第19讲 锐角三角函数及其应用(精练本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（齐齐哈尔专版）

而春123 第19讲 锐角三角函数及其应用 基础集训 [答案P24灯 ⊙命题点1特殊角的三角函数计算 1.(2024·营口模拟)tan45的值等于 () A.2 B.1 C.② 0 3 2.(2024·大庆模拟)sin30°= ⊙命题点2解直角三角形 3.(2024·齐齐哈尔模拟)如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为() A.32 B.35 C.37 D.62 D D 3题图 4题图 4.(204·找顺模拟)如图，在△4BC中，∠C=0,BC=5,点D是4C上一点，连接BD若mA=方， m∠ABD=3,则cD的长为 () A.25 B.3 C.5 D.2 ⊙命题点3解直角三角形的实际应用 5.(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域 成功发射，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为α千米，仰角为9， 则此时火箭距海平面的高度AL为 () A.asin0千米 Ba千米 C.ac0%0千米 D.4千米 sin cos 0 5题图 6题图 6.(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰 角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度为 m(结果保留根号). -91- 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 [答案P24] ⊙模型一背靠背型 1.(2023·河南)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形， AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A与树顶E在一 条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m,BH= 20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1m). 1题图 ⊙模型二母子型 2.(2023·贵州)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观 光索道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道，最终 到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长50m.索道AB与AF的夹角为16°， CD与水平线夹角为45°，A,B两处的水平距离AE为576m,DF⊥AF,垂足为点F.(图中所有点都在 同一平面内，点A,E,F在同一水平线上) (1)求索道AB的长（结果精确到1m): (2)求水平距离AF的长（结果精确到1m): (参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，√2≈1.41) D D B45 M工16° 2题图①D 2题图② -92 见业图师合抖暗微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无枕、， 第四章三角形 ⊙模型三拥抱型 3.(2024·四平模拟)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE 的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上，某学习小组在观景台C处测 得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° (1)求DE的长： (2)设塔AB的高度为h(单位：m): ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）： ②求塔AB的高度(tan27取0.5，√3取1.7，结果取整数). B D<127 中 30m人459 A 3题图 中考集训 [答案P25] 满分：100分 一、选择题（每小题4分，共24分》 1.(2023·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为 ( A c D.22 3 55 125 1---1---1 C O 9 1题图 2题图① 2题图② 3题图 2.(2023·玉林)如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有 () A.h =h B.h<h2 C.h>hz D.以上都有可能 3.(2023·广元)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与 CD相交于点P,则cos∠APC的值为 25 c号 D.⑤ 93- 数学·精练本1 见业图师合抖音微信由码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 4.(2024·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知 ∠BAC=,则A,C两处相距 ()》 A.米 B.x米 C.x·sinx米 D.x·co5米 sin o 北 B 水平地面 B 0KB 4题图 5题图 6题图 5.(2024·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为 A.m(cos a-sin a) B.m(sina-cosa)） C.m(cos a-tan a) D.m _m sin a cos a 6.(2023·随州)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶 端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成 3 角为B,已知sina=coB=号，则梯子顶端上升了 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 二、填空题（每小题5分，共40分） 7(2024·益阳)如图，在△MBc中，∠C=0,若mA=号，则sB 21.8 D B 7题图 8题图 9题图 10题图 8.(2023·岳阳)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处 用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面 的高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC约是 米.（结果精确到0.1米，sin21.8°≈ 0.3714,cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000) 9.新考法(2023·武汉)如图，将45的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端 点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的 ∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到 0.1cm.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】 10.(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A, 在点A和建筑物之间选择一点B,测得AB=30m.用高1m(AC=1m)的测角仪在A处测得建筑物 顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 m -94 11.(2023·黄网)综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点 A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E处的俯角为45°，尚美楼顶部F处的俯角为30°.已 知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米.（结果保留根号）》 45配 60 楼 楼 C 11题图 12题图 14题图 12.(2024·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人 机与旗杆的水平距离AD为6m,则该校的旗杆高约为 m.(3≈1.73，结果精确到0.1m) 13.(2024·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行 40km至C港，则A,C两港之间的距离为 km. 14.(2024·潍坊)在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高 度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB,CD,EF在同一平面内，点A,C, E在一条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远跳塔顶B,视 线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度，根据以上信息，塔的高度为 米。 三、解答题（共36分） 15.(12分)(2024·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜 坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物 顶端A的仰角为30°.（已知点A,B,C,D在同一平面内，B,C在同一水平线上） (1)求点D到地面BC的距离： (2)求该建筑物的高度AB. 602a 15题图 -95 16.(12分)(2023·江西)图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已 知点B,A,D,E均在同一直线上，AB=AC=AD,测得∠B=55°，BC=1.8m,DE=2m.(结果保留小数 点后一位) (1)连接CD,求证：DC⊥BC: (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离） (参考数据：sin55°≈0.82，c0s55°≈0.57，tan55°≈1.43) E D 16题图① 16题图② 17.(12分)(2023·重庆A卷)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线 路，如图，①A一D一C一B,②A一E一B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米 处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点 B的南偏西60°方向.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） (1)求AD的长度（结果精确到1千米）： (2)时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②， D C 北 N 459 西→乐 南 60° 17题图 -96—见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 12.4 [ 解析]题图①中, DE//BC,=A 由勾 股定理，得AC=√AB2+BC2=√82+62=10.题图 AB=②中，由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE.又 ,△ABD一△ACE(依据:两边成比例且夹角相等 CB-AC=10=号的两个三角形相似),∴ ∵△OBF^△BAF,O-A ∴BF2=0F·AF,∴BF2=3(0A+3).② 由①②,得BF=1+√19(负值已舍去), ∴DE=BE=2+1+√19=3+√19. 15.(1)证明：由题意知 AD=CD,∴∠A=∠DCA. 又∵∠A=∠CBE,∴∠DCA=∠CBE, ∴.CD//BE,∴∠DCE=∠BEF. ∵EF=AD,AD=CD,∴EF=CD. D-CD13.