专题六 解析几何 第1讲　直线与圆-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第1讲　直线与圆（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 2 【考点一】直线的方程 2 【考点二】圆的方程 4 【考点三】直线、圆的位置关系 5 【专题精练】 7 考情分析： 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度. 2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 考点突破 【考点一】直线的方程 核心梳理： 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝. 3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝. 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 3．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 三、填空题 5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ． 6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 规律方法： 解决直线方程问题的三个注意点 (1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意直线方程每种形式的局限性． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在． 【考点二】圆的方程 核心梳理： 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆． 一、单选题 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 二、多选题 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知是圆心为，半径为2的圆上一动点，是圆所在平面上一定点，设（）．若线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为，则（    ） A．当时，为椭圆 B．当时，为双曲线 C．当时，为双曲线一支 D．当且越大时，的离心率越大 4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(    ) A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 规律方法： 解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 【考点三】直线、圆的位置关系 核心梳理： 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离． 其判断方法为： (1)点线距离法． (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离． 一、单选题 1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 4．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（    ） A．双曲线的方程为 B．的面积为 C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 三、填空题 5．（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ． 6．（2023·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 规律方法： 直线与圆相切问题的解题策略 当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算． 专题精练 一、单选题 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 7．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线和圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则的值为 ． 13．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　直线与圆（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 9 【考点一】直线的方程 9 【考点二】圆的方程 13 【考点三】直线、圆的位置关系 18 【专题精练】 23 考情分析： 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度. 2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D B A 1．C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 2．D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 3．B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      4．A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 5．（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 6． 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 7． 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 8．或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 考点突破 【考点一】直线的方程 核心梳理： 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝. 3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝. 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 3．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 三、填空题 5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ． 6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D BD BC 1．C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．D 【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即. 所以，，，. 故选：D． 3．BD 【分析】根据题意，由条件可得弦所在的直线方程，然后将转化为圆心到直线的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得弦所在的直线方程为， 因为圆，圆心， 圆，圆心， 设圆心与圆心到直线的距离分别为， 因为，即， 所以，又， 即，化简可得， 即，解得或. 故选：BD 4．BC 【分析】A选项，根据点在圆的内部得到不等式，求出，利用垂径定理得到，而，从而得到方程，求出；B选项，在A选项基础上得到，结合求出直线的斜率和倾斜角；C选项，假设存在，结合满足要求，故C正确；D选项，由三角形面积公式和相交弦定理得到D错误. 【详解】A．因为点在圆的内部，所以，解得． 设点到直线的距离为，则，其中为定值， 所以当时，最大，最小． 又圆心，所以， 所以，解得，A错误． B．由选项可知，当时，直线，而，所以， 所以直线的倾斜角为，B正确． C．假设存在直线使得，则此时点到直线的距离为，满足要求， 所以假设成立，C正确． D．由三角形面积公式得 ，    因为弦一定经过点，设直线与圆相交于点， 因为，所以∽， 故，故， 因为， 所以， 所以， 当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 5．或（写出一个即可） 【分析】由条件可设直线方程为，结合条件列方程求即可得结论. 【详解】因为切线的方向向量为， 所以切线的斜率为， 故可设切线方程为， 因为直线与圆相切， 又圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以或， 所以与圆相切且方向向量为的直线为或， 故答案为：或（写出一个即可）. 6．或 【分析】设出动点的坐标，由求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线的距离等于1即可. 【详解】设点，由可得：， 两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离，解得． 故答案为：或. 规律方法： 解决直线方程问题的三个注意点 (1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意直线方程每种形式的局限性． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在． 【考点二】圆的方程 核心梳理： 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆． 一、单选题 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 二、多选题 3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知是圆心为，半径为2的圆上一动点，是圆所在平面上一定点，设（）．若线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为，则（    ） A．当时，为椭圆 B．当时，为双曲线 C．当时，为双曲线一支 D．当且越大时，的离心率越大 4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(    ) A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABD BC 1．C 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 2．D 【分析】设圆的方程为，代入坐标得的值，即可得圆的方程，再令，即可求得与轴相交弦长. 【详解】设圆的方程为，代入点，，， 则，解得， 可得，整理得符合题意， 所以圆的方程为， 令，可得，解得，所以． 故选：D. 3．ABD 【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质可得，结合选项，判断点B与圆的位置关系，结合椭圆、双曲线的定义以及其几何性质，依次判断选项即可. 【详解】A：由题意知，点A、B为定点，，当时，点B在圆内， 由线段垂直平分线的性质知，， 所以， 由椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆，故A正确； B：当时，点B在圆外，不妨设点B在点A的右边， 由线段垂直平分线的性质知，， 所以； 同理，若点B在点A的左边，有， 所以，由双曲线的定义知，点M的轨迹为双曲线，故B正确； C：由选项B的分析，可知C错误； D：由选项A知，当时，点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，焦距为t， 若t增大，则半焦距c增大，所以离心率随之增大； 由选项B知，当时，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，且，焦距为t， 若t增大，则半焦距c增大，所以离心率随之增大； 所以当且越大时，E的离心率越大，故D正确. 故选：ABD. 4．BC 【分析】设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案． 【详解】设，则，即， 它表示以原点为圆心，半径为1的圆； 设，则由，得， 即，它表示一条直线； 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度， 该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）； 故选：BC． 5．； 【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解. 【详解】依题意，设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以所求圆的一般方程为， 则其标准方程为. 故答案为：. 6． 【分析】设，直线方程与圆的方程联立求出点坐标，设经过点A，B，的圆的方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设， 由解得， 可得， 设经过点A，B，的圆的方程为 ， 所以，解得， 即，可得. 故答案为：. 规律方法： 解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 【考点三】直线、圆的位置关系 核心梳理： 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离． 其判断方法为： (1)点线距离法． (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离． 一、单选题 1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 4．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（    ） A．双曲线的方程为 B．的面积为 C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 三、填空题 5．（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ． 6．（2023·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D A AD BD 1．D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得. 【详解】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得， 因此抛物线在点处的切线方程为，即， 依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3. 故选：D 2．A 【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解. 【详解】如下图所示：    由题意圆的标准方程为，， 又因为，所以， 所以， 又圆心到直线的距离为， 所以，所以不妨设， 则， 又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时， 有最大值. 故选：A. 3．AD 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 4．BD 【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得 ，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D. 【详解】由已知得，由双曲线定义知：， 因为，所以，故，， 在中，由余弦定理得：， 解得：，所以，方程为，A错误. 的面积为，B正确. 取的中点，，两圆内切，故C错误. 取的中点，则，两圆外切，故D正确. 故选：BD 5．81 【分析】由题意可知点在以为直径的圆上，结合两圆相交可得直线的方程为，再根据直线与圆相切列式求解. 【详解】圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 由题意可知：，可知点在以为直径的圆上， 以为直径的圆为， 整理得，结合圆：， 两圆方程作差，可得直线的方程为，即， 若直线与圆：相切， 则，整理得. 故答案为：81. 6． 【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率． 【详解】对于圆，令，得，解得或， 则，． 设，∵，∴， 则，整理得， 则点N的轨迹是圆心为，半径为的圆． 又圆M的方程为，则圆M的圆心为，半径为． ∵，∴两圆相交， 设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D， 连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形， ∵，，∴， 则， 则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为． 故答案为：. 规律方法： 直线与圆相切问题的解题策略 当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算． 专题精练 一、单选题 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 7．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线和圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上； ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（    ） A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时，圆形保护区的面积最大 三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则的值为 ． 13．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A C B D AC ABC 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故，重合； 当时，，满足条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 2．C 【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意设直线的方向向量为，则， 而，则，即为直线的法向量， 又O到直线的距离为， 故在上的投影向量为，    故选：C 3．A 【分析】根据条件列方程组求出，然后利用点到直线的距离求解即可. 【详解】由已知得，解得， 则双曲线的左焦点，一条渐近线， 故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为. 故选：A. 4．D 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 5．A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 6．C 【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小 【详解】由圆的方程，可知圆心，半径， 直线过定点， 因为，则定点在圆内， 则点和圆心连线的长度为， 当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时， 由圆的弦长公式可得， 故选：C 7．B 【分析】利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解. 【详解】由可得， 令，由万能公式可得， ，所以直线的方程为①， 由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②， 可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆， 于是线段长度的取值范围为，因为， 所以线段PQ长度的取值范围为， 故选：B. 8．D 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D      【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 9．AC 【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号， 所以的取值范围为，A正确； 因为， 所以四边形的面积等于， 四边形面积的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，C正确； 因为 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求， 故D错误， 故选:AC. 10．ABC 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：ABC. 11．AC 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出不等式组，再结合代换求得的范围，判断BCD. 【详解】如图，以为 轴建立直角坐标系，则，， 依题意，直线的斜率，直线方程为：， 直线的斜率，则直线方程为， 由，解得 ，即，，A正确； 设，即，直线的一般方程为， 圆的半径为，显然，由，得， 则，解得，即长的范围是，B错误，C正确； 当，即长为时，圆的半径最大，圆形保护区的面积最大，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键. 12． 【分析】根据两圆外切求解可得. 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2； 圆，圆心为，半径为1． 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切， 故圆心距，解得． 故答案为： 13． 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到直线的的距离，则公共弦长为，即可得出答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：. 14．①②④ 【分析】①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断. 【详解】①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”； ②，其中，， 此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合， 故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”； ③，即，则 ， 假设有“自公切线”，设切点分别为，，且， 所以切线的斜率，解得：， 则，故， 化简得：，无解，所以③没有“自公切线”. ④， 当，则，当，则， 表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”. 故答案为：①②④ 15．(1)和 (2)点P 的坐标为，面积最小值为 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【详解】（1） 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 16．(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离即得. （2）①设，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、C、B四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径， 此圆的方程为，整理得， 而圆C的方程为，，两圆方程相减得， 因此直线的方程为，对任意实数，当时，， 所以直线过定点. 17．(1) (2) (3)证明见解析，2 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$