专题六 解析几何 第8讲　离心率的范围问题-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第8讲　离心率的范围问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 2 【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 3 【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 4 【专题精练】 6 考情分析： 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 真题自测 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点突破 【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（    ） A． B．离心率范围 C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为 三、填空题 5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 ． 6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 规律方法： 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 一、单选题 1．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高二上·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的范围为 B．直线与双曲线有且只有一个公共点，则 C．动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹是某双曲线的一支 D．点满足，则动点的轨迹是一条直线 4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为） B．点到双曲线渐近线的距离为 C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则 三、填空题 5．（21-22高二上·黑龙江绥化·期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是 ． 6．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 规律方法： 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 核心梳理： 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 4．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在弦的中点为，此时直线的方程为 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则 三、填空题 5．（2022·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 6．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 . 规律方法： 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 三、填空题 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 13．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 14．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲　离心率的范围问题（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 2 【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 9 【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 15 【专题精练】 22 考情分析： 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 真题自测 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案： 题号 1 答案 C 1．C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 考点突破 【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（    ） A． B．离心率范围 C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为 三、填空题 5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 ． 6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A ABD ABC 1．C 【分析】先根据为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点、和为直角顶点的点的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解. 【详解】 为直角三角形，可分为以下三类讨论： 以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点. 由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个， 则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个. 由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点. 则， 即， 所以，解得即， 所以， 又因为椭圆离心率， 所以. 故选：C. 2．A 【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简， 根据已知角范围求解即可. 【详解】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以． 故选:A. 3．ABD 【分析】利用极化恒等式可得，结合可得离心率范围，当点为短轴端点时，易知其为等边三角形，结合面积关系可得正切值. 【详解】∵， ∴，又， ∴，∴，故A正确； ∵，， ∴，即， ∴，故B正确； 当点为短轴端点时，∵，，∴为等边三角形，故C错误； 若，又 ∴， ∴，不妨设为锐角，则为钝角， ∴，∴ ， ∴，同理可得， ∴，∴，故D正确. 故选：ABD 4．ABC 【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果. 【详解】在双曲线中， 对于A：在双曲线的焦点三角形中， ，可得 所以，故A正确；    对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线. 设直线，其与的交点为 联立，可得， 应满足且. 由韦达定理可知，都与无关. 所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为. 由可知，故B正确； 对于C，设，且， ， 所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确； 对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误. 故选：ABC. 5． 【分析】根据角平分线定理求出的关系，根据定义得出或，再由求解即可. 【详解】如图，当在O点同侧时，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，   ，，是的平分线， ，则，由， 可得，由，可得，由， 可得； 当当在O点异侧时，由角平分线定理可得， 则，可得，所以； 综上，. 故答案为： 6． 【分析】设，利用双曲线定义，结合余弦定理求得，再利用余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】令，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则，令， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 规律方法： 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 一、单选题 1．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高二上·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的范围为 B．直线与双曲线有且只有一个公共点，则 C．动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹是某双曲线的一支 D．点满足，则动点的轨迹是一条直线 4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（　　） A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为） B．点到双曲线渐近线的距离为 C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则 三、填空题 5．（21-22高二上·黑龙江绥化·期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是 ． 6．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A A ACD ACD 1．A 【分析】由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得． 【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又， 消去整理得：， 解得(舍去)或， 由得， 所以，即， 若，则，又， 消去整理得：， 解得或，舍去． 所以， 所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的； ②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或 当时，则，即，则， 当时，则有，则， 综上所述，椭圆的离心率取值范围是. 故选：A. 2．A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 3．ACD 【分析】对A，结合题意知，结合离心率公式可求；对B，联立直线与双曲线方程得，分类讨论和可求值；对C，设动圆半径为，结合圆心距关系和双曲线定义可判断正确；对D，将已知条件转化为到定点距离等于到定直线距离，由定点在定直线上可判断. 【详解】对A，由双曲线渐近线性质可知，若过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则直线斜率大于渐近线斜率，即，，解得，又双曲线离心率大于1，故，故A正确； 对B，由可得，当或时，直线与双曲线只有一个交点，解得或，故B错误； 对C，设圆的圆心为，圆的圆心为，动圆圆心为，半径为，则，，故点在以为焦点，的双曲线右支上，故C正确； 对D，可将翻译为：动点到点的距离等于动点到直线的距离，又经过，所以动点的轨迹是一条过点，且垂直于的一条直线，故D正确. 故选：ACD 4．ACD 【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即可判断选项. 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， 设直线与双曲线左右两支的交点分别为，， 联立方程组，整理可得：， 则，也即，解得：，故选项正确； 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：点到双曲线渐近线的距离，故选项错误； 对于，若直线AB垂直于x轴，则直线的方程为：，设点，，要使为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：， 则，即，所以， 又因为，则，也即，整理可得：，则，解得：，因为， 所以，故选项正确； 对于，过分别作的垂线，垂足为， 则，因为， 则，又因， 则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以轴， 因为， 则，所以， 由可知：，则，也即， 因为，，所以，，故选项正确， 故选：. 5． 【分析】根据题意判断，以为直径的圆与椭圆有4个交点，再求得点P在y轴上时的离心率，最后根据椭圆的离心率越大椭圆越扁求得答案. 【详解】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，. 故答案为：. 6． 【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案. 【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 规律方法： 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 核心梳理： 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 4．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于两点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在弦的中点为，此时直线的方程为 C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为 D．直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则 三、填空题 5．（2022·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 6．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BD ACD 1．C 【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 2．C 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长 ，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可. 【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点． 则，， 解得，， 如图： 在中,根据余弦定理可得： ， 整理得，即， 设 则有，， 所以，即有，所以， 所以===， 设, 则, 令，得， 所以在上恒成立, 所以在上单调递减， 当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2， 所以， 即：. 故选：C. 3．BD 【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误； 对选项B：直线的斜率为， 直线倾斜角为，，，则，正确； 对选项C：， 表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误； 对选项D：，， 两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确； 故选：BD 4．ACD 【分析】选项A：利用双曲线的定义结合余弦定理求解和三角形面积公式求解，选项B：利用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系判断，选项C：利用斜率公式可得和斜率的乘积是定值判断，选项D: 设直线带入，通过证明和中点重合判断即可. 【详解】在双曲线中，，，， 且，，，， 选项A：设，，由双曲线定义得：， 两边平方得①， 在中，由余弦定理可得②， ①②联立解得， 所以的面积为，A正确； 选项B： 设，， 则，两式相减得， 因为弦的中点为，所以，， 因此由可得， 此时直线的方程为， 代入双曲线的方程消去可得，此时， 此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在，B错误； 选项C：设，则，即， 又直线与的斜率的乘积， 所以若的斜率的范围为，则的斜率的范围为，C正确； 选项D：设 ，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线， 设直线带入得， 应满足，且， 由韦达定理可得，，与无关， 所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为， 则由，可得，D正确；      故选：ACD 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握. 5． 