精品解析：上海市上海音乐学院虹口区北虹高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上音北虹2024学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷 2024．10 命题人：商轶玮 审核人：周骥华 （满分100分，时间90分钟；答案做在答题纸上） 一．填空题（1-6每题3分，7-12每题4分，共42分） 1. 已知集合，，则______． 2. 将化为有理数指数幂的形式为______. 3. 不等式的解集是_____． 4. 若，则______． 5. 一元二次方程的两个根分别是和，若，则实数_____． 6. 当时，的最小值为________． 7. 已知，则______． 8. 已知，则可用a，b表示为______． 9. 已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 10. 不等式的解集为_______ 11. 已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是____________. 12. 若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________． 二．选择题（13，14每题3分，15，16每题4分，共14分） 13. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 14. 如果，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ） A. 是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，且 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 三．解答题（8+10+12+14=44分） 17. 已知，，比较与的大小． 18. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 19. 已知a、b均为正数，设. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 20. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上音北虹2024学年第一学期期中考试 高一年级数学试卷 2024．10 命题人：商轶玮 审核人：周骥华 （满分100分，时间90分钟；答案做在答题纸上） 一．填空题（1-6每题3分，7-12每题4分，共42分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，，所以. 故答案为：. 2. 将化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 3. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】变换得到，解得答案. 【详解】，则，解得或. 故答案为：. 4. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 【详解】，则，故. 故答案为：. 5. 一元二次方程的两个根分别是和，若，则实数_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，化简，代入求值即可得答案. 【详解】由题意一元二次方程的两个根分别是和， 则， 由得， 故答案为：-1 6. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 7. 已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用配方法将原式化为，求得的值，即可求得答案 【详解】由得， 故，解得， 故， 故答案为：8 8. 已知，则可用a，b表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9. 已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，可列式，计算得m的值，验证后即得答案. 【详解】由题意函数是幂函数， 故，即， 解得或， 当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当时，，其图象经过第二象限，不符合题意； 故， 故答案为：2 10. 不等式的解集为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由的定义域为， 且有，则为偶函数， 又在中，，则幂函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 则，即 ， 整理得，解得，且， 则不等式的解集为， 故答案为：. 11. 已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【详解】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 12. 若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得. 考点：含参数的一元二次方程的解法. 二．选择题（13，14每题3分，15，16每题4分，共14分） 13. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数的图象与性质即可求解. 【详解】由指数函数的图象与性质知，当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 因此函数的值域为， 故选：A. 14. 如果，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 15. 如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ） A. 是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且 C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，且 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误． 【详解】解：对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误 当时，，， 可得是的子集； 当时，，且， 可得不是的子集，故A错误． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集． 故选：B. 三．解答题（8+10+12+14=44分） 17. 已知，，比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用作差法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，不等式取等号， 即. 18. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【答案】(1) (2) 时，元 【解析】 【详解】(1)根据题意，200≥3000，即5x－14－≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. (2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104， 故x＝6时，ymax＝457500元． 19. 已知a、b均为正数，设. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解； （2）同经验值性质求最小值得，再利用“1”的代换求最小值. 【小问1详解】 由已知不等式为， 时，不等式为，，所以； 时，不等式为，，不成立； 时，不等式为，，所以， 综上，不等式的解集为； 【小问2详解】 ，即的最小值是， 所以，又，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以所求最小值为1. 20. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1） （2） 由题设，且， 所以， 所以，得证. （3），理由如下： 由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【小问1详解】 由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： 第一问，根据性质定义列不等式组求参数范围； 第二问，根据定义得为关键，并用累加法计算即可； 第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $