精品解析：2024-2025学年湘教版数学九年级上册期中模拟卷

2024-2025学年九年级上册期中模拟卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 以下四组线段，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 3，4，6，8 D. 5，6，7，8 3. 若方程3-4x-4=0的两个实数根分别为，，则 =（　　） A. -4 B. 3 C. − D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，点在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　） A. 5 B. 4 C. 10 D. 20 7. 如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比是（　） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B. 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D. 图象分别位于第二、四象限内 9. 如图，，E在延长线上，，则的长为（ 　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 10. 如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，共12分） 13. 若，则________． 14. 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km． 15. 一元二次方程整理成一般形式_______________； 16. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为______． 17. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 18. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则______________． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 21. 在边长为1正方形网格中如图所示． （1）以点C为位似中心，作出的位似图形，使原图形与新图形位似比为1：2，且位于点C的异侧，并表示出的坐标； （2）作出绕点O顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标． 22. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若，恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． 23. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 25. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： （1）若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； （2）已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； （3）如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． （1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： （2）M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上册期中模拟卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2. 以下四组线段，成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 3，4，6，8 D. 5，6，7，8 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例选段的定义，若a、b、c、d是成比例选段，则有，据此即可判断． 【详解】解：A、1：2≠3：4，则不是成比例线段，选项不符合题意； B、2：3≠4：5，则不是成比例线段，选项不符合题意； C、3：6=4：8，则是成比例线段，选项符合题意； D、5：6≠7：8，则是成比例线段，选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了成比例线段的定义，注意在定义中四条线段的顺序． 3. 若方程3-4x-4=0的两个实数根分别为，，则 =（　　） A. -4 B. 3 C. − D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：如果一元二次方程a+bx+c=0的两根为和，则+=，=，根据方程可得：+=. 考点：韦达定理 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况．先算出，再判断该方程有两个不相等的实数根，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 如图，点在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两组对应角相等的三角形相似证明A、B选项正确，利用两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似证明C选项正确． 【详解】解：∵，， ∴，故A正确； ∵，， ∴，故B正确； ∵，， ∴，故C正确； D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 6. 如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　） A. 5 B. 4 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设点A（a，），则点B坐标（﹣ ，），从而求得三角形的面积. 【详解】设点A（a，） ∵AB∥x轴 ∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y= 图象上， ∴点B坐标（﹣ ，） ∴S△ABP=（a+）×=5 故选A． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高． 7. 如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】由题意可知：是的中位线， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 8. 已知反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B. 是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D. 图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 9. 如图，，E在延长线上，，则的长为（ 　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，根据平行四边形的性质结合平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，再建立方程即可． 【详解】解：根据题意得，第一轮被感染的电脑有台， 第二轮被感染的电脑有台， 则方程可列为． 故选：B． 11. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的图象和性质依次对比即可得出答案． 【详解】解：A、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误； B、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项正确； C、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈上升趋势且交与轴的负半轴（不合题意），故本选项错误； D、由反比例函数的图象可知，，一次函数图象呈下降趋势且交与轴的正半轴，，即，故本选项错误． 故选：B． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共12分） 13. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数4就作为比例的另一个内项，据此写出比例 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的灵活应用 14. 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km． 【答案】2.8 【解析】 【详解】设这条道路的实际长度为x， 则：， 解得x=280000cm=2.8km， 经检验，x=280000是原方程的解 ∴280000cm=2.8km ∴这条道路的实际长度为2.8km． 故答案为2.8． 【点睛】本题考查了根据比例尺列出分式方程，解题的关键是知道比例尺的意义． 15. 一元二次方程整理成一般形式为_______________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 故答案为： ． 16. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得： 且 ， 故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 18. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 先证得，根据相似三角形的性质得出，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴． 20. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【答案】两岸之间的大致距离为100米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 21. 在边长为1的正方形网格中如图所示． （1）以点C为位似中心，作出的位似图形，使原图形与新图形位似比为1：2，且位于点C的异侧，并表示出的坐标； （2）作出绕点O顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）延长到，使，延长到，使，从而得到； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B，C，的对应点即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，为所作，的坐标为． 【点睛】本题考查了作图—位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若，恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义： （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据等腰三角形定义可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，可求出，再解方程得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可．， 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，恰好是另外两条腰的长， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， ∴等腰三角形的腰长为4， ∴等腰三角形的周长为． 23. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 24. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①；②50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 25. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： （1）若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； （2）已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； （3）如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 【答案】（1）2，12 （2）当时，函数取最小值，最小值为8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用均值不等式计算即可得出答案； （2）由题意得出，将式子变形，再利用均值不等式计算即可得出答案； （3）作轴于，轴于，设，表示出，再利用均值不等式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，代数式取最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，函数取最小值，最小值为8； 【小问3详解】 解：如图，作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵点是反比例函数图象上一动点， ∴设， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的面积的最小值为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． （1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： （2）M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，反比例函数的解析式为； （2）或 【解析】 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$