ]1,0− B. [ ]2,0− C. [ ]4,0− D. [ ]8,0− 二､多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得 0 分. 9. 函数 ( )1 1xy a a a = − > 的图象经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 若 l 是平面 的一条斜线, l O = ,直线a ⊂平面 且O∉直线a ,记直线 l 与平面 所成的角为 ,则下列说法正确的是( ) A. l 与a 是一对异面直线 B. 若点A 和 B 分别为直线 l 上和平面 内异于点O的点,则 AOB∠ ≥ C. 若M 和 N 分别是直线 l 与a 上的动点,则满足MN l⊥ 且MN a⊥ 的直线不唯一 D 过直线a 有且只有唯一平面与直线 l 平行 11. 若函数 ( ) 21ln 2 f x x x mx x= − − 存在两个极值点 ( )1 2 2 1,x x x x> ,下列说法正确的是( ) A. 1m = 时满足条件 B. 不存在实数m 使得 1 2,x x 均为正整数 C. 当 32 1x x≥ 时,m 的最大值为 3ln3 6 . 第3页/共4页 学科网(北京)股份有限公司 D. 对任意正整数n ,均存在对应的 1 2,x x ,使得 ( ) 2 2 2 1 1 2ln x xn x x − = 三､填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共计 15 分. 12. 已知曲线 1 3e 1xy ax−= + + 在 1x = 处的切线斜率为 4,则实数a 的值为_. 13. 函数 ( ) 2cos sin cos 1f x x x x= + + 的最小正周期是_, ( )f x 在 ( )0, 上的单调递减区间是 _. 14. 已知递增数列{ }na 共有m 项( *,m m∈N 为定值)且各项均不为零,末项 1ma = .若从数列{ }na 中任 取两项 ia 和 ja ,当 i j< 时, j ia a− 仍是数列{ }na 中的项,则数列{ }na 的通项公式 na = _(用 含m 和n 的式子表示.) 四､解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 ( ) 3cos ,1 , sin , 2 a x b x = = − . (1)若 //a b ,且? ? ∈ (0, ),求sin cosx x− 的值; (2)设函数 ( ) ( ) 2 , 0, 4f x a b a x = + ⋅ ∈ ,求函数 ( )f x 的值域. 16. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中, 1 2AB BC BB= = = ,且 AB BC⊥ ,点 ,E F 分别为线段 AC 和 1CC 中点. (1)证明: 1A E ⊥平面 BEF ; (2)求平面 1ABC 与平面 BEF 的夹角. 17. 在 ABC 中,角 , ,A B C 的对边分别为 2, , , cos cos b a ca b c B C − = . (1)求角 B ; 的 第4页/共4页 学科网(北京)股份有限公司 (2)若 2 22 2b c ac= + ,求cosC 的值; (3)在(2)的条件下,若边 2c = ,点 D 为线段 AB 上的动点,点 E 为线段 BC 上的动点,且线段 DE 平分 ABC 的面积,求线段 DE 长度的最小值. 18. 已知函数 ( ) ( )e sin 2 , 2 cosxf x x x g x x= + − = − . (1)已知直线 0x y a− + = 是曲线 ( ) [ ], 0, y g x x= ∈ 的切线,求实数 a 的值; (2)求函数 ( )f x 的单调区间; (3)求证: ( ) ( )f x g x≥ 恒成立. 19. 已知数列{ }na ,其前n 项和为 nS ,对任意正整数 , 2n nn S a = − 恒成立,且 1 2 12a a+ = . (1)证明:数列{ }na 为等比数列,并求实数 的值; (2)若 2 1 logn n b a = ,数列 ( )nb 前n 项和 nT ,求证: 2ln 2n nT +> ; (3)当 1n ≥ 时,设集合 { }1 23 2 3 2 ,1n nn i j i jB a a a a i j+ += + ⋅ < + < ⋅ ≤ <∣ , *,i j∈N .集合 nB 中元素 个 数记为 nc ,求数列{ }nc 的通项公式. 为 的 第1页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 2024 年高三摸底考 数学试题 本试卷共 4 页,19 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和容题卡一并交回. 一､选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是正确的. 1. 已知 { }1 , { 5, }A x x B x x x= ≤ = < ∈N∣ ∣ ,则 A B = ( ) A. { }0,1 B. { }1 C. [ ]0,1 D. ( ]0,1 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合A ,进而求得 A B∩ . 【详解】由 1x ≤ 解得 1 1x− ≤ ≤ ,所以 { }| 1 1A x x= − ≤ ≤ , 而 { }0,1,2,3,4B = ,所以 { }0,1A B = . 故选:A 2. 已知 ( )2 1 i , 1 i z z − = + 是 z 的共轭复数,则 z =( ) A. 0 B. 2i C. 2 D. 2− 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数 运算法则求得 z ,再根据共轭复数的定义求解即可. 的 第2页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 【详解】 ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 1 2i i2 1 i 2 1 i 2i 1 i 1 i 1 i 1 i z − +− − = = = = − + + − − , 则 2iz = . 故选:B. 3. 已知向量 ( ) ( )1,1 , 2,a b = = − ,且 ( )5, 0b = > ,则a b⋅ = ( ) A. 1 B. 2 C. 1− D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量模的坐标运算求得 ,进而利用数量积的坐标形式求得a b⋅ . 【详解】 24 5b = + = ,则 2 1 = , 由于 0 > ,所以 1 = , 所以 ( )2,1b = − ,所以 2 1 1a b⋅ = − + = − . 故选:C 4. 若一个球的体积和表面积数值相等,则该球的半径 r 的数值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】由题意 3 24 4 3 r r= ,所以 3r = . 故选:B 5. 设函数 ( ) ( ) cos 0, 2 f x x = + > < 为偶函数.当 1 2,x x 满足 ( ) ( )1 2 2f x f x− = 时, 1 2x x− 有 最小值 2,则 和 的值分别是( ) A. , 0 = = B. , 2 = = C. , 2 2 = = D. , 0 2 = = 【答案】D 【解析】 第3页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案. 【详解】依题意, ( ) ( ) cos 0, 2 f x x = + > < ,所以 ( )1 1f x− ≤ ≤ , 当 1 2,x x 满足 ( ) ( )1 2 2f x f x− = 时, 1 2x x− 有最小值 2, 所以 1 2, 2 2 T = = = ,所以 ( ) cos 2 f x x = + , 由于 ( )f x 是偶函数,所以 , Zk k = ∈ ,而 2 < ,所以 0 = . 故选:D 6. 若 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别为 , , , 4, 16,a b c a b CD= = 平分 ACB∠ 交 AB 于 D ,且 4CD = ,则 BD =( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】由 4, 16a b= = ,CD 平分 ACB∠ 交 AB 于 D可得 4 AD DB = ,后由余弦定理可得答案. 【详解】因 CD 平分 ACB∠ ,则 ACD BCD∠ = ∠ ,由正弦定理: sin sin sin sin AC AD ADC ACD CB DB BDC BCD = ∠ ∠ = ∠ ∠ , 又 sin sinADC BDC ADC BDC∠ +∠ = ∠ = ∠ ,则 4AC AD CB DB = = . 设 BD x= ,则 4AD x= .又 cos cos 0ADC BDC ADC BDC∠ +∠ = ∠ + ∠ = , 由余弦定理: 2 2 2 2 2 2 2 2 216 16 16 16 160 0 2 2 32 8 AD CD AC BD CD CB x x AD CD BD CD x x + − + − + − + − + = + = ⋅ ⋅ 2 220 240 0 12 2 3 32 x x x x − = = = . 故选:C 第4页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 7. 