广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题押题卷

广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题押题卷（问卷） （本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、姓名、座位号及准考证号，并用2B铅笔填涂准考证号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束将问卷与答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 3. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人生肖相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪。 4. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 5. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，交于点F．，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 7. 学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（　　） A．6min B．7min C．8min D．10min 8. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 9.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A． B．1 C． D． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，3），点B的坐标是（4，），若点A与点B关于原点O对称，则=_____． 12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度． 13. 如图，AC=BD，AC⊥BD于点E，若⊙O的半径为3，则AD的长为 14. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为，则__________． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 16. 如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④。正确的有______________． 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. （本小题4分）解方程：． 18. （本小题4分）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； 19.（本小题6分）为纪念建国75周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）九（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率． 20. （本小题6分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 21. （本小题8分）如图，是的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，．求证：直线是的切线． 22. （本小题10分）如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 23. （本小题10分）如图，在梯形ABCD中，，过AC和BD的交点O作交AD于点M，交BC于点N （1）猜想：OM______ON（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）求证：． 24. （本小题12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 25. （本小题12分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD． （1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论； （2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF； （3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市花都区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题押题卷（解析版） （本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室号、姓名、座位号及准考证号，并用2B铅笔填涂准考证号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束将问卷与答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； 故选B. 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【详解】 解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 3. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．13个人中至少有两个人生肖相同 C．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D．冬天的某一天一定会下雪。 【答案】B 【分析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可． 【详解】A、“任意买一张电影票，座位号是奇数”是随机事件，故此选项错误； B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确； C、“车辆随机到达一个路口，遇到绿灯”是随机事件，故此选项错误； D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误。故选B． 【点睛】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】根据内接四边形的性质得出∠C的度数，再由点C为弧BD的中点得出CD=BC，最后利用等腰三角形的性质得出结果. 【详解】解：∵四边形内接于，∠A=40°，∴∠C=180°-40°=140°， ∵点C为中点，∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD=（180°-140°）÷2=20°，故选A. 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出∠C的度数和CD=BC. 5. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，交于点F．，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据推出，从而根据三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ，，故选C． 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】根据题意得，，所以． 故选A． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质. 7. 学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（　　） A．6min B．7min C．8min D．10min 【解答】解：∵通电加热时每分钟上升10℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8（min）， 故选：C． 8. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，这个题目属于赠送礼物问题，故选B。 【点睛】本题主要考查了赠送礼物问题，但要注意不要记错公式而错选A。更不要把它看成是握手问题，而错选选项D。 9.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】∵正方形的边长为4∴ ∵是正方形的对角线∴∴∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是，故选：D． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，现给出下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0． ∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a，b＞0．∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故②正确； ∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．