精品解析：陕西省宝鸡市三迪中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年陕西省宝鸡市三迪中学九年级（上）第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2. 在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确矩形的判定方法．根据，，可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法和各个选项中的条件，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项A正确，符合题意； 当时，无法确定四边形为矩形，故选项B错误，不符合题意； 当时，无法确定四边形为矩形，故选项C错误，不符合题意； 当时，四边形为菱形，但无法确定四边形为矩形，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B. 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C. 顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D. 顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【详解】解：如图： 观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形； A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时， ∴， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键． 7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则m为（ ） A. 11 B. C. D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根的和为10，两根积为m，根据菱形的面积得到两根乘积为22，即可求出m值． 本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得到两根和是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个实根分别为a，b， ∴，， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为11， ∴，即， ∴． 故选：D． 8. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 9. 原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程； 【详解】依题意得：， 即； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于M，交于点H，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；③由②中的结论可得；④由于点E为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点， ∵， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小． ∵， ∴． ∴． 由①知：， ∴的最小值为，故④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题：本题共6小题，共20分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 12. 如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为__________． 【答案】##22.5度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13. a是方程的一个根，则代数式的值是____________． 【答案】2021 【解析】 【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题主要考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， 即， ． 故答案为：2021． 14. 如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠B′AC，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ECA，继而可得∠EAC＝∠ECA，从而有EA＝EC，在Rt△ADE中利用勾股定理求出EC的长即可求得答案. 【详解】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠， 由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC， ∵DC∥AB， ∴∠BAC＝∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， 在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2， 解得，EC＝ ∴重叠部分的面积＝××4＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后两图形全等是解题的关键.注意三角形面积公式的应用. 15. 如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 当时，的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等． 16. 一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为______m． 【答案】16 【解析】 【分析】设羊舍的宽为xm，则羊舍的长为（34+2-2x）m，根据矩形的面积公式结合羊舍的面积是160m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由矩形的长小于等于18m，即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设羊舍的宽为xm，则羊舍的长为（34+2-2x）m， 根据题意得：x（34+2-2x）=160， 解得：x1=8，x2=10． ∵34+2-2x≤18， ∴x≥9， ∴x=10， ∴34+2-2x=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 ∴，； 【小问2详解】 ，， ∴ ∴，． 18. 如图，已知线段利用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的对角线．（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】 如图所示，四边形即为所求作的菱形； 【解析】 【分析】先画出的垂直平分线，垂足为，然后截取即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查菱形的画法及性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程，若是这个方程的一个根，求m的值和另一根． 【答案】，原方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，关键是求出m的值．把代入原方程得出，求出m的值，把m的值代入原方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入原方程得， 解得， 即方程为：， 解得：，， ∴原方程的另一个根为． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．求证：四边形BCDE为菱形． 【答案】 解： E为AD的中点，且． 又 四边形BCDE为平行四边形． 四边形BCDE为菱形． 【解析】 【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边得一半”以及并结合已知条件易证四边形BCDE为平行四边形，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”可证结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及菱形的判定定理，熟知菱形的判定定理以及灵活运用斜边中线的性质是快速解决本题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法： （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 22. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 【答案】经过2秒后的面积等于 【解析】 【分析】过点Q作于E，根据直角三角形30度角的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 过点Q作于E，则． ∵， ∴． ∴． 设经过t秒后的面积等于， 则 根据题意，． ． ． 当时，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于． 【点睛】此题考查了直角三角形30度角的性质，动点问题，三角形的面积计算公式，解一元二次方程，正确理解直角三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ∴四边形是平行四边形． ，， ， ， ∴平行四边形是矩形． （2）2 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，所以．又由，，由直角三角形性质得．在中，，由直角三角形性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ，， ． 又，， ． 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 24. 阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． （3）解方程：． 【答案】（1）； （2）； （3）和． 【解析】 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； 【小问3详解】 解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 25. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 【答案】 感知：证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 探究：； 应用：， 【解析】 【分析】感知：由正方形的性质得出，，证得，由证得，即可得出结论； 探究：分别过点、作，，分别交、于点、，由正方形的性质得出，，，推出四边形是平行四边形，，，证出，同理，四边形是平行四边形，，，证得，由证得，得出，推出，由为中点，得出，则，由勾股定理得出，即可得出结果； 应用：，由阴影部分的面积与正方形的面积之比为，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由证得，得出，，则，，则，，设，，则，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出结果． 【详解】感知：略 探究： 解：分别过点、作，，分别交、于点、，如图②所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； 应用： 解：， ， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， 阴影部分的面积为：， 空白部分的面积为：， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， 的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省宝鸡市三迪中学九年级（上）第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B. 顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C. 顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D. 顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则m为（ ） A. 11 B. C. D. 22 8. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，与点G，连接，，有下列结论：①．②．③．④的最小值为3，其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：本题共6小题，共20分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则____________． 12. 如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为__________． 13. a是方程的一个根，则代数式的值是____________． 14. 如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为________． 16. 一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为______m． 三、解答题：本题共9小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知线段利用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的对角线．（保留作图痕迹，不要求写作法）． 19. 已知关于x的一元二次方程，若是这个方程的一个根，求m的值和另一根． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．求证：四边形BCDE为菱形． 21. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 22. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 23. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程：． （3）解方程：． 25. 感知： 如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，易证：．（不需要证明） 探究： 如图②，在正方形中，，分别为边，上的点（点，不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点，，垂足为．若为中点，，，求的长． 应用： 应用：如图③，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为　　　，的周长为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $