24.2 直角三角形的性质（2大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质（2大题型提分练） 题型一 含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，，P为平分线上一点，交于点C，于点D，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，中，，．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 4．如图，中，，是高，，，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，，，的平分线交于D，于点C，若，则 ． 6．在中，，，，则 ． 7．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 8．如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 9．如图，点A在x轴的负半轴上，请在y轴上画出点P，使得． 10．如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    题型二 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在和中，，，M是的中点，连接，，，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，中，，，，点O是的中点，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．2 D．2.5 5．如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 6．若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为 ． 7．如图，中，，D为中点，，，则 ． 8．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 ． 9．如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的2和8，求的长． 10．如图，已知四边形中，，E是的中点．    (1)求证：： (2)若，，求的度数． 1．如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　） A． B． C． D． 2．乘雪橇沿倾斜角是的斜坡滑下，滑下的路程（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（    ） A．24米 B．12米 C．米 D．6米 3．在中，，，，则（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 4．如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，在中，，以 为腰在外作等腰，且，过点作，垂足为，若，，则 ． 7．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图，在四边形中，对角线、相交于点O，，，，求四边形的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线的垂线，垂足分别为点E、F，设为m，通过计算与的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：的面积为 （用含m的式子表示）．则四边形的面积为 ．    8．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，若，则 ． 9．如图，在中，，，为的中点，交的延长线于，若，则 ． 10．如图，在中，，，D是边的中点，连接，若的周长是18，则的长为 ．    11．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 12．如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 13．，均为等腰直角三角形，． (1)如图①所示，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ________；的度数为_______． (2)如图②所示，在图①的基础上，将绕点顺时针旋转到如图②所示的位置，其中，，在一条直线上，为线段的中点．则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论． 14．在和在中，． (1)如图1，若点为中点，，． ①求证：为等腰三角形． ②求的面积． (2)如图2，若，，求长． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，．以为斜边作等腰直角三角形，点落在第四象限内，连接．取边中点，连接交于点 (1)求的长； (2)若，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质（2大题型提分练） 题型一 含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解； 【详解】解：∵是边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 2．如图所示，，P为平分线上一点，交于点C，于点D，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，角平分线的性质，得到，平行线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】解：过点作， ∵P为平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴； 故选B． 3．如图，中，，．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由尺规作图步骤可得，平分，根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得，根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：由尺规作图步骤可得，平分， ∵， ∴， 又， ∴， ∴点G到的距离等于， ∴的最小值为1， 故选：C． 4．如图，中，，是高，，，则长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】此题考查了含的直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，再根据“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．如图，在中，，，的平分线交于D，于点C，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形性质，角平分线性质的应用等知识点，根据角平分线性质求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可得出答案．熟练掌握两个定理的内容是解决此题的关键． 【详解】∵的平分线交于D，于点C，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 6．在中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 7．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，含30度直角三角形的性质；由，当最小时，最大；而当时，最小；由含30度直角三角形的性质可求得的最小值，从而求得的最大值． 【详解】解：∵， ∴当最小时，最大； 而当时，最小，如图； ∵， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 8．如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，点A在x轴的负半轴上，请在y轴上画出点P，使得． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了基本作图．根据含30度直角三角形的性质作图即可． 【详解】解：以O为圆心，为半径画圆交x轴于点B，在以A为圆心，为半径画圆与y轴的交点即为点P． 如下：点P即为所求， 根据作图可知：， ∴ ∴． 10．如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，连接，根据垂直平分线的性质得到，，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵垂直平分于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在和中，，，M是的中点，连接，，，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的性质及勾股定理，掌握直角三角形斜边的中线是斜边的一半是解题的关键，过点M作于E，首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过M作于E， ∵，，M是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 故选：A． 2．如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此解答即可． 【详解】解：如图：连接， ∵公路的中点M， ∴， ∵， ∴， ∴M，C两点间的距离为． 故选B． 3．如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．先利用勾股定理算出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中线， ∴， 故选：C． 4．如图所示，中，，，，点O是的中点，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与直角三角形斜边中线，先根据勾股定理求出，再由斜边中线得到，即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 故选：D． 5．如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，延长交于点H，证明，，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点H， 则H是的中点， ∴， 又∵是三角形的重心， ∴， 故答案为：． 6．若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，直角三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的重心性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据重心和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 为的重心， 为的中点，， ，两条直角边长为6和8， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，中，，D为中点，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握这两个知识点是关键．由点D为直角三角形斜边中点，得；由勾股定理即可求得． 【详解】解：∵由点D为直角三角形斜边中点，且， ∴； 由勾股定理得． 故答案为：8． 8．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，先根据勾股定理求得斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为6和8， ∴斜边长为， ∴斜边中线的长是， 故答案为：5． 9．如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的2和8，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意可知，， 又∵，且为边的中点， ∴， ∴的长为3． 10．如图，已知四边形中，，E是的中点．    (1)求证：： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键； （1）由直角三角形斜边上中线的性质得：，即可得证； （2）由（1）知，由等边对等角得：，由三角形外角性质求得的度数，则由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 1．如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了胡不归问题，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握胡不归模型建立是解题关键． 构造胡不归模型解题即可． 【详解】解：如图所示，构造胡不归模型： 过点A作，过点P作，交于于点， ∵，， ∴， ∴， 仅当点M，P，N三点共线，且时，的值最小，即为线段， 的值最小时为线段， 此时，， ∴． 故选：A． 2．乘雪橇沿倾斜角是的斜坡滑下，滑下的路程（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（    ） A．24米 B．12米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、代数式求值，根据题中自变量的值先求出函数值，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：将代入，得， ∵滑下的距离是直角三角形中角的斜边，下降的高度是直角三角形中角的对边． ∴下滑的高度为：（米）． 故选B． 3．在中，，，，则（    ） A．2 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 4．如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于H，    ∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，， ∴等腰直角三角形的直角边， 故选B． 5．如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 6．如图，在中，，以 为腰在外作等腰，且，过点作，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，在上截取，由，可得，进而可得，得到，，即得到，得到，由直角三角形的得性质可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图，在四边形中，对角线、相交于点O，，，，求四边形的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线的垂线，垂足分别为点E、F，设为m，通过计算与的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：的面积为 （用含m的式子表示）．则四边形的面积为 ．    【答案】 6 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积，首先得出的长，再利用三角形的面积公式求出即可；根据直角三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式可得，同理再表示，然后再表示的面积，再求两个三角形的面积和可得答案． 【详解】解： 由题意可知， ，， ，， ， 同理，， ， ； 故答案为：，6． 8．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形、角平分线的性质是解答本题的关键． 过点作于点，由作图可知，为的平分线，即可得，在中，由含30度角的直角三角形可得，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ， ， 在中，， ， ∵， ∴， 故答案为：3． 9．如图，在中，，，为的中点，交的延长线于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确的理解题意是解题的关键． 根据勾股定理可求出的长，则，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，为的中点， ， 在中，，， ∴， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 10．如图，在中，，，D是边的中点，连接，若的周长是18，则的长为 ．    【答案】 【分析】考查了直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等量代换进行解答即可． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∵，的周长是， ∴，则， ∴． 故答案为： 11．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 12．如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 【答案】或秒 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴和两种情况， 设点运动的时间为秒， ①当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， ②当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， 当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间为或秒． 13．，均为等腰直角三角形，． (1)如图①所示，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ________；的度数为_______． (2)如图②所示，在图①的基础上，将绕点顺时针旋转到如图②所示的位置，其中，，在一条直线上，为线段的中点．则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)；； (2)，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应角相等，对应边相等，以及等腰三角形三线合一． （1）根据等腰直角三角形的性质推出，则根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，根据三线合一得出即可得； （2）延长到，使使，连接、、，通过证明，得出，，再推出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵、为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， 答案为：；； （2）解：，；理由如下： 延长到，使，连接、、， ∵、为等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 14．在和在中，． (1)如图1，若点为中点，，． ①求证：为等腰三角形． ②求的面积． (2)如图2，若，，求长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定． （1）①由直角三角形斜边中线的性质得到，，因此，即可证明为等腰三角形． ②过作于，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式即可求出的面积． （2）由等腰直角三角形的性质得到的长，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）①证明：，点为中点， ，， ， 为等腰三角形； ②解：如图过作于， 由①知， ， ， 于， ， ， 的面积； （2）解：，， ， ，， ， ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，．以为斜边作等腰直角三角形，点落在第四象限内，连接．取边中点，连接交于点 (1)求的长； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的利用以上知识解题是关键． （1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案； （2）如图，过作于，过作于，记，的交点为，证明，可得，证明，可得，设，可得，由可得：，求解，利用可得答案． 【详解】（1）解：∵，，边中点为， ∴． （2）如图，过作于，过作于，记，的交点为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，而， ∴， ∴，设， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由可得：， ∴， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$