精品解析：安徽省合肥市第五十五中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试题

2024/2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 温馨提示： 亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分共40分） 1. 抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　） A. (，3) B. (4，3) C. (3，3) D. (﹣3，3) 2. 抛物线y=2(x+4)2-3的对称轴是 ( ) A. 直线x=4 B. 直线x=－4 C. 直线x=3 D. 直线x=－3 3. 下列四条线段中，不是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数(是非零常数，)的图象交于点，连接、，若四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为（ ） A. B. 4或 C. D. 4或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分共20分） 11. 抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______． 12. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． 13. 如图，是正方形边上一点，且，是的中点，则________． 14. 如图，已知反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，则：①的面积为______；②______． - 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分共16分） 15. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 16. 已知，且，求的值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分共16分） 17. 某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）． （1）如果日均获利1950元，求销售单价； （2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少． 18. 观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G， （1）小明认为，你同意吗？请说明理由． （2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分共20分） 19. 如图，直线，与反比例函数的图象交于点A与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求不等式的解集 20. 如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N． （1）若，求的值； （2）求证：． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分共24分） 21. 近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆； （3）当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离． 22. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 七、解答题（本大题共14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 温馨提示： 亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分共40分） 1. 抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　） A. (，3) B. (4，3) C. (3，3) D. (﹣3，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选A 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 2. 抛物线y=2(x+4)2-3的对称轴是 ( ) A. 直线x=4 B. 直线x=－4 C. 直线x=3 D. 直线x=－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h即可得解． 【详解】解：∵抛物线的顶点式方程为y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h， ∴抛物线y=2（x+4）2-3的对称轴是x=-4； 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握y=a（x-h）2+k的性质是解题的关键． 3. 下列四条线段中，不是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 【详解】解：A、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意； B、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意； C、，，，故四条线段不是成比例线段，符合题意； D、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 4. 将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 平移后的抛物线的解析式为：，即． 故选：B． 5. 如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：， ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 8. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数(是非零常数，)的图象交于点，连接、，若四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象在第一象限，可知，，根据点，均在反比例函数图象上，可知，根据点在反比例函数的图象上，可知，根据四边形的面积为，可得，等式两边同时乘以可得结果． 【详解】解：、的图象均在第一象限， ，， 点，均在反比例函数， ， 矩形的顶点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解． 【详解】解：当时，分别在线段上， 此时，， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为一次函数，图象为直线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有A选项符合题意， 故选：A． 10. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为（ ） A. B. 4或 C. D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：当时，， 将矩形纸片折叠，折痕为， ，，，，， ，， ， ， ，， ， ， ， 过点作于点，如图， 则四边形为矩形， ∴，， 设， 则， ∵， ， ∵， ， ， ， 解得： ； 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟悉上述知识点的性质和分类讨论思想的应用． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分共20分） 11. 抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有两个交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．直接利用根的判别式列不等式解答，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， 又∵， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 12. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是正方形边上一点，且，是的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证是解题的关键．根据和是的中点，可以求得，即可求证，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到． 【详解】解：在正方形中，， ，是的中点， ， 又， ， ， 即． 故答案为：． 14. 如图，已知反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，则：①的面积为______；②______． - 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设点，可得，进而可求的坐标，根据即可求解；②证即可求解． 【详解】解：①设点 由题意得： ∵均为图象上的点 ∴ ∴ ②由①得： ∴ 故答案为：①② 【点睛】本题考查了反比例函数得性质、相似三角形的判定与性质．根据反比例函数的解析式设点是解题关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分共16分） 15. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，设抛物线的解析式为，根据顶点坐标得到．把代入解析式求出a的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 16. 已知，且，求的值． 【答案】22 【解析】 【分析】设，，，确定，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解:∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分共16分） 17. 某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）． （1）如果日均获利1950元，求销售单价； （2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少． 【答案】（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元． 【解析】 【分析】（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可； （2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论． 【详解】解：（1）设销售单价为 x元，由题意得： （x-30）[60+2（70-x）]-500=1950， 解得：x1=x2=65， ∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元， ∴x=65符合题意， 答：销售单价为65元时，日均获利为1950元； （2）设销售单价为 x元，可获得利润为y，由题意得： y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）， ∴y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式， ∴顶点坐标为（65，1950）， ∵30＜65＜70， 当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意表示出日均销售量，以及每千克的利润． 18. 观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G， （1）小明认为，你同意吗？请说明理由． （2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长． 【答案】（1） 同意．理由如下： 根据折叠的性质可得． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）的周长为． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据角之间的关系通过等量代换可得；结合，利用相似三角形的判定定理即可解答； （2）设，则，由勾股定理求出的长；接下来利用相似三角形的性质求出和的长度，然后利用周长的计算公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴， 即，． ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长为． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分共20分） 19. 如图，直线，与反比例函数的图象交于点A与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求不等式的解集 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m值，进而利用待定系数法求解即可； （2）先联立两函数解析式，求出点A的坐标，再根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：，在一次函数的图象上， ∴ ， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或 ∴ 观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 20. 如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N． （1）若，求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵在中，， ，， ， ， ∵在中，， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质： （1）由平行四边形对角相等且平行得到，，则可证明，再证明，即可得到； （2）通过证明，，可得，据此即可得结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分共24分） 21. 近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示． （1）求关于的函数关系式； （2）若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆； （3）当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离． 【答案】（1） （2）跑道长度不够无人机降落 （3）无人机着陆后最后两秒滑行的距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出最值，与进行比较，判断即可； （3）求出时的函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵函数图象过点， ∴设函数解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴跑道长度不够无人机降落； 【小问3详解】 解：∵，有最大值为，此时无人机停止， ∴当时，， ∵， ∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为． 22. （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【解析】 【分析】（1）证明，可得到； （2）连接，证明，可得到； （3）作，设，那么，那么，因为，，，那么，最后利用配方法求得的最值． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示 四边形是正方形 ， 为等腰直角三角形， ， （3）作交于，不妨设，如图所示： 由（2）可知， 那么为等腰直角三角形 那么 ，， 时，最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 七、解答题（本大题共14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）面积的最大值为，此时D点坐标为 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $