第24章 解直角三角形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第24章 解直角三角形（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．已知一直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积是（     ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据直角三角形的性质知：， ∴， 可得：． 故三角形的面积． 故选：C． 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 5．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 6．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 7．如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 9．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．如图， 在中，，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， 故答案为：4． 12．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形的性质得， ，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，∵， ∴， 设，则 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，求正弦值，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 13．比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，P为线段AD上一个动点，过P做，垂足为G，连接BP，取的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，在动点问题中找出界点是解题关键．先根据题意确定最小时点的位置，随着动点而动，它的运动轨迹是平行于的直线，所以当垂直于时，即、、三点共线时的值最小，然后根据锐角三角函数求出相应线段的长即可解答． 【详解】解：延长至，使得，连接，如图： 易得， ，， 设， ，是定角， 在定直线上运动， ，， ，， 当最小时，有最小值， 当时，有最小值， ， ， ， ，解得， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 15．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 【答案】 【分析】本题考查了坡度，根据坡度是“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离 【详解】解：∵，为米， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（8小题，共70分） 16．如图1，在中，于点，于点． (1)若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接根据证明两三角形全等即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线即可得证； （3）根据三角形的外角性质得出，在△中，根据三角形的内角和求出，即可证明△是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在与中， ， ； （2）解：是等腰三角形；理由如下： 点为边上的中点， 在与中，，， ， 是等腰三角形； （3）如图2，设与交于点，连接， ，，， ， ，， ，即， ， ，，， 在△中，， ，即， ， 是等边三角形， ， 的周长是． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米 (2)小星下降的高度为168米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和含的直角三角形性质解直角三角形，矩形的判断和性质． （1）过点B作于点G，根据余弦定义得到； （2）设与交于点H，根据含的直角三角形性质和矩形性质，得到，根据正弦定义得到，即得． 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴； ∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ∴． 故小星下降的高度为168米． 18．【课本再现】 思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且． 求证：平分． 【知识应用】 （2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】此题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，特殊角的三角函数和勾股定理，判断出角平分线并用角平分线的性质求出角的度数是解题的关键． （1）此问只需证明即可 （2）①判断出、、是角平分线，用平分线的性质及三角形内角和是即可求出的度数； ②由①得构造特殊直角三角形从而求出,,在中用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）证明：，， ． 在与中 ； ； ；即平分． （2）①， 由（1）中定理得：，． ． ②过点作于点． ， ． ， ， ． ， ． 19．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 20．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 21．在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接， 由（1）知，， ， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．用计算器求图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】图（1），，；图（2），，；图（3），， 【分析】根据勾股定理求得另外一边的长度，在利用三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图（1）得，， 由勾股定理得： ，， 由图（2）得：， 由勾股定理得： ，， 由图（3）得：， 由勾股定理得： ，， 【点睛】此题考查了三角函数的定义，涉及了勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义． 23．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形（单元测试） （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．已知一直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积是（     ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 9．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 10．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．如图， 在中，，，，则的长是 ． 12．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 13．比较大小（用连接），，， ． 14．如图，在矩形中，，，P为线段AD上一个动点，过P做，垂足为G，连接BP，取的中点，连接，则线段的最小值为 ． 15．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 三、解答题（8小题，共70分） 16．如图1，在中，于点，于点． (1)若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 17．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 18．【课本再现】 思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且． 求证：平分． 【知识应用】 （2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，． ①求的度数； ②若，，求的长． 19．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 20．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 21．在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 22．用计算器求图中的正弦值、余弦值和正切值． 23．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$