上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________. 2. 半径为2的球的表面积为________. 3. 已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 4. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________． 5. 已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________. 7. 三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”） 8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 9. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为,球的体积为 ，则 的值是_____ 10. 已知二面角为，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________． 11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____ 12. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________. 二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 15. 为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（ ） ①二面角的范围是； ②经过3个点有且只有一个平面； ③若为两条异面直线，，则． ④若为两条异面直线，且，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体为“鳖臑” C. 四棱锥体积的最大值为 D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF 三、解答题（本题满分78分，共5小题） 17. 如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 18. 如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求直线PB与平面ABC所成角的大小． 19. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 20. 如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 满分：150分，完成时间：120分钟 一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】平行或异面 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】外心 【8题答案】 【答案】或 【9题答案】 【答案】##1.5 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】12 【12题答案】 【答案】 二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本题满分78分，共5小题） 【17题答案】 【答案】（1） 如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明： 因为为等边三角形，且为的中点， 所以． 又，，且， 所以平面． 又在平面内，所以． 因为，且，， 所以平面． （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）， 【20题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 （3） 【21题答案】 【答案】（1） 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $