2024-2025学年 苏科版数学九年级上册期中练习题

2024-2025学年度苏科版九年级上册期中复习卷 一、单选题 1．数据：a，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的方差是（    ） A．12 B． C．14 D． 2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度（所对的弦的长）约为，拱高（的中点到弦的距离）约为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 6．若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（   ） A．1，5 B． C． D． 7．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 10．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 二、填空题 11．一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 ． 12．已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为 ． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 14．已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ． 15．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 16．如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ． 17．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为 ． 18．半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 三、解答题 19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)当为正整数时，求方程的解． 20．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 21．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 22．如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点A）． (1)当时，直接写y与x之间的函数关系式：______． (2)蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 24．已知，内接于，为的直径，点为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为．若，求的半径． 25．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 26．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于C、D． (1)若C点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 27．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 28．【模型建立】 如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线分别交圆O于点A，B，则是点P到圆O上的点的最短距离，是点P到圆O上的点的最长距离．    【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______． (3)如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的圆E上，则的最小值是______． (4)如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． (5)如图⑤，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为______． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版九年级上册期中复习卷 一、单选题 1．数据：a，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的方差是（    ） A．12 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】先根据，确定，根据方差公式，解答即可． 本题考查了平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：D． 2．石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度（所对的弦的长）约为，拱高（的中点到弦的距离）约为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，点圆心，连接，由垂径定理的推论可得，进而利用勾股定理求出半径即可，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 【详解】解：如图，点圆心，连接， 由题意可得，，，， ∴， 设圆的半径为，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 3．某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，三年的总产值=去年的产值+今年的产值+明年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个百分数为x，则有今年的产值为，明年的产值为， 由题意可得：． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键． 根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出、的值，由此即可得出结论． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故选：A． 6．若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（   ） A．1，5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解；利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】解：记，则即的两根为， 故或， 故选：D． 7．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系． 如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 设， 根据题意，得 ， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ． 故选：C． 8．如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D， 设，则， ， 连接， ． 9．如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 10．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 二、填空题 11．一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 ． 【答案】12.2 【分析】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键． 由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可． 【详解】解：∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13， ∴， ∴这组数据为4，19，10，13，15， ∴这组数据的平均数．　 故答案为：． 12．已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，先得出，再代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 14．已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，等边对等角，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型． 连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程为“倍根方程”． ∴或者， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为： 或． 16．如图，在中，分别与相切于点，交于点．若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点F．由切线长定理可知，证明四边形为矩形得，由垂径定理得，设，则，在和中，由勾股定理可求出，在中，，进而可求出的半径． 【详解】解：连接，过点O作于点F． 与相切于点， ， ， ∴四边形为矩形， ， ∵ ． ， 设，则， 在和中， ， ， ． 在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 18．半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，记为，连接，可求，则点在以点为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度，由圆周角定理得：，与，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：作的外接圆，记为，连接， 由题意得，为直径，则， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在以点为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度， 由圆周角定理得：， ∵，， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，求弧长，三角形的内角和定理和角平分线的定义，难度较大，熟练掌握知识点，识别“定弦定角”模型是解题的关键． 三、解答题 19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)当为正整数时，求方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】此题考查了一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确理解并掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根得，计算即可； （2）根据m的取值范围可得，代入解方程即可． 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根， 解得：， ， ， 的取值范围为且； （2）为正整数，且， ， 当时，原方程为， 解这个方程得：，． 20．射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击第6次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)8，8，9 (2)甲的成绩较稳定 (3)变小 【分析】（1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； （2）解：教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定． （3）解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 故答案为：变小． 【点睛】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． 21．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 22．如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交于点D、E， 分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线交于点O， 以O为半径，以长为半径画圆， 即为所求作； （2）过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点A）． (1)当时，直接写y与x之间的函数关系式：______． (2)蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 【答案】(1) (2)110千克或190千克 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法求出当时，与之间的函数关系式即可； （2）根据当时，当时，分别根据蔬菜种植基地能获得418元的利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数关系式为：， 把，代入函数关系式得： ， 解得：， 当时，与之间的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：当时，，解得，不合题意； 当时，， 整理得， 解得：，， 答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润． 24．已知，内接于，为的直径，点为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为．若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于，根据垂径定理的推论可得，即； （2）连接并延长交于，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如下图，延长交于， ∵点为优弧的中点， ∴， ∴，即； （2）解：连接并延长交于， 设的半径为， ∵点为优弧的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴的半径为． 25．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ∵， ， 又 ， ， 是切线 ， ， ， 是切线； （2）如图所示，当点在上时，连接，交于点， ， ， ， ， 直径， ， ∴， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ∵， ∴， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于C、D． (1)若C点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)存在；点P的坐标为或； (3)的长不变，且长度为6 【分析】（1）结合题意，连接，根据点M和点C的坐标可得出的半径，即的长，利用M的坐标即可得出A的坐标； （2）假设存在这样的点P，根据题意，可知为等腰直角三角形，且．根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标； （3）作于H，则，易证，故．从而可证为一定值． 【详解】（1）解：如图①，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：假设存在这样的点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 解得：， 即存在两个这样的点P，且坐标为或； （3）解：的长不变，且长度为6． 如图②，连接，作于H， 则， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查的是垂径定理的应用和切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． 27．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③； (2)①证明见解析；②存在，的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； （2）解：①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 28．【模型建立】 如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线分别交圆O于点A，B，则是点P到圆O上的点的最短距离，是点P到圆O上的点的最长距离．    【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______． (3)如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的圆E上，则的最小值是______． (4)如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． (5)如图⑤，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或5 (3) (4) (5) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答； （5）先证明，得到，进而证明，则点E在以为直径的圆上运动；如图所示，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，求出，则，可得，则的最小值为． 【详解】（1）证明：如图，点C为上任意一点（不与点B重合），连接，，    当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）解：若点P在外，如图①，    则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5； （3）解：连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长，    ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是； （4）解：取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值，    连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： （5）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图所示，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 试卷第10页，共33页 试卷第1页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷分析 整体难度：一般 考试范围：统计与概率,图形的性质,方程与不等式,数与式,图形的变化,函数 试卷题型 题型 数量 单选题 10 填空题 8 解答题 10 试卷难度 难度 题数 容易 1 较易 9 适中 15 较难 3 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.65 已知 平均数求未知数据的值；求方差 2 0.65 用勾股定理解三角形；垂径定理的推论 3 0.85 增长率问题(一元二次方程的应用) 4 0.65 线段垂直平分线的性质； 三角形外接圆的说法辨析；求三角形外心坐标 5 0.85 已知式子的值，求代数式的值；因式分解的应用；一元二次方程的根与系数的关系 6 0.85 一元二次方程的解 7 0.65 公式法解一元二次方程；根据正方形的性质求线段长 8 0.65 用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用 9 0.65 等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；正多边形和圆的综合；根据旋转的性质求解 10 0.65 用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长；求一点到圆上点距离的最值 二、填空题 11 0.85 求一组数据的平均数； 利用中位数求未知数据的值 12 0.94 已知式子的值，求代数式的值；一元二次方程的解 13 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数 14 0.85 等边对等角；圆的基本概念辨析 15 0.85 因式分解法解一元二次方程 16 0.65 用勾股定理解三角形；根据矩形的性质与判定求线段长；切线的性质定理；应用切线长定理求解 17 0.65 正多边形的内角问题； 求圆弧的度数；切线的性质定理 18 0.4 三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形；圆周角定理；求弧长 三、解答题 19 0.65 公式法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数 20 0.85 求一组数据的平均数；求中位数；求众数；求方差 21 0.85 求圆锥侧面展开图的圆心角；求最短路径(勾股定理的应用) 22 0.65 作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形；切线的性质定理；证明某直线是圆的切线 23 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)；求一次函数解析式 24 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；垂径定理的推论 25 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线 26 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；利用垂径定理求值；切线的性质定理 27 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；求一次函数自变量或函数值 28 0.4 用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题；根据正方形的性质证明；求一点到圆上点距离的最值 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 统计与概率 1,11,20 2 图形的性质 2,4,7,8,9,10,14,16,17,18,21,22,24,25,26,28 3 方程与不等式 3,5,6,7,12,13,15,19,23,27 4 数与式 5,12 5 图形的变化 9 6 函数 23,27 难度分布 容易 较易 适中 较难 3.57 32.14 53.57 10.71 学科网（北京）股份有限公司 $$