精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2023届高三上学期第一次月考数学试卷

扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期高三年级 第一次阶段性检测 2022.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B,再求. 【详解】由解得：， 所以. 故选：A 【点睛】集合的交、并、补运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法求出，模长公式计算. 【详解】由，得， . 故选：C 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察题目发现有3种角，我们需要变为2种角，不难发现，我们可以把变为，即可利用相关公式求解. 【详解】 . 故选：C. 4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【详解】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 5. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素，将、元素插入这位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果. 【详解】因为个“冰墩墩”完全相同，将其中个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外个“冰墩墩”记为元素， 先将甲、乙、丙、丁位运动员全排，然后将、元素插入这位运动员所形成的空中， 且、元素不相邻，则不同的排法种数为. 故选：B. 6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. A=30°，B=45°，c=5 B. a=4，b=5，C=60° C. a=8，，B=45° D. a=6，b=8，A=30° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A中：由A=30°，B=45°，c=5，所以，再利用正弦定理可求，显然只有一解； 对于选项B中：由余弦定理可得，所以只有一解； 对于选项C中：因为，且，所以只有一解； 对于选项D中：因为，且，所以角有两解. 故选：D. 7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以. 由正弦定理得是外接圆的半径），. 又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得. 因此该直三棱柱的体积是 故选：A. 8. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：，又，， ∴，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断. 【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错； C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数是偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，的图象向左平移个单位,用代换并化简即得平移后函数的解析式；对于B选项，是否为函数的一个零点就看；对于C选项，利用复合函数的单调性规律即可判断；对于D选项，应用偶函数的定义即可判断 【详解】的图象向左平移个单位, 可得 ,故A正确. 因为 所以是函数的一个零点,故B正确； 因为,则, 因为是的一个单调递增区间， 所以函数在区间上单调增,故C正确; 函数, 所以 记，则 所以不是偶函数,故D错误 故选:ABC. 11. 下列命题中真命题有（ ） A. 已知，若与的夹角为锐角，则 B. 若定义域为R的函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0 C. 复数z满足|z|2＝z2 D. 函数的最大值是5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量夹角的坐标表示公式、奇偶函数的性质，结合复数模的定义和乘方运算、导数的性质逐一判断即可. 【详解】对A：因为，所以， 当与同向时，有，即， 显然，显然当时，与的夹角不是锐角，故本命题不是真命题； 对B：因为函数f（x－1）为偶函数，所以， 又因为函数f（x）是奇函数，所以，即，所以本命题是真命题； 对C：当时，，所以本命题是假命题； 对D：的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此本命题是真命题， 故选：BD 【点睛】关键点睛：利用导数求函数的最值是解题的关键. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等； 对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断； 对于C选项，证明平面即可， 对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可. 【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误； 对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确； 对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确； 对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小， 此时设的中心为，的中心为，的中点为， 则，，，则易知， 所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知幂函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案. 【详解】的图象过点，，则，，. 故答案为：. 14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 15. 某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 【答案】300 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数. 【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此, 故130分以上的人数为. 故答案为：300 16. 已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集 【详解】设函数，则 又 所以在上单调递增，又 故不等式 可化为 由的单调性可得该不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，中. （1）若，求m的值； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可； （2）由题设有，列不等式组求参数范围即可. 【小问1详解】 由题设，，又， 当时，此时，则，显然不符题设； 当时，此时，则，满足题设； 所以. 【小问2详解】 由题设， 当，，可得； 当，，可得； 所以. 18. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，，利用平面向量的数量积运算得到，再由，得到，然后利用二倍角的余弦公式结合商数关系求解； （2）由，根据，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， . （2）， 因为， 所以. 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值2. 所以当时，函数的值域为. 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再结合三角恒等变换得，进而得答案； （2）结合题意得，再根据正弦定理得，进而根据面积公式与三角恒等变换得，再求范围即可. 【小问1详解】 解：∵， 由正弦定理可得：， 又∵， ∴，即： ∵， ∴，即 【小问2详解】 解：为锐角三角形，所以，解得， ∵，由正弦定理得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的面积的取值范围为． 20. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 21. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. （1）证明：PA⊥BD； （2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值． 【答案】21. 证明如下： ∵∠DAB=600，AB=2AD， 由余弦定理得BD=AD， 从而BD2+AD2=AB2 故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD， 故PA ⊥BD 22. . 【解析】 【详解】试题解析： （1）略 （2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系 则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1） 设平面PAB的法向量，则 ，解得 平面PBC的法向量，则 ，解得 考点：本题考查线线垂直 二面角 点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性 22. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期高三年级 第一次阶段性检测 2022.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（       ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. A=30°，B=45°，c=5 B. a=4，b=5，C=60° C. a=8，，B=45° D. a=6，b=8，A=30° 7. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数是偶函数 11. 下列命题中真命题有（ ） A. 已知，若与的夹角为锐角，则 B. 若定义域为R的函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0 C. 复数z满足|z|2＝z2 D. 函数的最大值是5 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知幂函数的图象经过点，则______． 14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 15. 某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 16. 已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，中. （1）若，求m的值； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）当时，求函数的值域. 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围． 20. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 21. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. （1）证明：PA⊥BD； （2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值． 22. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $