精品解析：辽宁省铁岭市2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023-2024年中学生能力训练 数学阶段练习（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 2. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是( ) A. 6 B. 5 C. 2 D. -6 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x﹣1）2﹣7 D. y＝（x+3）2﹣7 8. 如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点 ，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 10. 二次函数的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若是抛物线上的两点，则；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是__． 12. 关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值是________． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 14. 二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________． 15. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米． 16. 如图①，在菱形中，，点是的中点，点 是对角线上一动点，设的长度为，与的长度之和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为__________． 三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，共22分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0． （1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值； （2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 四、解答题（每题8分，共16分） 20. 已知：二次函数 （1）用配方法将函数关系式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出所给函数的图象； （3）观察图象，指出使函数值的自变量的取值范围． 21. 如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米． （1）若设垂直墙的边为米，则平行墙的边长为___________米（用含代数式表示）． （2）求鸡场的两边各为多少米． 五、解答题（10分） 22. 已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在D点，求m的值． 六、解答题（10分） 23. 某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 七、解答题（12分） 24. 如图，二次函数的图象交x轴于，交y轴于． （1）求二次函数的解析式； （2）若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形的面积最大时求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值； 八、解答题（本题12分） 25. 如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点 ，且，点 为第二象限内抛物线上的一点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点 作轴于点，若，求的值； （3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点 ，使？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年中学生能力训练 数学阶段练习（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中 ，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项系数分别为3，， 故选：A． 2. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是( ) A. 6 B. 5 C. 2 D. -6 【答案】A 【解析】 【详解】解：将x=2代入x2-mx+8=0可得： 4-2m+8=0， 解得：m=6， 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式的形式即表示意义是解题的关键． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知：，， ∴且． 故选：C． 6. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， 、、三点都在对称轴的右侧，且， ． 故选：B． 7. 将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. y＝（x﹣1）2﹣1 B. y＝（x+3）2﹣1 C. y＝（x﹣1）2﹣7 D. y＝（x+3）2﹣7 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移规律，可得答案. 【详解】函数化为一般式为， 的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得 . 故选： . 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键. 8. 如图，拋物线与轴交于点 、 ，与轴交于点 ，，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点 、 的坐标为，代入解析式，即可解得答案． 【详解】解：，则是等腰直角三角形 ， 可设点、， 把代入，得 即， ， ，即． 故选：A． 9. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 10. 二次函数的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④若是抛物线上的两点，则；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据开口和与y轴的交点的位置得出a与c的符号，从而得到的符号，可知①错误；②先判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，从而得到时，，即，可知②正确；③由图象可知③正确；④利用“图象开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值也越大”可知④错误；⑤当时，y有最大值为n，结合直线可以判断⑤正确．从而得解． 【详解】解：①、由图象可知：开口向下，与y轴的交点在原点上方， ∴， ∴， 故①错误； ②、∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∴②正确； ③、由图象可知：当时，图象上升，随的增大而增大， ∴③正确； ④、∵顶点坐标为， ∴对称轴是直线， ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值也越大． ∵， 即点，到直线的距离比点到直线的距离大， ∴，所以④错误； ⑤、∵时，y有最大值为n， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，所以⑤正确． 所以正确的有：②③⑤，共三个． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 12. 关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△=88-48k<0，解不等式即可得出k的取值范围，取期内的最小整数即可得出结论． 【详解】2k−1≠0,即时， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴ 解得： ∴k的最小整数值为2； 故答案为2. 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14. 二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数有最小值﹣2， ∴y=， 解得：m= 故答案为： 15. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长． 【详解】解：∵h＝30t−5t2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6）， ∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45， ∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为50． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长． 16. 