第十一章 三角形 导角基本模型（二）余补角模型及应用 专项练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 导角基本模型（二）余补角模型及应用 【模型介绍】 互余模型：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)如图1,CD⊥AB于点D,则有:∠1=∠B,∠2=∠A; (2)如图2,E为BC延长线上一点,ED⊥AB于点D,交AC于点F,则有:∠1=∠2=∠B,∠A=∠E; (3)如图3,E为CB延长线上一点,∠ABD=∠BED=∠C=90°,则有∠1=∠D,∠2=∠A. 互补模型:如图4,在四边形ABCD中,点E为BA延长线上一点,若∠B+∠D=180°,则有 ∠DAE=∠C. 【题型剖析】 1.如图，在中，于点 ，于点，和 交于点 ，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 2.湖南长沙期中，中如图，在直角三角形中，，，，，，则图中与除外相等的角的个数是  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.如图，已知中，，为边上的高，的平分线分别交、于点、，则下列结论正确的是(    ) ； ； ； 与互余． A. B. C. D. 4.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与一定相等的角是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，中，，于，若，则           ． 7.如图，在中，，点在上，于点，交于点若，则          ． 8.如图，在中，，，，，则________ 9.如图，将三角尺和三角尺摆放在一起，使得点、、、在同一条直线上，交于点，那么度数等于          ． 10.如图，在中，，分别是的高和角平分线． 若，，求的度数 与有怎样的数量关系写出结论并加以证明． 11.如图所示，在中，，，为上一点，且于点． 试探索与，的大小关系． 如图所示，当点在的延长线上时，其他条件都不变，你在中探索得到的结论是否还成立？并说明理由． 12.如图，在中，是边上的高，平分，、相交于点，若求证：． 13.在中，，，是射线上一动点与，点不重合，连接过点作于点，交直线于点，设． 若点在线段上，且，如图，直接写出的大小； 若点在线段上运动，如图，求的大小用含的式子表示； 若点在的延长线上运动，且，直接写出的大小用含的式子表示． 14.如图，在内，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 15.如图，已知在中，，，是的角平分线，是的边上的高，求的度数． 16.本小题分 如图中，平分交于点，于，且． 如图，锐角，，，则 ______度； 如图，，，，则 ______；用含、代数式表示 如图，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则中的结论还成立吗？说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 导角基本模型（一）8字模型及应用 【模型介绍】 互余模型：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)如图1,CD⊥AB于点D,则有:∠1=∠B,∠2=∠A; (2)如图2,E为BC延长线上一点,ED⊥AB于点D,交AC于点F,则有:∠1=∠2=∠B,∠A=∠E; (3)如图3,E为CB延长线上一点,∠ABD=∠BED=∠C=90°,则有∠1=∠D,∠2=∠A. 互补模型:如图4,在四边形ABCD中,点E为BA延长线上一点,若∠B+∠D=180°,则有 ∠DAE=∠C. 【题型剖析】 1.如图，在中，于点 ，于点，和 交于点 ，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：  ，  ，   ，   ，   ，   ，故A、B正确； 由三角形外角的性质可知  ，故D正确； 题干中并未给出  ，所以无法得出  ；故C错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键． 2.湖南长沙期中，中如图，在直角三角形中，，，，，，则图中与除外相等的角的个数是  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等进行等量代换即可找出与相等的角． 【解答】，，，，，，同理，，，，题图中与除外相等的角的个数是个，故选A． 3.如图，已知中，，为边上的高，的平分线分别交、于点、，则下列结论正确的是(    ) ； ； ； 与互余． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：平分， ， ，为边上的高， ，， ， ，， ， 所以正确； 若， 由可知：， ， ， ， 即只有当时，，而已知没有这个条件，故错误； ，， ，故正确； ，， ， 即：与互余，故正确． 故选：． 利用外角的性质可得，，由角平分线的性质可得：，由同角的余角相等可得：，进而可得； 采用假设分析法，若，由可知：，进而，然后由直角三角形两锐角互余可得，即只有当时，而已知没有这个条件； 由同角的余角相等可得：； 由，与互余，可得与互余． 本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，三角形外角性质，同角的余角相等的性质． 4.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与一定相等的角是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：． 根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 本题考查直角三角形的性质、余角的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等是解题的关键． 5.如图，点，分别在线段，上，于点，于点，若，则图中与互余的角有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查的是垂线的定义，余角，平行线的判定和性质，直角三角形的性质的有关知识，先判定出，，然后利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质解答即可． 【解答】解：于点，于点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， 与互余的角为，，，共个 6.如图，中，，于，若，则           ． 【答案】  【解析】解：， 设，， ，， ， ， ， 于，即， ， 故答案为：． 本题主要考查了外角的性质，直角三角形两锐角互余两个定理． 7.如图，在中，，点在上，于点，交于点若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】利用等角的余角相等和已知角可求出的数，从而可求得的度数． 【详解】解：于，于， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键． 8.如图，在中，，，，，则________ 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形的性质以及邻补角的定义． 由垂直可知，与互余，与互余，又，则，由邻补角定义知，由图可知，，从而求出的度数． 【解答】 解：，， 与互余，与互余， ， ， 于， ． 故答案为． 9.如图，将三角尺和三角尺摆放在一起，使得点、、、在同一条直线上，交于点，那么度数等于          ． 【答案】．  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，以及对顶角的性质，正确求得的度数是关键． 利用直角三角形的两个锐角互余求得与的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得，再依据对顶角相等即可求解． 【解答】 解：直角中，， 同理，， ， ． 故答案为：． 10.如图，在中，，分别是的高和角平分线． 若，，求的度数 与有怎样的数量关系写出结论并加以证明． 【答案】解：，， ， 是的高， ， 是的角平分线， ， ； ． 理由如下：在中，， 是的高， ， 是的角平分线， ， ， ．  【解析】根据三角形的内角和定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可得解； 把中角的度数改为角整理即可得解． 本题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，高线的定义，熟记定理以及概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 11.如图所示，在中，，，为上一点，且于点． 试探索与，的大小关系． 如图所示，当点在的延长线上时，其他条件都不变，你在中探索得到的结论是否还成立？并说明理由． 【答案】解：如图所示，过点作于点，则，， ， C. ， ， ， ． ，即 如图所示，过点作于，则， ， ， ， ， ， 又，对顶角相等， ， ．   【解析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 过点作于点，则，故，根据直角三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可知，根据可知，，再根据即可得出结论 过点作于，根据直角三角形两锐角互余表示出，根据角平分线的定义可得，再表示出，然后根据三角形的内角和定理可得． 12.本小题分 如图，在中，是边上的高，平分，、相交于点，若求证：． 【答案】证明：在中，是高，， ，， ， ； 是角平分线， ， ，， ，， ， ， ， 即．  【解析】根据题意可以求得的度数，再根据直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立． 本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 13.本小题分 在中，，，是射线上一动点与，点不重合，连接过点作于点，交直线于点，设． 若点在线段上，且，如图，直接写出的大小； 若点在线段上运动，如图，求的大小用含的式子表示； 若点在的延长线上运动，且，直接写出的大小用含的式子表示． 【答案】解：， ，， 则，， ， ， ， ， ， 或．  【解析】【分析】 本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关键． 【解答】 ，，， 则，， ， 见答案； 如图，当时， 中，，， ， ， ， ， 如图，当时， ， 综上，为或． 14.本小题分 如图，在内，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 【答案】解：平分， ， ， ， 是边上的高， ， 则在中，， ，， ．   【解析】先根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形的性质求出的度数，然后根据角的和差计算即可． 本题考查了角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题关键． 15.本小题分 如图，已知在中，，，是的角平分线，是的边上的高，求的度数． 【答案】解：，， ， 平分， ， 是的边上的高， ， ．  【解析】先根据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，利用高线得到，然后根据互余计算的度数． 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是也考查了三角形高线的定义． 16.本小题分 如图中，平分交于点，于，且． 如图，锐角，，，则 ______度； 如图，，，，则 ______；用含、代数式表示 如图，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】   【解析】解：中，，， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 中，，， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 中的结论成立，理由如下： 中，，， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， ． 根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数． 根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数； 根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质得到的度数，最后利用直角三角形的内角和即可得到的度数． 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$