【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围． 【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得， 双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上， 设与轴交于点，由对称性，所以， 所以， ， 所以，由得，所以， 又中，，， 所以，即， 综上，． 故答案为：． 6． 【分析】设点，利用条件可知得到关于的方程，再联立，用含的式子表示出，再利用的取值范围，即得出离心率的范围. 【详解】设点，则，又点， ∴，又以为直径的圆过原点，则有, 所以，即， ∴，又， 所以，得， ∴，整理得：， 解得，又， 所以. 故答案为：. 规律方法： 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（    ） A．面积为 B．若，则 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 三、填空题 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 13．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 14．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B D B D D ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 2．A 【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，由求出的范围，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离，利用三角函数的性质可求得的最值， 从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由可求出离心率的范围 【详解】解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0， 因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0， ∴1<a2≤3， 设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离 ，其中， d的最小值､最大值分别为：，， 满足最大值与最小值之和为， ∴1<a2≤3， . 故选：A. 3．A 【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围. 【详解】设椭圆的标准方程为， ， 则有已知， 两式相减得，即， ， 因为 ，解得 故选：A. 4．B 【分析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围. 【详解】设，设双曲线的实轴长为， 因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形， 则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得， 所以，，则， 设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即， 因为，则，故. 故选：B. 5．D 【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案. 【详解】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 6．B 【分析】结合双曲线的定义和正弦定理可得：，然后利用两角和的正弦公式和辅助角公式可得，然后结合离心率的取值范围即可求解. 【详解】在中，由 ．因为，所以，所以，所以的取值范围为． 故选：. 7．D 【分析】设，，其中，设直线方程为，其中利用点到直线的距离为，得到关于表达式，再利用可得答案. 【详解】设，，其中， 设直线方程为，则. 因点到直线的距离为，则 则， 则. 故选：D 8．D 【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，我们可证直线且，据此可求离心率的范围. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题设可得不为右顶点. 设，则. 双曲线在处的切线斜率必存在，设切线方程为， 由可得， 整理得到：， 故， 整理得：即， 故，故切线方程为：即.    因为存在2个P使直线与E仅有一个交点， 故由双曲线的对称性不妨设在第一象限， 此时，均为锐角且存在唯一的满足题设条件. 故直线与渐近线平行或与双曲线相切或. 若直线与渐近线平行，则， 而为的平分线，故其倾斜角满足，故， 故， 故，但, 故， 而，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立，此时，这不可能， 故直线与渐近线不平行. 若直线与双曲线相切，且切点为， 双曲线在的切线方程为：， 故且该切线的斜率为，所以直线的斜率为. 此时， 而， 即 ，故，矛盾. 故直线，所以， 而直线的倾斜角为， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，且在之间，故， 由在第一象限内的唯一性可得存在唯一的，使得， 而，故， 所以即， 所以， 故选：C. 【点睛】思路点睛：解析几何中圆锥曲线的离心率问题主要是根据题设构建基本量的方程或不等式，但在构造过程中需要根据实际问题做合理的分类讨论并做合适的取舍. 9．ACD 【分析】分三种情况，得到关于的等式，求出离心率. 【详解】（1）如图1，矩形中，，且为两个焦点， 设为中点，如图以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为， 则， 设，将代入双曲线中得， ，变形得， 将代入中得，， 方程两边同时除以得，解得， 当时，解得，负值舍去， 当时，解得舍去，负值也舍去； （2）如图2，矩形中，，且， 设为中点，如图以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为， 则，将其代入双曲线中得， ，整理得， 将代入中得，， 方程两边同时除以得，解得， 当得，，负值舍去， 当得，舍去，负值舍去， （3）当长轴在直线BD或AC上时，设， 则； 综上，离心率的可能取值为或或. 故选：ACD 10．ACD 【分析】由题意可得，再根据椭圆和双曲线的离心率公式逐一分析判断即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 直线的斜率为， 因为直线与双曲线的左、右两支各交于一点， 所以， 又因为，所以，故， 则，故A正确； ，故C错误； 对于D，，故D正确； 对于C，， ， 所以，故C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合只限于双曲线的位置关系得出是解决本题的关键. 11．ABD 【分析】设，，，，不妨设M在第一象限．，，，，． .根据余弦定理、同角三角平方关系和三角形面积公式可判断A；根据不同的条件结合余弦定理和离心率公式计算判断其余选项； 【详解】设，，，，不妨设M在第一象限． ∴，，∴，，． . 对于A，在中，由余弦定理可得， ， ，A正确． 对于B，在中，由余弦定理可得， 即， ∴． ∴ ∴，∴．B正确； 对于C，当时， 即，所以，所以．∵， ∴．设，∴， 所以．C错误； 对于D，，记， ∴，即．D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是经过计算变形得到，，．，结合这些条件即可判断选项. 12． 【分析】利用双曲线标准方程的特征求出m的范围，再利用离心率公式求出的范围. 【详解】双曲线的焦点在轴上，将双曲线方程化为所以，解得，即. 离心率， 因为，所以，所以，从而. 故答案为： 13． 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 14． 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解. 【详解】由椭圆及双曲线定义得：，， 即，， 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 即， 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$