如图①，在菱形 中，，点 是 的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度之和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点 的坐标为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，，设交于点，设交于点，结合菱形的性质可知关于对称，推出，进而可得，故当共线时，即点重合时，的值最小；观察函数图象可知，当点与 重合时，，即，可计算，，证明为等边三角形，则在中，可解得，即的最小值为，即可确定点 的纵坐标；再在中，解得，，易得，然后解得，由，可确定点 的横坐标，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点，设交于点， ∵四边形 为菱形， ∴，， ∴关于对称， ∴， ∴， ∴当共线时，即点重合时，的值最小， 观察函数图象可知，当点与 重合时，，即， 又∵点 是 的中点， ∴， ∴，解得， ∴， ∵四边形 为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵点 是 的中点， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，即点 的纵坐标为； ∵四边形 为菱形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得， ∴， ∴点 的横坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形得性质、动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度较大，正确作出辅助线并综合运用相关知识是解题关键． 三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，共22分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴，即， 则或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0． （1）若此方程的一个根为﹣1，求k的值； （2）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）且． 【解析】 【分析】（1）把x=﹣1代入原方程求k值； （2）一元二次方程的判别式是非负数，且二次项系数不等于0． 【详解】解：（1）将x=﹣1代入一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0得， （k﹣1）﹣4+1=0， 解得k=4； （2）∵若一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴△=16﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0 解得k≤5且k﹣1≠0， 即k的取值范围是k≤5且k≠1． 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 四、解答题（每题8分，共16分） 20. 已知：二次函数 （1）用配方法将函数关系式化为的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出所给函数的图象； （3）观察图象，指出使函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1）；对称轴是，顶点坐标是；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）根据对称轴，顶点坐标，抛物线与y轴的交点画出图象； （3）根据图象直接回答问题． 【详解】解：（1）， 即， ∴该抛物线的对称轴是，顶点坐标是； （2）由抛物线解析式知， 该抛物线的开口方向向下，且与轴的交点是． ∵， ∴该抛物线与轴的两个交点横坐标分别是、． 又由（1）知，该抛物线的对称轴是，顶点坐标是； 所以其图象如图所示： （3）根据图象知，当时，． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式及二次函数的图像及二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式及二次函数的图像及二次函数的性质. 21. 如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米． （1）若设垂直墙的边为米，则平行墙的边长为___________米（用含代数式表示）． （2）求鸡场的两边各为多少米． 【答案】（1） （2）15米和10米 【解析】 【分析】（1）根据篱笆长度为33米和门口宽度为2米，即可得到答案； （2）根据面积为150平方米结合长方形的面积列出方程求解，并求出x的取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设垂直墙的边为米，则平行墙的边长为米， 故答案为：； 【小问2详解】 由长方形的面积是150平方米，得， ， 整理得，， 解得，， ∵鸡场的一边靠墙（墙长18米），篱笆总长33米， ∴， 解得，， ∴， ， ∴鸡场的两边长分别为15米和10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解． 五、解答题（10分） 22. 已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在D点，求m的值． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）根据抛物线的解析式先求得C的坐标，然后把抛物线的解析式转化成顶点式，求得抛物线的顶点坐标，即可求得D的坐标，从而求得m的值． 【详解】解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入中， 得：−1−b+c＝0，−9+3b+c＝0， 解得：b＝2，c＝3． 则抛物线解析式为； （2）当x=0，y=3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∵抛物线解析式为=-（x-1）2+4， ∴抛物线顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1， ∴点D的坐标为（1，3）， ∴m=4-3=1． 六、解答题（10分） 23. 某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【解析】 【分析】（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值. 【详解】解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）； （2）设每月销售水果的利润为w， 则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500 ＝﹣5x2+100x+1420 ＝﹣5（x﹣10）2+1920， 当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元， 答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键. 七、解答题（12分） 24. 如图，二次函数的图象交x轴于，交y轴于． （1）求二次函数的解析式； （2）若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形的面积最大时求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值； 【答案】（1） （2）当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交 于点，可求出直线 的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，连接，作轴交 于点， 设直线 的解析式为，将点 和点 的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值为4，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 八、解答题（本题12分） 25. 如图，抛物线与轴交于A、 两点（点A在点 的左侧），与轴交于点 ，且，点为第二象限内抛物线上的一点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，若，求的值； （3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】（1）由解析式求出点C坐标，再由=求出AB长度，根据对称轴为直线x =可得点A，B坐标，进而求解； （2）设BP交y轴于点E，由∠BPD = 2∠BCO可得∠BEO = 2∠BCO，即∠EBC =∠ECB，EB = EC，通过勾股定理求出点E坐标，从而求出直线B E解析式，联立方程可得点D横坐标，进而求解； （3）作PM /x轴交AC延长线于点M，由可得Q为BP中点，从而得出△PMQ≌△BAQ，设点P(t，- 3t +4)，可用含t代数式表示点M，求出AC所在直线方程，将点M代入求解． 【小问1详解】 把x= 0代入得y= 4， ∴点C坐标为(0，4)，OC= 4， ∵=， ∴AB=5， ∵抛物线对称轴为直线x =， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为， 即点A坐标为(-4， 0)，点B坐标为(1，0)， 把(1，0)代入得0= 4a+4， 解得a=-1， ∴； 【小问2详解】 设BP交y轴于点E， ∵PD⊥x轴， ∴PDOC， ∴∠BPD=∠BEO， ∵， ∴∠BEO=2∠BCO， ∴∠EBC =∠ECB， ∴EB = EC， 设OE=m，则CE=BE=4-m， 在Rt△BOE中，由勾股定理得， ∴， 解得m =， ∴点E坐标为(0，)， 设直线BE解析式为y= kx + b， 将(0，)，(1，0)代入y= kx + b， 得， 解得， ∴， 令， 解得x=或x=1， ∴点D的横坐标为， ∴AD=-(-4)=，BD=1-()=， ∴； 【小问3详解】 不存在，理由如下： 作PM x轴交AC延长线于点M， ∵， ∴Q为BP中点， ∴△PMQ≌△BAQ， ∴PM=BA=5， 设P(t，-3t+4)，则M(t+ 5，- 3t+4)， 设直线AC解析式为y= ax + b， 把(-4，0)，(0，4)代入解析式得， 解得， ∴y= x+4， ∵点M在直线AC上， ∴- 3t+4=t+5+4， 该方程无解， ∴符合题意的点P不存在． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过添加辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $