精品解析：黑龙江省哈尔滨市第二十一中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

哈21中学2024-2025(上)九年级月考测试题 （数学）试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是 ， 故选A． 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可以重合． 3. 马拉松是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为米，用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解： 的4后面有4个位数，根据科学记数法要求表示为， 故选：C． 4. 如图所示，几何体由6个大小相同的小正方体组成，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从物体左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D 6. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，得：y=﹣（x+1）2+1； 然后向上平移3个单位，得：y=﹣（x+1）2+1+3． 即y=﹣（x+1）2+4， 故选D． 7. 观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（ ）个◯． A. 18 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 根据图形找出规律求解即可． 【详解】解：第1个点阵图中点的个数是：（个）， 第2个点阵图中点的个数是：（个）， 第3个点阵图中点的个数是：（个）， ……， ∴第9个点阵图中点的个数是：个． 故选：B． 8. 如图，在中，点D、E 分别在、上，连接，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选∶C． 9. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，垂直平分，则，，从而有，，然后根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 小明去超市购物，并按原路返回，往返均为匀速步行，小明离家的距离（单位：米）与他出发的时间（单位：分）之间的函数关系如图所示，则小明在超市内购物花费的时间为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从图形获取信息，根据图象求出小明去超市的速度，进而得到他到超市的时间，再求出他回家的速度，进而得到他离开超市的时间，两个时间差即为所求． 【详解】解：小明去超市的速度为（米/分） 到超市的时间为（分）， 回家的速度为（米/分）， 离开超市的时间为（分）， 在超市购物时间为（分）． 故选：C 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：由题意可知，解得 ∴自变量x的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，掌握分母不能为零是解题关键． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】把二次根式化简后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式的减法，准确化简二次根式是解题的关键． 14. 二次函数的顶点坐标为__________． 【答案】（-1，-3） 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标． 【详解】解： ∵y=（x+1）2-3， ∴顶点坐标为（-1，-3）， 故答案为：（-1，-3）． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 15. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，于点C，于点D，且，则线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似． 如图(见解析)，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：4． 16. 不等式组的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 17. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设平均每月的增长率为x，根据等量关系式：一月份的产值三月份的产值，列出方程求解即可． 【详解】解∶ 设平均每月的增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去） 答：平均每月的增长率为， 故答案为：． 18. 定义新运算“*”，规定，则的运算结果为：______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．代入数值根据规定的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：3 19. 已知正方形边长为4，在直线上有一点E，且，过点A作的垂线交直线于点F，连接，则的长为__________． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，分E在线段上，线段的延长线上讨论即可． 【详解】解：∵正方形边长为4， ∴，， 当E在线段上时， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 当E在线段的延长线时， 同理可证， ∴， ∴， ∴； 综上，长为或5， 故答案为：或5． 20. 如图，在中，，，点D在线段上，点E在线段上，， ，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过E作于F，先证明，则，证明是等腰直角三角形，得出，则可求，根据勾股定理求出，设，根据等腰三角形的性质、勾股定理可求出，证明，得出，代入求出，即可求解． 【详解】解：如图，过E作于F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把x化简后代入计算． 【详解】解∶ ， 当时， 原式． 22. 图1，图2中的小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点A，B，E，F均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段AB为边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为8； （2）在图2中画出以线段EF为边的菱形EFGH，点G，H均在小正方形的顶点上，且菱形EFGH的面积为8，连接FH，直接写出FH的长． 【答案】（1） 如图，四边形ABCD即为所求； （2） 如图，四边形EFGH即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理与网格的特点，作一个底为4，高为2的平行四边形即可； （2）根据勾股定理与网格的特点，作一个对角线分别为的菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 23. 为贯彻落实十九大会议精神，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，积极推动生态文明理念融入学校教育，某中学拟举办“爱家乡、览名山”活动，围绕“哈尔滨市周边五大名山，即：香炉山、凤凰山、金龙山、帽儿山、二龙山，你最喜欢那一座山？每名学生必选且只选一座山”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整统计图请根据统计图的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有学生1200人，请你估计该中学最喜欢香炉山的学生约有多少人． 【答案】（1）80名 （2） （3）360人 【解析】 【分析】本题考核知识点：数据的描述，用样本估计总体． 解题关键点：从统计图获取信息，用样本估计总体． （1）用帽儿山人数除以百分比可得总人数； （2）用总人数减去已知人数可得喜欢凤凰山人数； （3）用最喜欢香炉山的情况估计全校情况． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次调查共抽取了80名学生； 【小问2详解】 解：喜欢凤凰山的人数为（名）， 【小问3详解】 解：， ∴估计该中学最喜欢香炉山的学生约有360人． 24. 在中，于点D，点E是边的中点，过A作交的延长线于点F，连接． （1）如图1，求证：四边形是矩形． （2）如图2，当时，取中点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形面积一半的平行四边形． 【答案】（1） 证明： ∵E是中点， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由，推出又推出四边形是平行四边形，只要证明，即可推出四边形是矩形． （2）先证明四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，再证明它们的面积为矩形面积一半即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵四边形是矩形，且点E为对角线交点， ∴点E是边的中点， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴四边形是平行四边形； 同理可证线段、线段都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可证，四边形、四边形都是平行四边形， 在中， ∴ ∴ 在矩形中， ∴即 同理可得；；的面积为矩形面积一半 25. 禹驰商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需800元． （1）求购进A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若禹驰商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，求禹驰商店至多购进A种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进 A、B 两种纪念品每件各需100元、50元 （2）禹驰商店至多购进 A 种纪念品53件 【解析】 【分析】（1）设购进 A种纪念品每件需x元，购进 B种纪念品每件需y元，根据题意，列出二元一次方程组，然后解方程组即可得出结论； （2）设禹驰商店购进 A 种纪念品a件，则购进 B 种纪念品件，根据题意，列出一元一次不等式，即可求出结论． 【小问1详解】 设购进 A种纪念品每件需x元，购进 B种纪念品每件需y元 由题意可知： 解得： 答：购进 A种纪念品每件需100元，购进 B种纪念品每件需50元． 【小问2详解】 设禹驰商店购进 A 种纪念品a件，则购进 B 种纪念品件 由题意可知： 解得： ∵a为整数 ∴a的最大值为53 答：禹驰商店至多购进 A 种纪念品53件． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 26. 已知正方形，是边上一点，过点作交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，点H在上，，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， 又， ∴； （2） 证明：在正方形中，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和垂直的定义可得出，然后结合三角形外角的性质得出，即可得证； （2）证明，得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得出，然后根据三角形外角的性质得出，结合，即可得证； （3）根据等腰直角三角形的性质、勾股定理并结合，可求出，结合，可求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，过H作于G，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可求出，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 过H作于G， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键. 27. 如图，抛物线交轴于点（左右），交轴于点，点坐标为，， （1）求抛物线解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，点横坐标为，连接，面积为，求与的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，当时，过点作的垂线交于点，求的直线解析式． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）与的函数关系式为； （3）直线解析式为． 【解析】 【分析】（）由点坐标为，，则，然后用待定系数法求解析式即可； （）过作轴于点，由点横坐标为，则，，故有，，然后利用即可求解； （）过作轴于点，过作轴，交于点，过作轴于点，则，得出，，所以，设直线解析式为，求出直线解析式为，同理直线解析式为：，直线解析式为：，再根据得出即可； 本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点坐标为，， ∴， ∵抛物线过， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于点， 由（）得：抛物线解析式为， ∵点横坐标为， ∴，， 当时，， 解得：，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 如图，过作轴于点，过作轴，交于点，过作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， 由（）得， ∴，， ∴由相似三角形性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为：， 同理：直线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈21中学2024-2025(上)九年级月考测试题 （数学）试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 马拉松是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为米，用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，几何体由6个大小相同的小正方体组成，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 7. 观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（ ）个◯． A. 18 B. 28 C. 32 D. 36 8. 如图，在中，点D、E 分别在、上，连接，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （ ） A. B. C. D. 10. 小明去超市购物，并按原路返回，往返均为匀速步行，小明离家的距离（单位：米）与他出发的时间（单位：分）之间的函数关系如图所示，则小明在超市内购物花费的时间为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 把多项式分解因式的结果是___________． 13. 计算：__________． 14. 二次函数的顶点坐标为__________． 15. 如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，于点C，于点D，且，则线段的长为_______． 16. 不等式组的解集为____________． 17. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为____________． 18. 定义新运算“*”，规定，则的运算结果为：______． 19. 已知正方形边长为4，在直线上有一点E，且，过点A作的垂线交直线于点F，连接，则的长为__________． 20. 如图，在中，，，点D在线段上，点E在线段上，， ，，则线段的长为__________． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 图1，图2中的小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点A，B，E，F均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出一个以线段AB为边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为8； （2）在图2中画出以线段EF为边的菱形EFGH，点G，H均在小正方形的顶点上，且菱形EFGH的面积为8，连接FH，直接写出FH的长． 23. 为贯彻落实十九大会议精神，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，积极推动生态文明理念融入学校教育，某中学拟举办“爱家乡、览名山”活动，围绕“哈尔滨市周边五大名山，即：香炉山、凤凰山、金龙山、帽儿山、二龙山，你最喜欢那一座山？每名学生必选且只选一座山”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整统计图请根据统计图的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有学生1200人，请你估计该中学最喜欢香炉山的学生约有多少人． 24. 在中，于点D，点E是边的中点，过A作交的延长线于点F，连接． （1）如图1，求证：四边形是矩形． （2）如图2，当时，取中点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形面积一半的平行四边形． 25. 禹驰商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需800元． （1）求购进A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若禹驰商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，求禹驰商店至多购进A种纪念品多少件？ 26. 已知正方形，是边上一点，过点作交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，点H在上，，连接，求的长． 27. 如图，抛物线交轴于点（左右），交轴于点，点坐标为，， （1）求抛物线解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，点横坐标为，连接，面积为，求与的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，当时，过点作的垂线交于点，求的直线解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $