精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年上学期九年级数学期中模拟卷（3）

苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（3） （范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分） 一、选择题（共8小题） 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图是甲，乙两射击运动员5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？（　　） A. 甲更稳定 B. 乙更稳定 C. 一样稳定 D. 无法判断 4. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 参加足球友谊赛每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 6. 若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A B. C. D. 8. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题） 9. 在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下（单位：分）：9，，，，，，7，8，这组数据的极差是___________． 10. 设，是方程的两个根，则___________． 11. 已知二次函数图象开口向下，则m的值是______． 12. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是__米． 13. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下： … 0 … … 3 … 则方程的解是________． 14. 抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是________． 15. 对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为______． 16. 如图（1），在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0，2)， （1）则AB=_________； （2）则图象最低点的横坐标是_____． 三．解答题（共11小题） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和的值． 19. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示： （1）这名学生上周阅读时间的众数为___________小时，中位数为___________小时； （2）求这名学生上周在家阅读平均时长？ 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程两根为，，且，求的值． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）这个二次函数的顶点坐标为______； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交于点A，与y轴交于点C，以原点O，点A，点C为顶点在第一象限内作矩形． （1）点B坐标为 ； （2）连接矩形对角线，交于点D，若将抛物线向下平移k个单位，使得平移后的抛物线经过点D，求k的值； （3）若将矩形向左平移m个单位，边与分别与抛物线交于点Q、点P，若点Q纵坐标是点P纵坐标的倍，求m的值． 24. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 25. 某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元个．设第天的销售价格为（元个），销售量为（个．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律： ①与的关系式为；②与的关系式为． （1）求第10天的日销售利润； （2）当时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个，求k的值． 26. “距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知，是平面直角坐标系内的两点，我们将称作，间的“型距离”，记作，即．已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标分别为，，点C在直线上运动，且满足． （1）求； （2）求抛物线的表达式； （3）已知是该坐标系内的一个一次函数．若D，E是图象上的两个动点，且，求面积的最大值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（3） （范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分） 一、选择题（共8小题） 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故， 故选B． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或， 符合题意的只有D选项， 故选：D． 3. 如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？（　　） A. 甲更稳定 B. 乙更稳定 C. 一样稳定 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的读图和方差公式，利用方差公式，分别计算甲乙的方差，再比较大小即可，掌握这些是本题解题关键． 【详解】解：， ∵ ∴甲更稳定 故选：A 4. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C 5. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 6. 若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】，是常数，且， 图象的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， 点关于直线的对称点是，且， ， 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 8. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 详解】解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，如图， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9. 在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下（单位：分）：9，，，，，，7，8，这组数据的极差是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查极差的定义，根据数据中最大值与最小值之差叫极差即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：2． 10. 设，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的解，根据，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答． 详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质． 12. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是__米． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【详解】解：设道路的宽为xm，依题意有 （32﹣x）（20﹣x）＝540， 整理，得x2﹣52x＋100＝0， ∴（x﹣50）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）， 答：小道的宽应是2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 13. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下： … 0 … … 3 … 则方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，先根据所给数据求出对称轴，进而求出点在抛物线上的对称点，点及其对称点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：由图可知，当或0时，， 二次函数图象的对称轴为：直线， 当时，， 点关于直线的对称点为， 当时，， 方程的解是，， 故答案为：，． 14. 抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，，且a越大开口越小，开口向下时，，且a越大，开口越大，从而确定a的范围． 【详解】+：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 设抛物线与直线l交点（靠近y轴）坐标为， ， ， 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最小， 将点代入，得：， 解得， ； 当时，若抛物线经过点时，开口最大，此时a值最大， 将点代入，得：， 解得， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 15. 对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 16. 如图（1），在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0，2)， （1）则AB=_________； （2）则图象最低点的横坐标是_____． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】观察函数图象，根据图象经过点即可推出和的长，构造，当、、三点共线时，取得最小值，利用三角形相似求出此时的值即可． 【详解】解：∵图象过点， 即当时，点与重合，点与重合， 此时， 为等腰直角三角形， ， 过点作于点，过点作，并使得，连接NE， 如图所示： ，， ， ， 又， ， 当、、三点共线时，取得最小值，如图所示，此时： ，， ， 又， ， 即， 解得：， 图象最低点的横坐标为：． 故答案为：1，． 点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，通过分析动点位置结合函数图象推出、的长再通过构造三角形全等找到最小值是解决本题的关键． 三．解答题（共11小题） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； 熟练掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解：原方程可化为： ∴原方程的解为：， 18. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和的值． 【答案】的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，将代入原方程得：，进而设另一个根为，根据根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：将代入原方程得： 设另一个根为，则， 解得：， ∴的值为，方程的另一个根为． 19. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示： （1）这名学生上周阅读时间的众数为___________小时，中位数为___________小时； （2）求这名学生上周在家阅读的平均时长？ 【答案】（1），； （2）小时． 【解析】 【分析】()利用众数及中位数的定义确定答案即可； ()利用平均数的计算方法求得答案即可； 本题考查了统计的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 ∵名学生中阅读时间为小时的有人，最多， ∴众数为小时， 中位数为第和第名学生阅读的平均数，即小时， 故答案为：，； 【小问2详解】 名学生上周在家阅读的平均时长小时， 答：名学生上周在家阅读的平均时长为小时． 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， 小明和小张在同一区域观看比赛的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程两根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得，，结合，可得出，即可得出的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 的取值范围为； 【小问2详解】 ， ∴，， ， ∴， ∴， ∴ 解得：． 22. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）这个二次函数的顶点坐标为______； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】()根据抛物线的对称性求得对称轴，进一步即可求得顶点坐标； ()根据表格数据即可求解； ()根据表格中的数据，可以得到二次函数图象过点，，进而即可求得不等式 的解集； 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 由抛物线的对称性得，对称轴为直线 ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵时，，时，， ∴当时，的取值范围是 ； 【小问3详解】 由表格可得，当时，函数有最小值， ∴抛物线开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象过点，， ∴关于的不等式的解集为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交于点A，与y轴交于点C，以原点O，点A，点C为顶点在第一象限内作矩形． （1）点B坐标为 ； （2）连接矩形对角线，交于点D，若将抛物线向下平移k个单位，使得平移后的抛物线经过点D，求k的值； （3）若将矩形向左平移m个单位，边与分别与抛物线交于点Q、点P，若点Q纵坐标是点P纵坐标的倍，求m的值． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、矩形的性质等． （1）对于，当时，，即点，令，则或2，则点，即可求解； （2）平移后的抛物线为：，将点的坐标代入得：，即可求解； （3）由题意得，点、的坐标分别为：、，将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：对于，当时，，即点，则， 令，则或2，则点，， ∵矩形， ∴，， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线为：， 四边形为矩形，则点是的中点，，， ∴点， 将点的坐标代入得：， 解得：； 小问3详解】 解：∵将矩形向左平移m个单位，边与分别与抛物线交于点Q、点P， ∴点、的横坐标分别为：、， ∵点Q纵坐标是点P纵坐标的倍，设的纵坐标为， ∴点、的坐标分别为：、， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： 且， 解得：或， ∵， ∴． 24. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： 【小问2详解】 解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键. 25. 某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元个．设第天的销售价格为（元个），销售量为（个．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律： ①与的关系式为；②与的关系式为． （1）求第10天的日销售利润； （2）当时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个，求k的值． 【答案】（1）第10天的日销售利润为3200元 （2）第34天的销售利润最大，最大利润为4400元 （3）k的值为5.3 【解析】 【分析】（1）求出第10天的售价和销售量，再用单个利润销售量即可； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）先根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再分，，三种情况，用函数的性质求函数取得最小值时的值． 【小问1详解】 解：当时，，， 纯利润， 答：第10天的日销售利润为3200元； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 故当时，元， 答：第34天的销售利润最大，最大利润为4400元； 【小问3详解】 解：根据题意得，， ，抛物线开口向下， 对称轴， 第30天到第40天的日销售利润（元）的最小值为5460元， ①当时，即对称轴为，的最小值在或处取得， ， 故不合题意； ②当时，对称轴， 则当时，取最小值， ， ，与矛盾， 不符合题意； ③当时，对称轴， 当时有最小值， ， 解得，符合题意， 的值为5.3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是常将最大销售利润的问题利用函数的增减性来解答，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 26. “距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知，是平面直角坐标系内的两点，我们将称作，间的“型距离”，记作，即．已知二次函数的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标分别为，，点C在直线上运动，且满足． （1）求； （2）求抛物线的表达式； （3）已知是该坐标系内的一个一次函数．若D，E是图象上的两个动点，且，求面积的最大值． 【答案】（1）5 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）根据题干中对于“L型距离”的定义，即可求解； （2）根据二次函数经过点A、B、C三点，所以只要求出C点坐标即可：根据点C在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出m的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式； （3）根据的一边长度固定等于4，所以只要求出顶点C到的最大距离即可：由所在的直线过固定点，故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点C到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵点C在直线上运动， ∴设点，且 由平面上两点间距离，利用勾股定理得： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵二次函数的图像经过， ∴设 ∴代入解析式得： 解方程组得： ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 ∵ 令时， ∴直线恒过定点 ∴直线的图像是绕点旋转的直线， ∴当直线时，点C到的距离最大，面积也最大，即， ∵， ∴面积最大值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】()用待定系数法求出函数解析式即可； ()由得 ，则 ，用待定系 数法求出直线的解析式，过点作 轴于，交于，设，则，利用面积法即可得出结论； ()连接，可得，则 ，过作轴于，根 据平行线分线断成比例求出，可得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为，设直线的解析式为，由点求出的值，联立即可 得点坐标； 本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质，三角形的面积、平行线分线断成比例定理等知识点，数形结合熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 分别将、、代入中得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 不存在点，使得， 理由如下： ∵ ， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴于，交于， 设，则， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在点，使得； 【小问3详解】 连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 过作轴于， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵ ， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$