已知 0ab > 且 2 1a b+ = ,则 2 2 1a b ab + + 的最小值是( ) A. 12 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先结合已知将 2 2 1a b ab + + 变为 8 26 b a a b + + ,然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为 2 1a b+ = ,所以 ( )( ) 22 2 4 22 1 4 8 26 a b a a ba b a b a b a ab ab ab a b + + ++ + + + = = = + + , 又 0ab > ,所以 0, 0b a a b > > ,所以 2 2 1 8 2 8 26 6 2 6 8 14a b b a b a ab a b a b + + = + + ≥ + = + = , 当且仅当 12 2 a b= = 时等号成立,即 2 2 1a b ab + + 的最小值是 14. 故选:D 8. 已知函数 ( ) ( ) 1, 1 1, 2 2 , 1 7, x x f x f x x − − ≤ < = − ≤ ≤ 若关于 x 的方程 ( )f x a= 至少有 5 个不等的实数解,则a 的取值范围是( ) A. [ ]1,0− B. [ ]2,0− C. [ ]4,0− D. [ ]8,0− 【答案】B 【解析】 【分析】先求 ( )f x 的解析式,然后画出 ( )f x 的图象,根据图象确定正确答案. 【详解】当 1 <1x≤− 时, ( ) 1f x x= − , 当1 3x≤ < 时, 1 2 1x− ≤ − < ,所以 ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2f x f x x x= − = − − = − − , 第5页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 当3 5x≤ < 时,1 2 3x≤ − < ,所以 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2f x f x x= − = − − − 4 4 4x= − − , 当5 7x≤ < 时,3 2 7x≤ − < ,所以 ( ) ( )2 2 2 4 2 4 4f x f x x= − = − − − 8 6 8x= − − , 画出 ( )f x 、 y a= 的图象如图所示, 问题转化为函数 ( )f x 的图象与直线 y a= 的至少有 5 个公共点, 由图可知,故a 的范围是[ ]2,0 .− B 正确. 故选:B 【点睛】关键点睛: 图象的精确绘制:绘制函数 ( )f x 的图象是解题的关键,通过准确的图象确定直线与曲线的交点个数,进而 得到解的数量. 第6页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 交点数量与参数 关系:通过分析图象,确定直线与函数图象的交点个数,进而得到参数a 的范围,这是解 题的突破口. 二､多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分,选对但不全的得部分分,有选错的得 0 分. 9. 函数 ( )1 1xy a a a = − > 的图象经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数函数的性质,不等式的性质确定正确答案. 【详解】由于 1a > ,所以 10 1 a < < , 函数 xy a= 在R 上单调递增, xy a= 的图象向下平移 1 a 个单位,得到 1xy a a = − 的图象, 所以函数? ? = ? ? ? ? − 1? ? (? ? > 1)的图象不经过第四象限, 经过第一、二、三象限. 故选:ABC 10. 若 l 是平面 的一条斜线, l O = ,直线a ⊂平面 且O∉直线a ,记直线 l 与平面 所成的角为 ,则下列说法正确的是( ) 的 第7页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 A. l 与a 是一对异面直线 B. 若点A 和 B 分别为直线 l 上和平面 内异于点O的点,则 AOB∠ ≥ C. 若M 和 N 分别是直线 l 与a 上的动点,则满足MN l⊥ 且MN a⊥ 的直线不唯一 D. 过直线a 有且只有唯一平面与直线 l 平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于 A,根据异面直线的定义,结合题意,可得答案; 对于 B,利用向量的数量积,结合数形结合思想,建立方程,根据余弦函数的单调性,可得答案; 对于 C,根据线面垂直判定定理,结合面面垂直判定定理,可得答案; 对于 D,根据平面公里,结合题意,可得答案. 【详解】对于 A,由题意可知 l O = , a ⊂ ,O a∉ ,则a 与 l 无交点且不平行,故 A 正确; 对于 B,由题意,过A 作 AC ⊥ ,垂足为C ,连接OC ,作图如下: 易知 AOC ∠ = ,因为 AC ⊥ ,OB ⊂ ,所以 AC OB⊥ ,同理 AC OC⊥ , 在Rt ACO 中, cosOC OA = ⋅ , ( )OA OB OC CA OB OC OB CA OB OC OB⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ , 则 cos cosOA OB AOB OC OB COB∠ = ∠ , 即 cos cos cosOA OB AOB OA OB COB ∠ = ∠ , 化简可得cos cos cosAOB COB ∠ = ∠ , 由 [ ]cos 1,1COB∠ ∈ − ,且cos 0 > ,则cos cosAOB ∠ ≤ , 由 [ ), 0, AOB ∠ ∈ ,则 AOB∠ ≥ ,故 B 正确; 对于 C,设MN 与 a 唯一确定的平面为 ,MN 与 l 唯一确定的平面为 , 第8页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 因为 l 与 a 是一对异面直线,所以 MN = , 过M 点作 / /b a ,显然b ⊂ ,因为MN a⊥ ,所以 MN b⊥ , 设b 与 l 唯一确定的平面 , 因为MN b⊥ ,MN l⊥ ,b l M= , ,b l ⊂ ,所以MN ⊥ , 因为 MN = ,所以 ⊥ , ⊥ ,显然MN 是唯一的,故 C 错误; 对于 D,任意取 P a∈ ,过 P 作 / /c l ,由 l 与a 是一对异面直线,则a c P∩ = , 易知a 与 c确定唯一平面,故 D 正确. 故选:ABD. 11. 若函数 ( ) 21ln 2 f x x x mx x= − − 存在两个极值点 ( )1 2 2 1,x x x x> ,下列说法正确的是( ) A. 1m = 时满足条件 B. 不存在实数m 使得 1 2,x x 均为正整数 C. 当 32 1x x≥ 时,m 的最大值为 3ln3 6 D. 对任意正整数n ,均存在对应的 1 2,x x ,使得 ( ) 2 2 2 1 1 2ln x xn x x − = 【答案】CD 【解析】 【分析】利用多次求导的方法,结合函数的单调性、极值、最值等知识对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】? ? ′(? ? ) = ln? ? −? ? ? ? (? ? > 0),(ln? ? −? ? ? ? ) ′ = 1−? ? ? ? ? ? (? ? > 0), 当 0m ≤ 时, ( )1 0,mx f x x − ≥ ∴ ′ 在(0, +∞)上单调递增. 此时 ( )f x 至多有一个极值点,不符合题意. 当 0m > 时,若? ? ∈ �0, 1? ? � , 1−? ? ? ? ? ? > 0;若 1 1, , 0mxx m x ∞ − ∈ + < . ( )f x∴ ′ 在 10, m 上单调递增,在 1 , m ∞ + 上单调递减. 又 当 0x + 时 ( )f x ∞′ − .当 x +∞时 ( )f x ∞′ − , 故只需? ? ′ � 1 ? ? � > 0 ln 1 ? ? − 1 > 0 0 < ? ? < 1 e ,A 错误. 第9页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 此时 1 e m > 且? ? ′(e) = 1 − e? ? > 0,? ? ′(1) = −? ? < 0, 由于 1 2,x x 是? ? ′(? ? )的两个零点且 1 2x x< .则� 1 < ? ? 1 < e ? ? 2 > 1 ? ? > e , 若 1x 为正整数,则 1 2x = . 此时 ( ) ( ) 2 ln22 ln2 2 4 2ln2 4 2ln2 2ln2 0 4 2 f m m f m x= − = = − = − = ′ =′ . 所以存在 ln2 2 m = 使得 21x x 均为正整数,B 错误. 由于 1 1 1 2 1 2 2 1 2 ln ln ln ln x mx x x m x x mx x x = = = = 和 2x 是函数 ( ) lnxg x x = 与直线 y m= 交点 横坐标. 3ln3 ln 3 ln3 3 6 3 3 3 = = , ∴当 3ln3 6 m = 时, 1 23, 3 3x x= = 恰有 3 2 1x x= . 所以当 3ln30 6 m< ≤ 时,必有 32 1x x≥ , 当 3ln3 6 m > 时,必有 32 1x x< , (注:对于 lnxy x = , 2 1 ln xy x −′ = , 所以函数 lnxy x = 在 ( )0,e 上 0′ >y ,函数单调递增, ( )e, ∞+ 上 0′ <y ,函数单调递减, ln e 1 e e = , 的 在 第10页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 由 lnxy x = 图象与直线 y m= 交点变化情况可知 m 越小, 1x 越小, 2x 越大; m 越大, 1x 越大, 2x 越小) 所以当 3 2 1x x≥ 时,m 的最大值为 3ln3 6 .C 正确. ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 1 2 1 2 1 2ln ln ln x x x x x x x xx x x x x x x x mx mx m + − + −− − = = = + + . 由于当 0m + 时, 2 1x x ∞− + ,此时 2 1 x x m ∞− + , 当 1 e m 时, 2 1 0x x +− ,此时 2 1 0x x m − , 故 ( ) 2 2 2 1 1 2ln x x x x − 的取值范围是(0, +∞), 即对任意正整数n 均存在 1 2,x x 使得 ( ) 2 2 2 1 1 2ln x xn x x − = .D 正确. 综上可知:CD 正确. 故选:CD 【点睛】易错点睛:极值点个数的判断,容易在判断极值点的个数时遗漏某些情况,特别是在导数符号变化 的边界条件上,需要仔细分析导数为零的点是否为极值点以及其对应的单调性变化. 解题过程中,关键在于 通过多次求导确定函数单调性及极值点. 三､填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共计 15 分. 12. 已知曲线 1 3e 1xy ax−= + + 在 1x = 处的切线斜率为 4,则实数a 的值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义列出方程,即可求解. 【详解】由题意 ( ) 1 2e 3xf x ax−′ = + , 因为曲线 1 3e 1xy ax−= + + 在 1x = 处的切线斜率为 4,所以 ( ) 01 e 3 4f a′ = + = , 解得: 1a = 故答案为:1. 13. 函数 ( ) 2cos sin cos 1f x x x x= + + 的最小正周期是_, ( )f x 在 ( )0, 上的单调递减区间是 第11页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 _. 【答案】 ①. ②. 5 , 8 8 (开闭区间均可) 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简 ( ) 2cos sin cos 1f x x x x= + + ,结合正弦函数的周期性以及单调性,即可求 得答案. 【详解】由题意得 ( ) 2 1 1 cos 2cos sin cos 1 sin 2 1 2 2 xf x x x x x += + + = + + 2 3sin 2 2 4 2 x = + + , 故 ( ) 2cos sin cos 1f x x x x= + + 的最小正周期是 2 2 = ; 当 ( )0, x∈ 时, 9 2 , 4 4 4 x + ∈ , 令 3 2 , 4 2 2 x + ∈ ,即得 5 , 8 8 x ∈ 时, 故 ( )f x 在 ( )0, 上的单调递减区间是 5 , 8 8 , 故答案为: ; 5 , 8 8 14. 已知递增数列{ }na 共有m 项( *,m m∈N 为定值)且各项均不为零,末项 1ma = .若从数列{ }na 中任 取两项 ia 和 ja ,当 i j< 时, j ia a− 仍是数列{ }na 中的项,则数列{ }na 的通项公式 na = _(用 含m 和n 的式子表示.) 【答案】 n m 【解析】 【分析】结合条件证明 1 0a > ,再证明数列{ }na 是以 1 1a m = 为首项,以 1 m 为公差的等差数列,由此可得 结论. 【详解】由题意: 1 0a ≠ , 第12页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 若 1 0a < ,则 1 1m ma a a− > = ,而 1ma a− 是递增数列{ }na 中的项, 这与 1ma = 是数列的最大项矛盾,故必有 1 0a > . 因为数列{ }na 是单调递增数列,所以有 1 2 30 1ma a a a< < < < < = . 从而有 2 1 3 1 4 1 1m ma a a a a a a a a− < − < − < < − < ,且它们均为数列{ }na 中的项. 因此 1 2 1 2 12a a a a a= − = 2 3 1 3 1 2 13a a a a a a a= − = + = 3 4 1 4 3 1 14a a a a a a a= − = + = .……… 1 1 1 1 1m m m ma a a a a a ma− −= − = + = 由上可知 1 1a m = , 所以数列{ }na 是以 1 1a m = 为首项,以 1 m 为公差的等差数列. 所以 n na m = . 故答案为: n m . 四､解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 ( ) 3cos ,1 , sin , 2 a x b x = = − . (1)若 //a b ,且? ? ∈ (0, ),求sin cosx x− 的值; (2)设函数 ( ) ( ) 2 , 0, 4f x a b a x = + ⋅ ∈ ,求函数 ( )f x 的值域. 【答案】(1) 5 13 13 (2) 1, 2 【解析】 【分析】(1)由向量平行的坐标关系可得 tanx的值,再由? ? ∈ (0, )可得sin x 和 cos x的值,从而得到结果; 第13页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 (2)利用数量积的坐标运算公式,化简得到 ( ) 2sin 2 4 f x x = + ,结合 0, 4 x ∈ ,利用三角函数的 图象性质可分析得到值域. 【小问 1 详解】 3// , cos sin 2 a b x x∴− = , 3tan 2 x∴ = − ,又 ( )0, x∈ , 3 13 2 13sin ,cos 13 13 x x∴ = = − , 5 13sin cos 13 x x∴ − = . 【小问 2 详解】 由题意: 1cos sin , 2 a b x x + = + − , ( ) ( ) ( ) 212 2 cos sin , cos ,1 2cos 2sin cos 12f x a b a x x x x x x ∴ = + ⋅ = + − ⋅ = + − sin2 cos2 2sin 2 4 x x x = + = + , 3 0, , 2 , 4 4 4 4 x x ∈ ∴ + ∈ , 2sin 2 ,1 4 2 x + ∈ , 2 sin 2 1, 2 4 x ∴ + ∈ ,∴ ? ? (? ? )的值域是 1, 2 . 16. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中, 1 2AB BC BB= = = ,且 AB BC⊥ ,点 ,E F 分别为线段 AC 和 1CC 的中点. (1)证明: 1A E ⊥平面 BEF ; (2)求平面 1ABC 与平面 BEF 的夹角. 【答案】(1)证明见解析 第14页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 (2) 6 【解析】 【分析】(1)通过证明 1A E BE⊥ 、 1A E EF⊥ 来证得 1A E ⊥平面 BEF . (2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得平面 1ABC 与平面 BEF 的夹角. 【小问 1 详解】 1A A ⊥ 平面 ,ABC BE ⊂平面 1,ABC A A BE∴ ⊥ , 又 , .AB BC AE EC BE AC= = ∴ ⊥ , 又 1A A AC A∩ = , ,1A A AC ⊂平面 1 1ACC A , BE∴ ⊥平面 1 1ACC A 又 1A E ⊂ 平面 1 1 1,A ACC A E BE∴ ⊥ .又 1tan tan 2A EA EFC∠ ∠= = 1 1 , 2 2 A EA EFC EFC FEC A EA FEC∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠∴ = + = ∴ + = , 即 1A E EF⊥ .又 , ,EF BE E EF BE∩ = ⊂平面 BEF , 1A E∴ ⊥平面 BEF . 【小问 2 详解】 如图所示,以点 B 为原点, BA 为 x 轴, BC 为 y 轴建立空间直角坐标系, 易得 1 1(2,0,0), (0,0,0), (0, 2, 2), (2,0, 2), (1,1,0)A B C A E , ( ) ( )12,0,0 , 0, 2, 2 ,BA BC= = 设平面 1ABC 的法向量 ( ), ,n x y z= ,则 12 0, 2 2 0n BA x n BC y z⋅ = = ⋅ = + = , 取 1y = ,则法向量 ( )0,1, 1n = − . 由(1)可知 ( )1 1,1, 2A E = − − 平面 BEF 的法向量. 1 1 1 3 3cos , , 22 6| | A E nA E n A E n ⋅ ∴ < >= = = ⋅ 第15页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 平面 1ABC 与平面 BEF 的夹角为 6 . 17. 在 ABC 中,角 , ,A B C 对边分别为 2, , , cos cos b a ca b c B C − = . (1)求角 B ; (2)若 2 22 2b c ac= + ,求cosC 的值; (3)在(2)的条件下,若边 2c = ,点 D 为线段 AB 上的动点,点 E 为线段 BC 上的动点,且线段 DE 平分 ABC 的面积,求线段 DE 长度的最小值. 【答案】(1) 3 (2) 2 7 7 (3) 3 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得 B . (2)根据已知条件以及余弦定理求得cosC . (3)根据三角形的面积公式列方程,结合余弦定理以及基本不等式求得 DE 的最小值. 【小问 1 详解】 由正弦定理可知: 2 cos cos b a c B C − = , sin cos 2sin cos cos sinB C A B B C∴ = − , ( )sin cos cos sin sin 2sin cosB C B C B C A B∴ + = + = , 1sin 2sin cos , sin 0, cos 2 A A B A B∴ = > ∴ = , ( ) 0, , 3 B B∈ ∴ = . 【小问 2 详解】 2 2 2 1, 2 3 2 B b a c ac= ∴ = + − ⋅ ,又 2 22 2b c ac= + , 23 3 7, , 2 2 2 ac a a c b c∴ = ∴ = ∴ = , 的 第16页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 2 2 2 2 2 2 9 7 2 74 4cos 2 73 72 2 2 c c ca b cC ab c c + −+ − ∴ = = = ⋅ ⋅ . 【小问 3 详解】 若边 2c = 由(1)(2)可知 3, 7, 3 a b B= = = , 1 3 3 3 3sin , 2 2 4ABC BDE S ac B S∴ = = ∴ = , 令 ,BD m BE n= = ,则 3 3 1 3 , 3 4 2 2BDE S mn mn= = ∴ = , 又由余弦定理得: 2 2 2 12 3 2 DE m n mn mn= + − ≥ = (当 3m n= = 时等号成立), DE∴ 的最小值为 3 . 18. 已知函数 ( ) ( )e sin 2 , 2 cosxf x x x g x x= + − = − . (1)已知直线 0x y a− + = 是曲线 ( ) [ ], 0, y g x x= ∈ 的切线,求实数 a 的值; (2)求函数 ( )f x 的单调区间; (3)求证: ( ) ( )f x g x≥ 恒成立. 【答案】(1) 2 2 − (2) ( )f x 在 ( ],0−∞ 上单调递减,在[ )0,+∞ 上单调递增 (3)证明见解析 第17页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 【解析】 【分析】(1)由 ( ) 1g x′ = 求得切点的坐标,代入切线方程求得 a . (2)利用多次求导的方法求得 ( )f x 的单调区间. (3)将恒成立的不等式转化为 sin cos 2 2 1 0 ex x x x+ − − + ≥ ,利用构造函数法,结合多次求导的方法来求得 正确答案. 【小问 1 详解】 ( ) [ ]sin , 0, g x x x= ∈′ , ( ) sin 1g x x=′∴ = ,解得 , 2 x = ∴切点为 , 2 2 , 2 0, 2 2 2 a a∴ − + = ∴ = − . 【小问 2 详解】 ( ) e cos 2xf x x= +′ − , 当 ( ],0x∈ −∞ 时, ( ) ( )e 1,cos 1, 0,x x f x f x≤′≤ ≤ ∴ 单调递减, 当 [ )0,x∈ +∞ 时, ( )e cos 2 e sin ,e 1,sin 1x x xx x x′+ − = − ≥ ≤ , ( ) ( )e cos 2 0,x x f x′∴ + − ≥ ′∴ 单调递增, ( ) ( ) ( )0 0,f x f f x=′≥′∴ 单调递递增. 综上所述, ( )f x 在 ( ],0−∞ 上单调递减,在[ )0,+∞ 上单调递增. 【小问 3 详解】 ( ) ( )f x g x≥ 恒成立 e sin 2 cos 2 0x x x x + − + − ≥ , 恒成立 sin cos 2 2 1 0 ex x x x+ − − + ≥ 恒成立. 令 ( ) sin cos 2 2 1 ex x x xh x + − −= + , 则 ( ) ( ) ( ) ( )cos sin 2 sin cos 2 2 2 sin e ex x x x x x x x x h x − − − + ′ − − − = = , 令 ( ) sinm x x x= − ,则 ( ) ( )1 cos 0,m x x m x= − ≥ ∴′ 单调递增, 又 ( )0 0m = ,∴当 ( ],0x∈ −∞ 时, ( ) 0m x ≤ ,即 ( ) ( )0,h x h x′ ≤ 单调递减; 第18页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 当 [ )0,x∈ +∞ 时, ( ) 0m x ≥ ,即 ( ) ( )0,h x h x′ ≥ 单调递增; ( ) ( ) ( ) ( )0 0,h x h f x g x∴ ≥ = ∴ ≥ 恒成立. 【点睛】方法点睛:切点与切线的关系:在小问 1 中,利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率,再 通过求解切点的方法确定参数a 的值,这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法:在小问 2 中,通过对函数进行多次求导,判断导数的符号变化来确定单调区间,是分析函数 单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式:在小问 3 中,通过将不等式转化为关于某变量的函数问题,利用构造函数并结合 单调性分析来证明恒成立,是一种常用的不等式证明方法. 19. 已知数列{ }na ,其前n 项和为 nS ,对任意正整数 , 2n nn S a = − 恒成立,且 1 2 12a a+ = . (1)证明:数列{ }na 为等比数列,并求实数 的值; (2)若 2 1 logn n b a = ,数列 ( )nb 前n 项和为 nT ,求证: 2ln 2n nT +> ; (3)当 1n ≥ 时,设集合 { }1 23 2 3 2 ,1n nn i j i jB a a a a i j+ += + ⋅ < + < ⋅ ≤ <∣ , *,i j∈N .集合 nB 中元素的个 数记为 nc ,求数列{ }nc 的通项公式. 【答案】(1)证明见解析, 4 = (2)证明见解析 (3) ( )1nc n n= ≥ 【解析】 【分析】(1)根据 ,n nS a 的关系,结合等比数列定义,即可证明结论;进而结合已知求出实数 的值; (2)结合(1)可求出 2 1 logn n b a = 的表达式,进而可得 nT 表达式,继而推出只需证明 1 2ln 1 1 n n n + > + + ,构 造函数,利用导数判断函数单调性,即可证明结论; (3)由题意可知 nB 中元素个数等价于满足 13 2 2 2 3 2n i j n+⋅ < + < ⋅ 的不同解 ( ),i j 的个数,利用反正思想推 出 2j n= + ,从而推出不等式共n 个不同解 ( ),i j ,即可得答案. 【小问 1 详解】 由题意得 ( )1 1 2 2 , 2 n n n n S a S a n − − = − = − ≥ , 两式相减可得 1 12 2 , 2n n n n na a a a a− −= − ∴ = , 第19页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 令 1n = 可得 1 12S a = − ,即 1a = . 令 2n = 可得 2 22S a = − ,即 1 2 22a a a + = − ,所以 2 2a = 又 1 2 12, 4a a + = ∴ = . ∴数列{? ? ? ? }为首项为 4,公比为 2 的等比数列. 【小问 2 详解】 由(1)可知 1 14 2 2n nna − += = ,所以 2 1 1 log 1n n b a n = = + . 1 1 1 2 3 4 2 2, ln ln ln ln ln 1 2 2 3 1 1 n n n i i n n iT i n i= = + + + = = + + + = + + +∑ ∑ , ∴要证 2ln 2n nT +> 成立, 只需证 1 2ln 1 1 n n n + > + + ,即 1 1ln 1 1 1n n > + + + 令 ( ) ( ) ( ) ( )1ln 1 , 1 0, 0, 1 1 xf x x x f x x x x ∞′= − + = − = > ∈ + + + , ∴当? ? ∈ (0, +∞)时, ( )f x 单调递增, 故 ( ) ( ) ( ) 1ln 1 0 0, 0 1 f x x x f f n = − + > = ∴ > + , 1 1 2ln 1 , ln 1 1 2n nT n n + ∴ > + ∴ > + + ; 【小问 3 详解】 1n ≥ 时,集合 { }1 23 2 3 2n nn i j i jB a a a a+ += + ⋅ < + < ⋅∣ , 即 1 *3 2 2 2 3 2 ,1 , ,n i j n i j i j+⋅ < + < ⋅ ≤ < ∈N , nB 中元素个数等价于满足 13 2 2 2 3 2n i j n+⋅ < + < ⋅ 的不同解 ( ),i j 的个数, 如果 2j n< + ,则 1 12 2 2 2 2 2 3 2i j i n n n n+ ++ + + = ⋅≤ ≤ ,矛盾; 如果 2j n> + ,则 3 12 2 2 2 3 2i j i n n+ ++ ≥ + > ⋅ ,矛盾 2j n∴ = + , 又 ( )1 22 2 3 2 2 4 2 3 2 2 2 0n n n n n++ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = + > , 第20页/共20页 学科网(北京)股份有限公司 1 2 2 2 2 1 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2n n n n n n n n+ + + + + +∴ ⋅ < + < + < < + < + = ⋅ , 即 1,2,3, ,i n= ,共n 个不同解 ( ),i j ,所以 ( )1nc n n= ≥ . 【点睛】难点点睛:本题为数列的综合应用问题,解答的难点在于第二问,要注意列用类加的方法得出 1 2 2ln ln 2 1 n i n i i= + + = +∑ ,从而要证 2ln 2n nT +> 成立,只需证 1 2ln 1 1 n n n + > + + ,即 1 1ln 1 1 1n n > + + + , 从而构造函数,结合导数解决问题.