精品解析：北京鲁迅中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

北京市鲁迅中学 2024-2025学年第一学期期中测试 高三数学 2024.10 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟. 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，那么 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 36 7. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数是 A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 9. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________________ 12. 边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______． 13. 设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________． 14. 如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求函数的值域. （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围. 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求的取值范围； （3）试比较与的大小，并说明理由． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市鲁迅中学 2024-2025学年第一学期期中测试 高三数学 2024.10 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟. 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}， B＝{x|x2≤5}＝{x|}， ∴A∩B＝{﹣2，0，2}． 故选B． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 6. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 7. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】因为定义域为，， 所以为奇函数，且为上的增函数. 当时，，所以， 即“”是“”的充分条件， 当时，，由的单调性知， ，即， 所以“”是“”成立的必要条件. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 8. 函数是 A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 9. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】法1：每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 法2：考虑所有边长为5的勾股数，每次正向的位移之和最大为7， 从到的正向的位移，故移动的次数大于， 考虑下面的移动：，4次，4次，则可从从到. 故最小次. 故选：B. 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案. 【详解】根据题意，可知，解得，故定义域为. 【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础. 12. 边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 在正方形ABCD中，，，， 则， ∴． 故答案为：2． 13. 设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________． 【答案】 ①. ②. ##15.5 【解析】 【分析】由等比数列通项公式可求出从而求出,再代入等比数列前项和公式即可求出. 【详解】由,又因为,所以; 所以； 故答案为: 8； . 14. 如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得，，，代入点，可得. 【详解】由图像可知最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 即，解得， 又由已知可得，即， 且，所以， 所以函数解析式为， 又函数图像经过点， 代入得， 所以 解得，， 所以的一个可能取值为（答案不唯一）， 故答案为：，（答案不唯一）. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④. 【详解】对①，当时，， 当时，，当时，， 综上，的最小值为，①正确； 对②，，， 当时，， 当时，若，；若，， 如时，，函数不存在最小值，②错误； 对③，当时，最多一个解， 得或， 如时，，由可得(舍去)， 由得或，故此时两个零点，即； 如时，，由可得， 由得或，故此时三个零点，即； 当时，，由可得， 由得，故此时一个零点，即； 当时，，时，，无解， 时，，无解， 此时没有零点，即. 综上，的值域为，故③正确； 对④，当时，如时，， ，，，此时，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， ， 因为，所以， 且，所以或. 【小问2详解】 由（1）可知或，且，，所以 即，由余弦定理可得，， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以的面积为或. 17. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间； （2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值. 【小问1详解】 ， 由题意得，解得， ，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中， 故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求函数的值域. （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期，整体法得到函数单调递增区间； （2）在（1）基础上，得到，求出； （3）转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案. 【小问1详解】 ， 的最小正周期， 令，， 解得， 故单调递增区为，； 【小问2详解】 ，， 故，， 故函数值域为； 【小问3详解】 函数， 即，， 故在上有且仅有两个零点， 等价于在上有且仅有两个解， ，， 要想在上有且仅有两个解， 则，解得， 故m的取值范围为. 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 【答案】（1） （2）直线与直线不垂直，理由如下： 在三角形中，由余弦定理得， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， 直线与直线不垂直，理由如下： , 所以直线与直线不垂直. 【解析】 【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后根据向量法进行判断. 【小问1详解】 依题意，，，， 所以， ，所以， 在三角形中，由正弦定理得， 在三角形中，由余弦定理得. 【小问2详解】 略 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求的取值范围； （3）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解； （3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解. 【小问1详解】 当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率，又， 所以曲线在点处切线的方程为即. 【小问2详解】 在区间上恒成立，即，对， 即，对， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减， 符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减， 符合题意， 若即时，，对称轴，又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，在区间上恒成立， 即，对， 取代入上式得，化简得. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $