（决胜中考）2025年中考数学一轮复习锐角三角函数小专题训练

(决胜中考)锐角三角函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一.选择题(共8小题) 1.(2024秋•西湖区校级月考)在Rt ABC中,,那么∠A的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 2.(2024秋•肇州县校级月考)如图,一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60 方向,向正东航行40海里后到达B处,此时测得小岛P位于南偏西75 方向,则小岛P离观测点A的距离是( ) A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 3.(2024秋•道里区校级月考)在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=5,BC=4,则∠B的正切值为( ) A. B. C. D. 4.(2023秋•醴陵市期末)如图,河堤的横断面迎水坡AB的坡比是,堤高BC=6m,则坡面AB的长度是( ) A.10m B. C. D. 5.(2024秋•工业园区校级月考)在 ABC中,tanA=1,cosB=,则 ABC的形状( ) A.一定是锐角三角形 B.—定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定 6.(2024秋•锡山区月考)如图,AC是电杆AB一根拉线,AB=6米,∠ACB=52 ,则拉线AC长为( ) A.米 B.米 C.6•cos52 米 D.米 7.(2023秋•巴彦县校级期末)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=1,BC=2,那么cosA的值为( ) A. B.2 C. D. 8.(2024秋•广阳区校级月考)正定凌霄塔是全国重点文物保护单位.其造型优美端庄,八角九层,塔高约40米,如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图,其每个内角的度数为( ) A.80 B.100 C.120 D.135 二.填空题(共8小题) 9.(2024秋•工业园区校级月考)如图,在 ABC中,,则BC的长是 . 10.(2024秋•锡山区月考)已知∠A为锐角,且sinA=,则tanA= . 11.(2024秋•工业园区校级月考)在 ABC中,∠C=90 ,, ABC的周长为60,那么AB为 . 12.(2024秋•工业园区校级月考)如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了,此时小球距离地面的高度为 . 13.(2024•温州自主招生)如图,在“镖形”ABCD中,,BC=16,∠A=∠B=∠C=30 ,则点D到AB的距离为 . 14.(2024•新泰市三模)如图所示,某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点100米,点A处俯角为60 ,楼顶C点处的俯角为30 ,已知点A与大楼的距离AB为80米(点A,B,C,P在同一平面内),则大楼的高度BC= 米.(结果精确到0.1米,参考数据:. 15.(2024•湖北模拟)如图,小明用无人机测量大楼高度,无人机悬停在A处时,看这栋楼底的俯角为45 ,而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的B处,此时看这栋楼底的俯角为60 ,则这栋楼的高度CD约为 米.,结果精确到0.1) 16.(2024秋•肇源县月考)如图,在4 4的网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上,D是AB与网格线的交点,则cos∠BAC的值是 . 三.解答题(共6小题) 17.(2024秋•徐汇区校级月考)计算:. 18.(2024秋•工业园区校级月考)在Rt ABC中,AC=2BC,求: (1)cosA; (2)当AB=10时,求BC的长. 19.(2024秋•道里区校级月考)如图,在某建筑物AC上挂着宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测得仰角为30 ,再往条幅方向前行80米到达点E处,看到条幅顶端B,测得仰角为60 . (1)求宣传条幅BC的长(小明的身高不计,结果保留根号); (2)小明从点F到点E用了2分钟,按照这个速度,小明从点E到点C所用的时间为多少分钟? 20.(2024•重庆模拟)某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫,吸引了大批游客前往观看.由于A、B之间的道路正在进行维护,暂时不能通行,游客由入口A进入园区之后可步行到达点C,然后可以选择乘坐空中缆车从C D,也可选择乘坐观光车从C B D.