精品解析：天津市小站第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024高一年级第一学期期中考试数学学科试卷 一、选择题 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式： 的解集为或， 则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知幂函数的图像过点，则______． 12. 函数的定义域是__. 13. 若函数，则______． 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________． 15. 已知函数若，则__________. 16. 已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 三、解答题 17. 根据函数单调性定义证明函数在区间上单调递增. 18. 已知集合，，. （1）若，求,. （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知不等式 的解集为或. （1）求实数a， b的值； （2）解不等式 20. 已知函数. （1）若，判断的奇偶性并加以证明 （2）当时，先判断函数在，上的单调性并用单调性的定义加以证明，再求函数在，上的最小值； （3）若对任意，，恒成立，求实数的取值范围. 21. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （3）设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024高一年级第一学期期中考试数学学科试卷 一、选择题 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立； 如果，则有，所以，即，必要条件成立； 是的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 5. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 6. 函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式代入计算函数值即可. 【详解】设，得，则. 故选：A. 7. 下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数特征逐一判断即可. 【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误； 对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确； 对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误； 对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 8. 关于的不等式： 的解集为或， 则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得、的具体值，再代入不等式中求解即可得. 【详解】由题意可得，故，解得， 故，解得， 故关于的不等式的解集为. 故选：B. 9. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性与奇偶性直接求解. 【详解】∵定义域为的偶函数在上单调递减，且， ，且在上单调递增， ，可得或或， 即或或，即. 故选：D. 10. 已知函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在为增函数，要使函数在上为增函数，则要求①当，在区间为增函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解方程即可. 【详解】对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立 则在为增函数. 令，. 要使函数在上为增函数， 则有在区间上为增函数，在区间上为增函数且, ∴,解得. 故选：D． 【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题. 二、填空题 11. 已知幂函数的图像过点，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求. 【详解】由题意，，解得，故，则. 故答案为： 12. 函数的定义域是__. 【答案】，， 【解析】 【分析】 根据函数的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】解：函数中， 令， 解得， 即或； 所以的定义域是，，. 故答案为：，，. 13. 若函数，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】首先求解，然后代入求解出. 【详解】根据题意得：, 然后代入 故答案为：-2. 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 15. 已知函数若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别对和进行讨论，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，解得或（舍）； 当时，，解得，不满足. 综上所述，. 故答案为：. 16. 已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质计算即可 【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时， 故答案为： 三、解答题 17. 根据函数单调性定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明：，且， 则， ， 又， ，， 即， ∴在区间上单调递增. 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可. 【详解】略 18. 已知集合，，. （1）若，求,. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）本题首先可根据题意得出，然后根据得出以及，最后根据即可求出； （2）本题可分为、两种情况进行讨论，当时有，当时有或，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，， 故. （2）由可知： 当时，，解得； 当时，满足或， 解得或， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算以及根据集合运算的结果求参数，考查并集、交集以及补集的相关运算，考查交集的相关性质，考查计算能力，考查分类讨论思想，是中档题. 19. 已知不等式 的解集为或. （1）求实数a， b的值； （2）解不等式 【答案】（1）， （2） 当时，不等式的解集为； 当时，解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集与对应方程根的关系列等量关系，解得结果； （2）先因式分解，再根据根的大小关系分类讨论，即可确定不等式解集. 【小问1详解】 由题意可知方程的一个根为1，且， ∴，解得：或（舍）， 根据根与系数的关系可得，即， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可知， 因式分解得， 当时，解得； 当时，此时没有解，解集为； 当时，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，解集为；当时，不等式的解集为. 20. 已知函数. （1）若，判断的奇偶性并加以证明 （2）当时，先判断函数在，上的单调性并用单调性的定义加以证明，再求函数在，上的最小值； （3）若对任意，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明如下： ，定义域为， ，可得为奇函数； （2）当时，在，上递增，证明如下： 设，则， 由于，可得，，， 即有，即， 所以在，上递增， 则在，上的最小值为（1）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义，首先求定义域，比较与的关系，即可判断； （2）在，上递增，再由单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，由单调性可得最小值； （3）由题意可得在，恒成立，运用二次函数的单调性求最值，可得的范围. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）对任意，，恒成立， 可得在，恒成立， 由在，递增，可得时，取得最小值， 所以，解得. 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力． 证明函数的单调性的方法是定义法，即根据单调性定义证明： （1）取值：设是区间上任意两实数，且， （2）作差变形：， （3）定号：由，确定，，得，即， （4）得结论：在，上递增． 21. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （3）设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，令，求出最小值，从而得到m的取值范围； （3）讨论、和，结合二次函数的单调性，即可求得结果． 【小问1详解】 解：设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． 【小问2详解】 因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 令，， ． 当时，单调递减， 当时，， 所以． 【小问3详解】 当，即时，在单调递减， ； 当，即时，则在单调递减，单调递增， ； 当时，则在单调递增， ． . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $