山西省忻州市代县多校2024-2025学年上学期九年级数学期中质量检测卷

2024-2025 学年度九年级数学期中质量检测卷 考试时间：100 分钟；满分 120 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若 2 2 5 0x x   的一个解为 a，则    2 3 1a a a a   的值为（ ） A．5 B． 2 6 4 C． 6 D． 5 2．已知m n， 是方程 2 3 4 0x x   的两根，求代数式  13 52mn m m n mn    的值，嘉嘉和 淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（ ） 淇淇： ①韦达定理求出m n ，mn的值； ②化简  13 5 2 mn m m n mn    ； ③将步骤①中的m n ，mn的值代入到步骤② 化简后的结果中，解得代数式的值为 7 2  嘉嘉： ①解方程 2 3 4 0x x   ； ②化简  13 5 2 mn m m n mn    ； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后 的结果中，解得代数式的值为 7 2  A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 3．如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”； 若第 n个图形的“△”的个数为 45个，则 n的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AB的中点，点 F是 BC的中点，连接 EF，G是 EF的 中点，连接 DG．在 BEF△ 中， 2BE  ， 30BFE  ，若将 BEF△ 绕点 B逆时针旋转，则 在旋转的过程中，线段 DG长的最大值是（ ） A． 67 B． 2 17 C．10 D．12 5．如图，弦 ST所对的圆心角为120， AB为直径， ST在半圆上滑动，M 是 ST的中点， 点 P是点S对 AB所作垂线的垂足，则 SPM （ ） A．30 B． 45 C．60 D．75 6．如图，已知 O 的半径为 2， AB， AD是 O 的弦， BC是 O 的直径， 30ABC  ， 弦 AD与 BC交于点 E，且点 E是 AD的中点，则 2 2DE CE （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．交通标志是实施交通管理，保证道路交通安全、顺畅的重要措施．以下交通标志（不包 括文字部分）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．人行横道 B．禁止车辆长时停放 C．向左和向右转弯 D．环岛行驶 8．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号” F 火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2km， 第二秒时共通过了6km的路程，第三秒时共通过了12km的路程，在这一过程中路程与时间 成二次函数关系，在达到离地面 240km的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间 大约是（ ）． A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 9．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为 x轴，垂直于水平地面且位于 池塘中心的线为 y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 30 mAB  ，池底最深处距离水平地面 5 m，原来的水面宽 24 m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距 离变为（ ） A．1.2 m B．1 m C．0.8 m D．0.6 m 10．若二次函数  2 3 6 0y ax ax a    的图象与 x轴交于  1, 0A x ，  2 ,0B x 两点，且满足 1 2x x ， 1 2 0x x  ，则下列说法错误的是（ ） A． 1 2 3x x   B．抛物线开口向下 C．当 3x   时， y  6 D．关于 x的方程 2 3 7ax ax  的一个解小于 1x 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（共 5小题。每小题 3 分，共 15 分） 11．对于二次函数 2 2 1y x x   ，点  13, y 和  22, y 在函数图象上，则 1y 2y（填“>”， “=”或“<”）；当 1a x a   时，函数 2 2 1y x x   的最小值为 1，则 a的值为 ． 12．图 1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图 2，其液体水平宽度 AB 为16cm，竖直高度CD为4cm，则 O 的半径为 cm． 13．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 P处）的高度OP是 7 m 4 ，出手后实心球沿一段 抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是 4m．若实心球落地点为 M，则OM  m． 14．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了 80盏灯，每层开灯的数量都是 下 一层开灯数量的 x 倍，三层停车库共开了 380盏灯，则 x 的值为 ． 15．如图，等腰直角 ABCV 中， AC BC ，将线段CA绕点 C逆时针旋转（0 90  ） 得到线段CA，作点 A关于线段CA所在直线的对称点 E，连接 AE和 BE，分别交线段CA所 在直线于点 M和点 F，若 1CF  ， 3FM  ，则 BF的长为 ． 三、解答题（共 8小题，共 75 分） 16．（8分）解方程 （1）  2 3 3y y  ； （2）    2 29 2 4 1x x   ． 17．（9分）已知点  2,8A 与点  1,B k 都在二次函数 2y ax 的图像上． (1)求 a和 k的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； (2)求该抛物线上纵坐标为6的点的坐标； (3)当 3 1x   时， 求函数 y的最大值和最小值． 18．（7分）如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E是正方形 ABCD内一点， AED△ 绕点 A 顺时针旋转到 AE B 的位置，点 E的对应点是点 E，点 D的对应点是点 B． (1) AED△ 绕点 A顺时针旋转到 AE B 的位置，旋转角是多少度？ (2)若 90AED  ， 30EAD  ，求线段的长 EE． 19．（8分）山西槐米茶，口感清香，冲泡汤色亮黄，味道醇厚，具有清血凉血，抗菌消炎 等功效． (1)如图 1，太原市某茶庄种植槐米茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为 600平方 米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多 10米． ①分别求该采茶基地的长和宽； ②若要在采茶基地的四周围上篱笆，问需要多长的篱笆？ (2)如图 2，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的 采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相 同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为 486平方米，求小路的宽度． 20．（8分）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密（约 90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面， 他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图 1，若四边形 ABCD 内接于 O ，则有______． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______． （2）已知，如图 2，四边形 ABCD内接于 O ， BD平分 ABC ， 120COD  ，求证： BD AB BC  ． 21．（11分）【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城 市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关 资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需 要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系 为： 0v v at  ，其中 v是最终速度， 0v 是初始速度， a是加速度（或减速度）， t是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从 最高速度减速到停止所需的路程相同，均为 d千米，时间也相同，均为 t秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系 为： 2 0 1 2 s v t at  ，其中： s是路程， 0v 是初始速度， a是加速度（或减速度）， t是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度 360v  千米/小时，加速度 0.5a  米/秒 2 ，则从静止加速到 最高速度所需的时间 t  __________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程 d __________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程 x千米中，除去两端的加减速路程 d，列车以最 高速度行驶的距离为 2x d ，请直接写出列车全程行驶的时间T 的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台 2千米有一辆高铁正以180千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入 轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度 0.5a   米/秒 2，列车能否安全停车？分析计算后的答 案，结合现实，说说你的想法． 22．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 3 4 4 2 y x x   交 x轴于点A和点 B（点A在点 B的左 侧），交 y轴于点C． (1)求点 A， B，C的坐标； (2)如图 1，连接 BC，点 D在线段 BC上运动，过点 D作DF x 轴于点 F，交抛物线于点 E， 连接CE OD， ，当 OCD的面积是 CDE的面积的 4 3 时，求点 D的坐标； (3)如图 2，点 G的坐标是  4, 3 ，作直线OG，点 H在 y轴的负半轴上运动，连接 BH交直 线OG于点 M，点 N在该平面内运动，当以点O，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请 直接写出点 H的坐标． 23．（12分）综合与实践 初步感知： 在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图 1，已知正方形 ABCD和等腰直角 EBF△ ， 90EBF  且点 E在正方形 BC边上，点 F在 AB边的延长线上，连结 AE CF、 ，延长 AE交 CF于点 M，求证： AM CF ． (1)请你解决老师提出的问题； 深入探究： (2)勤学小组的同学将等腰直角 EBF△ 绕着点 B旋转到图 2的位置，此时 90AEB  ，连接 DE，若DE DA ，猜想线段CM 与FM 的数量关系并加以证明； 拓展应用： (3)在等腰直角 EBF△ 绕着点 B旋转过程中，当 A、E、F三点共线时，如图 3，若 17AB  ， 2BE  ，请直接写出DE的长度．