故③正确； ∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n）， ∴当y＝n时，x＝﹣3或5．∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5． 即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．故④正确； 综上，正确的结论有：①③④．故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，3），点B的坐标是（4，），若点A与点B关于原点O对称，则=_____． 【答案】12 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=12，故答案为12． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键. 12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度． 【答案】30° 【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD减去∠AOB即可. 【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°， 又∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°.故答案为30°. 13. 如图，AC=BD，AC⊥BD于点E，若⊙O的半径为3，则AD的长为 解：连接OA、OB、OC、OD，在△OAD和△ODB中 ∴△OAD≌△ODB，又∵AC⊥BD，∴△ODB是由△OAD顺时钟旋转90°得到 ∴∠AOD=90°，又⊙O的半径为3，∴OA=OD=3，由勾股定理得 ,∴. 14. 某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元.若平均每次增长率为，则__________． 【答案】20%． 【详解】：根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x． 试题解析：依题意，有：100（1+x）2=144， 1+x=±1．2， 解得：x=20%或-2．2（舍去）． 考点：一元二次方程的应用． 15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】4-4 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16. 如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④。正确的有______________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质，弦、弧和角度之间的关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键．根据圆的相关性质进行求解即可． 【详解】证明：弦平分圆周角，，，故①正确； ，是的直径，，是等腰直角三角形，故②正确； 作的延长线于点，于点，， ，四边形是矩形，，即， 弦平分圆周角，，，， 在和中，，，，， 中，，同理可得， ，故③错误； ，故④正确． 故答案：①②④． 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. （本小题4分）解方程：． 解法一（配方法）：方程整理得：x2-2x=3， 配方得：x2-2x+1=4，即（x-1）2=4， 开方得：x-1=±2， 解得：x1=2+1=3，x2=-2+1= -1． 其它解法略。 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，以及求根公式法，十字相乘法，熟练掌握各种解法是解题的关键． 18. （本小题4分）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． （1）画出△ABC； （2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1； 【解答】解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）． 在坐标系中找出连接即可； （2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示： 19.（本小题6分）为纪念建国75周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）九（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】 解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以九（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 20. （本小题6分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】 试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用． 21. （本小题8分）如图，是的直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【分析】 （1）结合角平分线和切线的性质，连接OD计算即可； （2）过O作OF⊥AC于F，证明四边形ODEF为矩形即可． 【详解】（1）连OD，∵DE是的切线∴ ∵，的平分线交于点，∴ ∵OA=OD，∴，∴ （2）过O作OF⊥AC于F，则 ∵，∴，∴ ∵的平分线交于点，∴ ∵OA=OD，∴，∴，∴OD∥AC，∴ ∴四边形ODEF为矩形，∴ 【点睛】本题考查圆的切线的性质以及垂径定理，准确根据圆的已知条件做出辅助线是解题的关键． 22. （本小题10分）如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点、、， ，解得：，二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 23. （本小题10分）如图，在梯形ABCD中，，过AC和BD的交点O作交AD于点M，交BC于点N （1）猜想：OM______ON（填“＞”，“＜”或“＝”） （2）求证：． 【解析】 （1）先证明可得从而可得：再利用 证明 从而可得答案； （2）先证明 可得 可得 再结合 可得答案. 解：（1） ，， 故答案为：=； （2） 由（1）可得： 24. （本小题12分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； 【答案】 解：（1）∵抛物线经过B（6，0），∴，∴， ∴抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线； （2）如图所示，连接PC，PA，PB， ∵点C是抛物线与y轴的交点，∴点C的坐标为（0，3）， ∵A、B是抛物线与x轴的交点，∴A、B关于直线对称，∴PA=PB， ∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小， ∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置， 设直线BC解析式为， ∴，∴，∴直线BC的解析式为， 令x=2，则，∴的坐标为（2，2）， ∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小； （3）如图所示，设M点坐标为（m，）， ∵MN∥y轴，且N在直线BC上， ∴N点坐标为（m，）， ∴ ， ∵，∴当时，MN有最大值． 25. （本小题12分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD． （1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论； （2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF； （3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】（1）△ACD是等边三角形，证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）在同一个圆中，根据同弦对的圆周角相等及条件， 可推导出，根据等角对等边可得出，即可证明； （2）连接，根据切线的性质及角平分线，可推导出，，进一步得到，再根据等角对等边即可证明； （3）根据（2）中结论先证是等腰直角三角形，通过在等腰直角三角形中边之间的关系及勾股定理推导出，再利用转化思想将间接求解． 解：（1）证明：△ACD是等边三角形，证明如下： ，，，， ，是等边三角形． （2）连接，如下图， 是的直径，， 平分，， 与相切于点，，，， 又，， ，，， ，，， ． （3）由（2）知，，，， 是等腰直角三角形，，， ，，，，， ． 【点睛】 本题考查了圆的综合运用、等边三角形的判定、切线的性质、等角对等边、等腰直角三角形的判定、勾股定理、扇形的面积，涉及知识点较多、综合性强、难度较大，解得的关键是掌握相关知识点后，利用数形结合、等量代换、转化的思想进行解答． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$