已知点C在点A的北偏东45 方向上,点D在点C的正东方向,点B在点A的正东方向300米处,点D在点B的北偏东60 方向上,且BD=400米.(参考数据:,,) (1)求CD的长度(精确到个位); (2)已知空中缆车的速度是每分钟200米,观光车的速度是每分钟320米,若游客想尽快到达熊猫基地D,应选择乘坐空中缆车还是观光车? 21.(2024秋•渝中区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BD,BC∥AD,连接AC交BD于点E,∠BAC=∠ADB,且. (1)求BD的长; (2)若,求CD的长. 22.(2024•泰兴市三模)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可旋转180 ,CD处可摆放平板或者手机.其中AB=91mm,BC=75mm,CD=80mm.研究表明,当手机(CD)与桌面的夹角为55 时,更符合人体工学设计,也是多数人操作手机最舒适的角度. (1)如图2,当AB和桌面垂直且BC⊥CD时,可将BC绕点B旋转一定的角度,就能达到最舒适的观影状态,求此时∠CBA的度数; (2)在(1)的条件下求点D到AB的距离(结果保留整数).(参考数据:sin35 ≈0.57,cos35 ≈0.82,tan35 ≈0.70.) (决胜中考)锐角三角函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题) 1.(2024秋•西湖区校级月考)在Rt ABC中,,那么∠A的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【解答】解:∵ ABC是直角三角形,, ∴∠A是锐角, ∵, ∴∠A=60 , 故选:C. 2.(2024秋•肇州县校级月考)如图,一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60 方向,向正东航行40海里后到达B处,此时测得小岛P位于南偏西75 方向,则小岛P离观测点A的距离是( ) A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 【解答】解:如图,过点B作BH⊥AP,交AP的延长线于H, 则∠AHB=90 , 由题意可知:∠BAH=90 ﹣60 =30 ,AB=40海里, ∴海里,∠ABH=90 ﹣30 =60 , ∵∠ABP=90 ﹣75 =15 , ∴∠PBH=60 ﹣15 =45 , ∴∠HPB=45 ∴PH=BH=20海里, ∵, ∴海里, ∴海里, 故选:B. 3.(2024秋•道里区校级月考)在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=5,BC=4,则∠B的正切值为( ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意可得:, ∴. 故选:A. 4.(2023秋•醴陵市期末)如图,河堤的横断面迎水坡AB的坡比是,堤高BC=6m,则坡面AB的长度是( ) A.10m B. C. D. 【解答】解:∵迎水坡AB的坡度, ∴, ∴(米), 在Rt ABC中,由勾股定理得,(米), 故选:C. 5.(2024秋•工业园区校级月考)在 ABC中,tanA=1,cosB=,则 ABC的形状( ) A.一定是锐角三角形 B.—定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定 【解答】解:∵ ABC中,tanA=1,cosB=, ∴∠A=45 ,∠B=45 , ∴∠C=90 , ∴ ABC是等腰直角三角形. 故选:B. 6.(2024秋•锡山区月考)如图,AC是电杆AB一根拉线,AB=6米,∠ACB=52 ,则拉线AC长为( ) A.米 B.米 C.6•cos52 米 D.米 【解答】解:由题意可知,∠ABC=90 , 在Rt ABC中,由锐角三角函数定义得:, ∴米, 故选:A. 7.(2023秋•巴彦县校级期末)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=1,BC=2,那么cosA的值为( ) A. B.2 C. D. 【解答】解:在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=1,BC=2,由勾股定理,得 AB==. 由锐角的余弦,得cosA===. 故选:C. 8.(2024秋•广阳区校级月考)正定凌霄塔是全国重点文物保护单位.其造型优美端庄,八角九层,塔高约40米,如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图,其每个内角的度数为( ) A.80 B.100 C.120 D.135 【解答】解:如图②,延长CB到点L, ∵正多边形的每个外角都相等,八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴8∠ABL=360 , ∴∠ABL=45 , ∴∠ABC=180 ﹣∠ABL=180 ﹣45 =135 , ∴正八边形ABCDEFGH的每个内角的度数都是135 , 故选:D. 二.填空题(共8小题) 9.(2024秋•工业园区校级月考)如图,在 ABC中,,则BC的长是 6 . 【解答】解:作AD⊥BC于D, ∵, ∴, ∴,即, ∴AD=4, ∴, ∴BC=6, 故答案为:6. 10.(2024秋•锡山区月考)已知∠A为锐角,且sinA=,则tanA= . 【解答】解:∵∠A为锐角,且sinA=, ∴∠A=30 , ∴tanA=tan30 =. 故答案为:. 11.(2024秋•工业园区校级月考)在 ABC中,∠C=90 ,, ABC的周长为60,那么AB为 26 . 【解答】解:如图: ∵∠C=90 ,, ∴tanA=, ∴设AC=5x,则BC=12x, ∴在Rt ABC中,AB2=AC2+BC2=(13x)2, ∴AB=13x, ∵ ABC的周长为60, ∴AB+AC+BC=60, ∴5x+12x+13x=60, ∴30x=60, ∴x=2, ∴AB=13x=26. 故答案为:26. 12.(2024秋•工业园区校级月考)如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了,此时小球距离地面的高度为 2m . 【解答】解:如图所示,过点B作BC⊥AC, ∵, ∴设BC=x,则AC=2x, 由勾股定理得AB2=AC2+BC2, 即, 20=x2+4x2, x2=4, x=2,x=﹣2(不合题意,舍去), ∴BC=2, 即此时小球距离地面的高度为2m, 故答案为:2m. 13.(2024•温州自主招生)如图,在“镖形”ABCD中,,BC=16,∠A=∠B=∠C=30 ,则点D到AB的距离为 2 . 【解答】解:延长CD交AB于点E,过点E作EG⊥BC于点G,过点D作DF⊥BA于点F,如图. ∵∠B=∠C=30 , ∴∠CEA=∠B+∠C=60 ,BE=CE. 又EG⊥BC, ∴BG=CG=8, ∴BE===, ∴AE=AB﹣BE=8=. 又∠EDA=90 ,∠A=30 , ∴AD=cos30 AE= =4. ∴DF=AD==2. 即D到AB距离为2. 故答案为:2. 14.(2024•新泰市三模)如图所示,某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点100米,点A处俯角为60 ,楼顶C点处的俯角为30 ,已知点A与大楼的距离AB为80米(点A,B,C,P在同一平面内),则大楼的高度BC= 69.3 米.(结果精确到0.1米,参考数据:. 【解答】解:如图所示: 过P作 PH⊥AB于H,过C作CQ⊥PH于Q,而 CB⊥AB, 则四边形 CQHB是矩形, ∴QH=BC,BH=CQ, 由题意可得:AP=100米,∠PAH=60 ,∠PCQ=30 ,AB=80米, ∴PH=APsin60 =100 =50(米),AH=APcos60 =50(米), ∴CQ=BH=80﹣50=30(米), ∴PQ=CQ•tan30 =10(米), ∴BC=QH=50﹣10=40≈69.3(米), ∴大楼的高度BC约为69.3米. 故答案为:69.3. 15.(2024•湖北模拟)如图,小明用无人机测量大楼高度,无人机悬停在A处时,看这栋楼底的俯角为45 ,而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的B处,此时看这栋楼底的俯角为60 ,则这栋楼的高度CD约为 47.3 米.,结果精确到0.1) 【解答】解:过点A作AM⊥CD于点M, 由题意得,∠DAM=45 ,∠CBD=60 ,AM=BC,AB=CM=20米. 在Rt ADM中,∠DAM=45 , ∴AM=DM. 设DM=x米,则AM=x米,CD=(20+x)米, ∴BC=AM=x米. 在Rt BCD中,tan60 ==, 解得x=≈27.3, 经检验,x=是原方程的解且符合题意, ∴CD=20+27.3=47.3(米), ∴这栋楼的高度CD约为47.3米. 故答案为:47.3. 16.(2024秋•肇源县月考)如图,在4 4的网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上,D是AB与网格线的交点,则cos∠BAC的值是 . 【解答】解:由勾股定理可得:,,, ∵AC2+BC2=5+20=25,AB2=25, ∴AC2+BC2=AB2, ∴ ABC为直角三角形, ∴∠ACB=90 , 在Rt ABC中,, 故答案为:. 三.解答题(共6小题) 17.(2024秋•徐汇区校级月考)计算:. 【解答】解:原式= = =. 18.(2024秋•工业园区校级月考)在Rt ABC中,AC=2BC,求: (1)cosA; (2)当AB=10时,求BC的长. 【解答】解:(1)∵在Rt ABC中,AC=2BC, 设BC=x,则AC=2x, 当AC是斜边时,, 则; 当AC是直角边时,, 则; 综上,cosA的值为或; (2)∵在Rt ABC中,AC=2BC, 设BC=x,则AC=2x, 当AC是直角边时,(2x)2+x2=100,解得:(负值已经舍去); 当AC是斜边时,(2x)2=x2+100,解得:(负值已经舍去); 综上,或. 19.(2024秋•道里区校级月考)如图,在某建筑物AC上挂着宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测得仰角为30 ,再往条幅方向前行80米到达点E处,看到条幅顶端B,测得仰角为60 . (1)求宣传条幅BC的长(小明的身高不计,结果保留根号); (2)小明从点F到点E用了2分钟,按照这个速度,小明从点E到点C所用的时间为多少分钟? 【解答】解:(1):设CE=x,由题意得:EF=80米,∠F=30 ,∠BEC=60 ,∠C=90 , 则BE=2CE=2x, ∴BC==x, ∵∠BEC=60 ,∠F=30 ∴∠FBE=30 , ∴∠FBE=∠F, ∴BE=EF=2x, ∵EF=80, ∴2x=80, ∴x=40, ∴(米). 答:建筑物BC的长为. (2)∵BE=EF=80, ∴小明的速度为80 2=40(米/分), 由(1)知:CE=40, 则:40 40=1, 即按照这个速度,小明从点E到点C所用的时间为1分钟. 20.(2024•重庆模拟)某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫,吸引了大批游客前往观看.由于A、B之间的道路正在进行维护,暂时不能通行,游客由入口A进入园区之后可步行到达点C,然后可以选择乘坐空中缆车从C D,也可选择乘坐观光车从C B D.已知点C在点A的北偏东45 方向上,点D在点C的正东方向,点B在点A的正东方向300米处,点D在点B的北偏东60 方向上,且BD=400米.(参考数据:,,) (1)求CD的长度(精确到个位); (2)已知空中缆车的速度是每分钟200米,观光车的速度是每分钟320米,若游客想尽快到达熊猫基地D,应选择乘坐空中缆车还是观光车? 【解答】解:(1)作CM⊥AB于M,BN⊥CD于N, ∵CD∥AB, ∴四边形MBNC是矩形, ∴CM=BN,CN=MB, ∵∠DBN=60 , ∴BN=BD= 400=200(米), ∵tan∠NBD==, ∴DN=200(米), ∵∠CAM=45 , ∴ AMC是等腰直角三角形, ∴AM=CM=200(米), ∴MB=AB﹣AM=100(米), ∴CD=CN+ND=100+200≈446(米); (2)由勾股定理得到BC==100(米), ∴BC+BD=400+100≈623.6(米), ∴乘坐观光车的时间是623.6 320≈1.95(分钟),乘坐空中缆车的时间是446 200=2.23(分钟), ∴应选择乘坐观光车. 21.(2024秋•渝中区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BD,BC∥AD,连接AC交BD于点E,∠BAC=∠ADB,且. (1)求BD的长; (2)若,求CD的长. 【解答】解:(1)∵在四边形ABCD中,AB⊥BD, ∴ ABE和 ABD都是直角三角形, ∵∠BAC=∠ADB, ∴, ∴, 设BE=a,则AB=2a,BD=4a, 由勾股定理得,, 解得, ∴BD=4a=6, ∴BD的长为6; (2)如图,过C作CF⊥BD于F, ∵BC∥AD, ∴∠DBC=∠ADB, ∴, 设CF=b,则BF=2b, 由勾股定理得,, 解得b=1, ∴BF=2,DF=BD﹣BF=4, ∴, ∴CD的长为. 22.(2024•泰兴市三模)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可旋转180 ,CD处可摆放平板或者手机.其中AB=91mm,BC=75mm,CD=80mm.研究表明,当手机(CD)与桌面的夹角为55 时,更符合人体工学设计,也是多数人操作手机最舒适的角度. (1)如图2,当AB和桌面垂直且BC⊥CD时,可将BC绕点B旋转一定的角度,就能达到最舒适的观影状态,求此时∠CBA的度数; (2)在(1)的条件下求点D到AB的距离(结果保留整数).(参考数据:sin35 ≈0.57,cos35 ≈0.82,tan35 ≈0.70.) 【解答】解:(1)过点D作DE⊥AB于E, 由题意得:∠CDE=55 ,∠DEB=90 , ∵DC⊥BC, ∴∠C=90 , ∴∠ABC=360 ﹣∠C﹣∠DEB﹣∠CDE=125 , ∴此时∠CBA的度数为125 ; (2)过点C作CF⊥DE于F,过点B作BG⊥CF于G, ∴∠DFC=∠BGC=90 , 由题意得:BG=EF, ∵∠CDE=55 , ∴∠DCF=90 ﹣∠CDE=35 , ∵∠DCB=90 , ∴∠BCG=∠DCB﹣∠DCF=55 , ∴∠CBG=90 ﹣∠BCG=35 , 在Rt CDF中,CD=80mm, ∴DF=DC•sin35 ≈80 0.57=45.6(mm), 在Rt BCG中,BC=75mm, ∴BG=BCcos35 ≈75 0.82=61.5(mm), ∴DE=DF+EF=DF+BG=45.6+61.5≈107(mm), 答:点D到AB的距离约为107mm. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$