精品解析：上海外国语大学闵行外国语中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷

上闵外2024学年度第一学期八年级期中考试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 注意：①本次考试不允许使用计算器；②请用水笔答题；③不允许使用修正液或修正带；④请将答案写在答题纸上． 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数，那么它的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 4. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 已知函数f（x）=，那么f（6）=_____． 8. 已知函数是正比例函数，则_____________． 9. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______． 10. 在实数范围内分解因式：________． 11. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________． 12. 某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程________． 13. 如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是________． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 15. 已知三点和在反比例函数的图象上，则的大小关系是_________．（用“”连接）． 16. 如果等腰三角形的周长等于20，写出底边长与腰长的函数关系式及定义域_________． 17. 已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为_____． 18. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为____________． 三．解答题（共8小题，满分58分） 19. 按照下列不同方法解方程． （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 20. 如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 21. 已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 22. 小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长________千米； （2）小杰下坡的速度为________千米/分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 23. 某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 24. 已知如下三个正比例函数：，，． （1）当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； （2）如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 25. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． （1）则_________，_________； （2）关于的不等式的解集是_________； （3）四边形的面积_________； （4）在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上闵外2024学年度第一学期八年级期中考试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 注意：①本次考试不允许使用计算器；②请用水笔答题；③不允许使用修正液或修正带；④请将答案写在答题纸上． 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，不是整式方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，故此选项不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D. 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 3. 已知正比例函数，那么它的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 4. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：根据一次函数的图象可知y随x的增大而减小，故①正确； 因为一次函数的图象与x轴的交点坐标为，关于x的方程的解为，故②正确； 因为一次函数的图象与x轴的交点坐标为，结合图象可知关于x的不等式的解集是，故③错误； 因为一次函数的图象与y轴的交点在y轴负半轴上，所以，故④正确； 故正确的有①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系；掌握数形结合思想是解决此题的关键． 5. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 6. 如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点B作BE⊥x轴于E，根据对称性可以得到，从而推出，再由三线合一定理得到CE=OE，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于E， ∵A、B都在反比例函数图象上，且AB经过原点， ∴， ∴， ∵BC=BO，BE⊥OC， ∴CE=OE， ∴， ∴． 故选C． . 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的对称性，三线合一定理等等，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 已知函数f（x）=，那么f（6）=_____． 【答案】 【解析】 【分析】将x=6代入计算即可． 【详解】把x=6代入，得f（x）===， 故答案为 【点睛】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 8. 已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 9. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点的横纵坐标的积相等，等于反比例函数的系数解答． 【详解】解：点、在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象上点的横纵坐标的积都等于反比例函数的系数，是解决本题的关键． 10. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义，根据根的情况，列式，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故答案为： 12. 某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 13. 如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据时，y的值随x的值的增大而增大，得到，求解即可．掌握反比例函数的增减性，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 已知三点和在反比例函数的图象上，则的大小关系是_________．（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的图象与性质比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键．由知，在第一象限、第三象限，随着的增大而减小，第一象限内，第三象限内，根据，，可得，，然后作答即可． 【详解】解：∵，， ∴在第一象限、第三象限，随着的增大而减小，第一象限内，第三象限内， ∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如果等腰三角形的周长等于20，写出底边长与腰长的函数关系式及定义域_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，一元一次不等式组的解法，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式． 【详解】解：由题意得： 可得：， ∵， 解得：， 故答案为：． 17. 已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为4时，当底边长为4时，两种情况根据根与系数和判别式求出方程的两个根，进而确定等腰三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y， ∴， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为；或． 18. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分58分） 19. 按照下列不同方法解方程． （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法及解法步骤是关键； （1）先计算，再利用公式法解方程即可； （2）把方程化为：可得两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 20. 如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】 方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∵，整理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元一次方程的定义，得到，将整理为一元二次方程的一般形式，求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】略 21. 已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当时；当时，，代入，即可求解． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 22. 小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长________千米； （2）小杰下坡的速度为________千米/分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查函数图象的实际应用． （1）结合图象得到下坡长为千米，作答即可； （2）利用路程除以时间进行求解即可； （3）先求出上坡和下坡的速度，利用路程除以速度进行求解即可． 从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，分钟所走的路程为下坡路长， ∴下坡路长千米， 故答案为：3； 【小问2详解】 千米/分钟； 故答案为：； 【小问3详解】 由图象可知，上坡速度为：千米/分钟； ∴从公园骑车到家用的时间是分钟； 故答案为：． 23. 某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 24. 已知如下三个正比例函数：，，． （1）当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； （2）如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案； （2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； 【小问2详解】 解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 综上：． 25. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． （1）则_________，_________； （2）关于的不等式的解集是_________； （3）四边形的面积_________； （4）在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3， （2） （3） （4），，， 【解析】 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； 【小问3详解】 解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； 【小问4详解】 当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 26. 如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∴点Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题， 反比例函数与坐标轴围成面积， 反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $