甘肃省环县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

环县一中2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.题序含A:空间向量与立体几何，题序含B:数列（考生任选一种作答）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 如 合题目要求的。 和 1A.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1,2)关于y轴对称点的坐标为 A.(1,1,-2) B.(-1,1,-2) C.(-1,1,2) D.(1,-1,2) a长 1B数列是，号·号，号…的-个通项公式可以是 A.a,=2n1 2n B.a,-2n+1 2n C.a,=2n-1 D.a,=2n+1 2 2.已知直线L过点A(3,-2),B(2,m),且直线1的方向向量为(1，-1)，则m的值为 A.-1 B.1 c-2 D号 3A已知向量n=(4,1,2),点A(-1,2,1),B(2,5,t),且AB∥n,则s十t= A号 B号 c号 D4 3B.在等差数列{a,}中，已知a1=2,公差d=3,an=32,则n等于 A.8 B.9 C.10 D.11 4.若方程x2+y2-4x十2y=a表示圆，则实数a的取值范围为 A.(-∞，-5) B.(-5,+∞) C.(-∞，0) D.(0,+∞) 5A.如图，空间四边形OABC中，OA=a,O=b,OC=c,且OM=2MA, BN=NC,则向量MN= A号a+号+0 B.zatzb-ge C- 3a+ Da-号b+c 5B.数列{an}是等比数列，若a2、a的等差中项为4，a5、ag的等差中项为8√2，则{an}的公比为 A.2 B.4 C.2 D.22 【高二第一学期期中考试·数学卷第1页（共6页）】 5108B 6A.已知向量OA=(0,1,2,0i=(-1,0,1),0C=(2,1,1),若0，A,B,C共面，则O心在0i上 的投影向量的模为 A.2 C26 5 6B.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用a.表示解下n(m≤9， 2a。-1一1(n为偶数) n∈N~)个圆环所需移动的最少次数，{an}满足a1=l,且an= 2an1十2(n为奇数) ,则解下 4个圆环最少移动的次数为 A.7 B.14 C.5 D.16 7三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的 泰勒圆，已知点A(0,0),B(2,0),C(1,W3),则△ABC的泰勒圆的标准方程为 A.(x-1D+(g-3)=4 Bx-2+0g-Br=号 c(x-1+-= 3 D.x-2+y-9r-是 符 8.已知点A(-2,3)、B(3,2),过点P(0,-2)的直线1与线段AB有公共点，若点Q(m,3)在直 线1上，则实数m的取值范围为 A.(-∞，-2]U[,+∞) B[-5-2 c[-2,] D[2,9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.经过点P(1,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线可以是 A.y=x B.x+y-2=0 C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=0 10.已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x十4)2+(y-2)2=1上的动点，A 为x轴上的动点，则1AP|+|AQ|的值不可能是 A.7 A,B.8 C.55-3 D.5√5-2 11A如图，已知正方体ABCD-A1BCD的边长为2，E、F,G、H分别为CC、BC、CD,BB, 的中点，则下列结论正确的是 C A.B1G⊥EF B.AH∥平面AEF C.二面角E-AF一C的大小为于 D.点B1到平面AEF的距离为2 B 11B.已知数列{a.}满足a1=3,a+1=1一，记数列a,的前n项和为S,则下列结论错误的是 A=号 B.Sawt1-San-- C.anantan+2=-1 D.Sis=21 【高二第一学期期中考试，数学卷第2页（共6页）】 5108B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线3x十2y-3=0和6.x+my十1=0互相平行，则它们之间的距离是 13A,已知P是棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,内（含正方体表面）任意一点，则AP.AC 的最大值为 f(1-5a)n+19a,n≤4 13B.已知数列{an}满足an ,若n∈N·,at1<an恒成立，则a的取值 2a"-3+3,n>4 范围是 14.若圆C1:(x+1)2+(y-2)2=2(r>0)上恰有2个点到直线l:4x一3y-10=0的距离为1， 则实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)已知点A(2,4)、B(-3,2),求线段AB的垂直平分线的方程； (2)已知直线4的斜率为2，直线，的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线4的斜率 16A.(本小题满分15分)》 如图，已知平行六面体ABCD-A1B,CD,中，2AD=AA1=AB=2,∠AAB=∠DAB= ZDAA=60,AICI=3 NCI,D B=4 MB. (1)证明：AC⊥BD1: (2)求MN的长度. D 16B.(本小题满分15分) 在前n项和为Sm的等差数列{a.}中，a1十a4=2a2一2，S=48. (1)求数列{an}的首项和公差； (2)当an≥5时，求n的最大值. 【高二第一学期期中考试·数学卷第3页（共6页）】 5108B ]7A.(木小题满分15分) 在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,E,F分别为BB1CC 的中点 (1)求直线AE与A,F所成角的大小； (2)判断直线A,F与平面ABF的关系. e34的 ,17 少雪限生实盈出奇或身尽4方 生 X理人大，3，江 出专冷的方大证 17B.(本小题满分15分) 已知数列{a.}满足a1=1,a+1=3(n十1)am (1)设6.=%，求证：数列.}是等比数列： (2)求数列{an}的前n项和Sm: 定与当净 1上1付面+浮项智同 1间，度，三f0 ,(W'1 边身喻7行 大中 【高二第-一学期期中考试·数学卷第4页（共6页）】 510815 18A.(本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，PDL底面ABCD,∠BAD=∠CDA=9O,AD= AB=1,CD=2,E为PA的中点. (1)证明：平面PBD⊥平面BCE; (2)若二面角P-BC-E的余弦值为32 ,求PD的长 边中两民向一年 ,9:,,。人腰，提形 111】2 多州理大的，上 18B.(本小题满分17分) 设正项数列{an}的前n项之和b。=a1十a2十…十an,数列{b.}的前n项之积cn=bb2bn, 且bn+cn=1 、武音，伦1共念重小国圆小其强本圆朝数， (1)求证：合)为等差数列，并分别求{a、6,的通项公式：.代领敏确全无 (2)设数列a。·6+1的前n项和为S,不等式S>十以一号对任意正整数n恒成立，求 ,W腰P,号与 正实数入的取值范围。 2, 国.酵 爱 靠 【高二第一学期期中考试·数学卷第5页（共6页】 5108B .(本小题满分17分) 已知圆M过点（一号号）且与圆N+8x十-1=0为同圆心，圆N与y轴负半轴交于 点C 1若直线y-号x十m被圆M截得的张长为，求m的值： (2)设直线L:y=kx+3与圆M交于点A,B,记A(x,y),B(x,),若x1x十(1+1)· (y2十1)=12，求k的值. 特e秋分4光。11 卡织学动你计1小化层1中物客心罗示理多业 。十g共1 效天客补过习之来动左含.交公州三许国学出作内国 立u出”，。风色学在白 温面一序只的哪：公一州长共空”明小。要小共雅水氢款一 好米正日家 ,11 。,1= 孕师公以鱼个一特景。·理 出0的.一，政是西向式阳直闭5一通上份 1m.11,,,)人， 【高二第一学期期中考试·数学卷第6页（共6页）】 5108B环县一中2024~2025学年度第一学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 题号 2 3 1 答案 B B C A D D C C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的 得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 题号 。 10 11 答案 AB AB ABD 1A.B 纵坐标不变,横坐标、竖坐标变为相反数. 1B.B 分母2,4,6,8是序号n的2倍,分母加1是分子,故选B 2.D由题可得m-(-2)_-1.解得- 3 3A.D 一1 3B.D 2+3(n-1)-32,3n-33.-11. $A.C因为M--o#V#,又#--#.N-(B+)-(+)#,所M--a+# 4.B 由D+E-4F0得4*+2-4X(-a)>0,得a-5 6A.A 因为O.A,B.C共面,所以存在实数x,y,使得OC-xOA+yOB,即(2.1.a)-(-y,x,2x十y),所以x -1,y--2,a-0,OC在OB上的投影向量的模为-( 6 B.A 由条件可得a-2a -1-1,a-2a+2-4,a-2a-1-7,所以解下4个圆环需最少移动7次. 3 2 8.C 1与AP重合时,n取最小值-2,所以m的取值范围是[-2,15. 9.AB 当直线在两坐标轴上的截距为0时,设直线方程为y一hx,则1一k,所以y一x;当直线在两坐标轴上的 截距不为0时,设直线方程为-+-1,把P(1,1)代入直线方程得1+1=1,解得a-2,所以直线方程为 ) x+y-2一0.故满足条件的直线方程为y=x或x十y-2-0.故选AB 10.AB 如图,作圆N关于x轴对称的圆G,则圆G:(x十4)十(y十2)-1. 所以|AP+|AQ|AM-2+AN-1 【高二第一学期期中考试·数学参考答案 第1页(共5页)】 5108B =|AM|+AG -3MG-3- (6+4)^+(3+2 -3=5 -3, 当且仅当M,A.G三点共线时,等号成立. 则 APl+|AQ的最小值为5v5-3,故选AB C 第10题图 第11A题图 11A.ABD. 以D为原点,DA所在直线为:轴,DC所在直线为y轴,DD,所在直线为;轴,建立如图所示的空 间直角坐标系: 则A(2.0.0).B(2.2.0).C(0.2,0).E(0.2.1) G(0.1.0),A.(2.0,2).H(2,2,1),F(1,2.0),B(2,2,2). B G-(-2,-1,-2),F-(1,0,-1). .BG.EF--2+2-0..'.BG1EF,A项正确; A-(0.2.-1)A-(-1,2.0). nA-0 设n一(x,y,z)为平面AEF的一个法向量,则 ln.E-o' 即 1-x十2y-0 ,令y-1,得x-2,-2,则n-(2,1,2). --0 :AH·n-2-2-0...AH/平面AEF,则B项正确; 由图可知,BB;1平面AFC,所以BB=(0.0,2)是平面AFC的一个法向量,则cos(BB,n) B·n_ |BB|·= BA·n 10-2-4-2.D项正确:故选ABD. B.到平面AEF的距离为d一{ n 3 11B. ABD因为a-3,a--1-1,所以a-1-1-1-1-2. d d 202t-二 d□ □_ì a_-1 a-1 a-1 所以aan1a-a.-1.-1 。--1故C正确; 选ABD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 11(-3) 12.713 713 易知n一4,两平行直线间的距离为: 26 ③十2 26 13A.2 由题意画出图形,如图所示,因为AP·AC=AP·AClcos(AP,AC),且AP|·cos(AP,AC)是向 【高二第一学期期中考试·数学参考答案 第2页(共5页)】 5108B 量AP在AC上的投影,所以当P在梭CC上时,投影最大,所以AP·AC的最大值为AC}=(/1*+1^) -2. /4-3-15-0 4r310-o 第13A题图 第14题图 131B.() (1-5a<0 因为a-<a。恒成立,所以数列a是递减数列,所以 30a1,即 a>a (1-5~0 #解得## 0<1 4(1-5a)+19a>2a?+3 14.(3,5)如图所示. 设与直线/平行且与直线/之间的距离为1的直线方程为4x一3y十c-0. 4十(-3)* 圆心C(-1,2)到直线4.x-3y-5-0的距离为dl-1-4-6-51 _-3. 4十(-3){} 圆C(-1,2)到直线4.x-3y-15-0的距离为d-1-4-6-15 _-5. 4十(一3){} 由图可知,圆C与直线4x-3y-5-0相交,与直线4.x-3y-15-0相离 所以drd,即35. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 .............................................. .......................... 则线段AB的垂直平分线的方程为y一3一一 .......................6分 (2)设直线/.的倾斜角为a,则直线l。的倾斜角为2a 由已知得tana-,则直线l。的斜率为tan2a- 2tan_4 1-tan{g .................... 3. 16A.设AB-a.AD-b.AA-c. (1)证明:AC-a+b,BD-bc-a. .$ AD-AA =AB-2, AAB- DAB= DAA =60,'.a·b-1,a·c=2,b·=1 .AC·BD=(a+b)·(b+c-a)-a·b+a·c-a·a+b·bb·c-a·b-o, .AC.... .............分. (2)解:MN-MD+DA+A.N -3DB-AD+2AC--3(DD+DB)-AD+(AB+AD)-3-3(a-b)-b+(a+b) .MN的长度为1M1-37. 【高二第一学期期中考试·数学参考答案 第3页(共5页)】 5108B a+(a+3d)-2(a+d)-2 ,解得 fa-18 16B.解;(1)设数列a。)的公差为d,由题意有; ........... 3a+3d-48 --2' 故数列..首....为................................................分. (2)由(1)知a.=18-2(n-1)=20-2n,由a=5,得20-2n→5v15. .15 又nN..则n的最大值为.7............................. 17A.解:(1)由题意可知,AB、AC、AA.两两垂直,分别以AB、AC、AA方向上的单位向量为正交基底建立空间 直角坐标系A-xys,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,4),E(2,0,2),F(0,2,2).·AE-(2,0. (2)由(1)可得AF-(0,2,2),AB-(2,0.0). $AF.AF=0+4-4=0.AF·AB-0.'AFIA.F.AF AB .AFO.B....B平......F..平..... ............................. 15分 因为b.-a-,则b=3。,b=1,可得(b.)是首项为1,公比为3的等比数列. .........................6分 (2)由(1)知b.-3--,由-3-1,可得a.-n·3-1. 77 S.-1·3+2·3+3·3+.+n·3-1. 3S.-1·3+2·3+3·3+...+n·3. 上面两式相减可得; -2S.-30+3+32+.+3--1-·3--1-3- 一n.3”. 1-3 (2n-1)31 则S二 ...................................................................................... 15分 4 18A.(1)证明:因为PD|底面ABCD,BCC底面ABCD. 所以P.... .............................................................................................. 1分 因为 BAD- CDA=90*,AD-AB-1,所以BD-/② 取CD的中点F,则BF|CD,BF=CF-1,所以BC-/② 由CD三...B. B.c..以.. ...........................4分.. 因为PDOBD-D,所以BC1平面PBD. 因为.C平面.C.,所以平面PBD.平面.CE...........................................................6分 (2)解:由(1)及条件可知,PD.AD.DC两两垂直. 以D为坐标原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,;轴建立空间直角坐标系D一xy,如图所示 .............'分. 则B(1:1.0).C(0.2.0),所以BC-(-1:1.0). △x 设P(o,0,a)(a→0),则E(,o,),所以BE-(-.-1),pB (1.....)................................. ................... 设平面BCE的一个法向量为m一(x,y,). BC·n-0. (一x1十:=0. 由.m一0 得一 2x-+-0 取n-(a,a,③). 设平面BCP的一个法向量为n一(x,y,), n一得 (-x十-0. 由 P.-0. 取n-(a,a.2). .................................. ... r+-a-0. 22十6 -26 所以cosn,n一 2a?+9·/2a十4 【高二第一学期期中考试·数学参考答案 第4页(共5页)】 5108B __ 令2^{②+十4=,则【+2 2v6 ,整理得*-20+100-0. V·Vt+5 5 解得(-10. 由2a^{}+4-10,解得a- 3(负值舍去).即PD-/3. ..................................分 18B.解:(1.)是意知当n2时,.,代入.+-. 1.+ 。, 1...........2分 C- C__) 所以-1-1. ...........................................................分 CC~1 由 .得-C一 b十c-1 .............................................................................4分 所以(一)是以2为首项,1为公差的等差数列, ...................................分... Cit -10一1-0-. 1 Ct 当n2时,an-6.-b--nn-11 n十1 7 n(n十1)' .n十1 1. nn+1).n+2n(n+2)' .................................分 1 所以S一 1 11_ 11 -3+24+3- -11+ 5 72 一。 显然(S.)单调递增,所以S.>S-1 ....................................... .分. 3 由题意得士+)#-3<,即+ -6~3 2 又...所.....值...........................................17分 19.解:(1)圆N的圆心为(-4,0),故可设圆M的方程为(x十4)^{}十一^}; *圆M的标准方程为(x士4){}士v-1. .........................................................................分 :直线_ 3m被圆M截得的弦长为/3. .M到直线y- .3或-53 (x十4)+2-1 →(1+)r+(6+8)x+24=0,设A(x.y),B(x,y). (2)联立方程 ........10分 -x+3 62十8 24 则x十x。-- ....................... .... 1{. xr+(y+1)(+1)=(1+2)xx+4(x+x)+16-24 4(6+8) 1十2 。+16-12. 解得-1或b-7. 但-7不满足(*)...-1. .......................................分. 【高二第一学期期中考试·数学参考答案 第5页(共5页)】 5108B