解：选择( ∵三角形 BCE是以 BC为底的等腰三角形， ∴CE=BE,∴△DCE≌△FEB,∴ DE=BF证明：△ACD∽△A'C'D', ∴. ∠ADC=∠ADC,AD=CD, ∠ADB=/A'D'R' CD=CDBD=CD,又∵ (2)解：如答图，取CE的中点H,连接GH ∵点G是 DE的中点， .GH=2cD=2AD=1,CH//CD. 设BE=a,则CH=EH= cE=?B=2a.BD=CD=A0, ∴△ABD一△A'B'D'. 或选择③∠BAD=∠B'A'D' 证明：∵△ACD∽△A'C'D', 则 ∵EF=AD=2,: FH=2a-2. ∵CD//BE,GH//CD,∴ GH//BE, ∴△FGH∽△FBE, -,即- ∴a=2+2√2(负值已舍), ∴∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B'. ∵∠BAD=∠B'A'D',∴△ABD△A'B'D'. 14.(1)证明：如答图，∵四边形 ABCD为矩形， ∴.0C=OD,AB//CD,∴∠2=∠3=∠4. ∵ DE=BE,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3. 又∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6. 又∵∠3+∠5=90°,∴∠6+∠5=90°,∴ BF⊥AC. ∴BE=2+2√2. E G F D(2)解：△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下： H 如答图，由(1)知∠1=∠2, A2 BC ∵AB//CD,∴∠2=∠3=∠4,∴∠1=∠4. 15题答图 又∵∠OFB=∠BFO,..△OBF∽△BAF. 第19讲 锐角三角函数及其应用 ∵∠1=∠3,∠0FB=∠EFC,∴△OBF∽△ECF. 基础集训 ED C 1.B 2.2 3.D 4.C 5.A 0 6.(50+50√3) A B 微专题7 解直角三角形的实际应用的常考模型14题答图 1.解：∵四边形ABCD为正方形，点D,A,E在一条直线上， (3)解:△OBF一△ECF,= ∴∠EAB=90. 由题意知，∠FAH=90°, .∠ EAF=/BAH ∴tan∠EAF= tan∠BAH 在Rt△ABH中,tan∠BAH=册==号 ∵OF=3,EF=2, 3=BF.3CF=2BF. ∵0A=0C,∴.0A=0F+CF, ∴30A=3CF+30F,∴30A=2BF+9.① —24— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 在 Rt△EAF中,tan∠EAF==笠, 根据题意，得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°, ∴四边形 DEAF是矩形， ∴DF=EA=h+3√3,FA=DE=3, ∴BF=AB-FA=h-3. 暨=3,EF= 由题意知，FG=1.8, 在 Rt△BDF中,tan∠BDF=,∠BDF=270, ∴BF=DF·tan∠BDF,即h-3=(h+3√3)×tan 27°, h=3+3-3×2n27°~3+3×-0.7×0.5~11. 答：塔AB的高度约为11 m. ∴EG=EF+FG=22+1.8≈9.1(m) 答：树EG的高度约为9.1 m 2.解：(1)在RtABE中，AB=os 16°~0.96=60(m) 答：索道AB的长约为600m. (2)如答图，延长 BC交DF于点G,则CG⊥DF,易得 四边形 BEFG是矩形，∴EF=BG 中考集训 1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.C 7.号 由题意可知 CD=AB=600 m. 在Rt△DCG中，∠DCG=45°, ∴.CG=CD·cos∠DCG=300√2(m), ∴BG=BC+CG=50+300√2≈473(m), ∴ AF=AE+EF=AE+BG=576+473=1 049(m). 答：水平距离AF的长约为1 049 m. 8.9.5 [解析]根据题意，得四边形ABCD是矩形，∴ AD =BC=20米，DC= AB=1.5米.在Rt△ADE 中， tan∠DAE=0,.. DE=AD·tan∠DAE=20×tan21.8° ≈20×0.4=8.0(米),∴ EC=ED+DC=8.0+1.5= 9.5(米). D 9.2.7 [解析]如答图，分别过点B,C作0A的垂线，垂 足分别为点D,E,则四边形BDEC为矩形，∴. CE=BD. 易得OD=2,在Rt△BOD中，∠BOD=45°,∴ BD=OD B 45° iG =2,:. CE=2.在Rt△COE 中，∠COE=37°,∴ OE =C16°A- ta0370~0.75~2.7,:0C与尺上沿的交点C在尺上E F 2题答图 的读数是2.7 cm. 3.解：(1)在Rt△DCE中，∠DCE=30°,CD=6, BC ∴.DE=2CD=3. 答：DE 的长为3m. 0 3 5 0 D E A (2)①在 Rt△DCE中,cos∠DCE=, ∴EC=CD·cos∠DCE=6×cos 30°=3√3. 在Rt△BCA中，由tan∠BCA=A,AB=h, ∠BCA=45°, 9题答图 10.(15√3+1) [解析]如答图，EN即为建筑物的高， 直线CD与EN的交点为M.由题意，得四边形MNBD、 四边形DBAC、四边形MNAC均为矩形，∴ CD=AB= 30,MN= AC= 1.∵∠ECD=30°,∠EDM =60°, ∴∠DEC=30°=∠ECD,∴ ED=CD=30.在Rt△EDM 得CA=a450=h,:.EA=CA+BC=h+3√3. 答：EA的长为(h+3√3)m 中，=sin60,即30=2,∴ EM=15√3..EN= EM+MN=15√3+1,即建筑物的高是(15√3+1)m.②如答图，过点D作 DF⊥AB,垂足为F EB D 27°. 45°30° E C 3题答图 F A M D B 10题答图 C1 —25— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 15.解：(1)如答图，过点D作DE⊥BC于点E, 由题意可得∠DCE=30°, 11.(30-5√3)[解析]∵点A是CD的中点，∴AC= AD.如答图，过点E作 EM⊥AB于点M,过点F作FN ⊥AB于点N,则四边形 ACEM和四边形 ADFN都是 矩形，∴AM=CE=15,FD=AN,EM=AC=AD= FN, ∴ BM=AB-AM=15.在Rt△BEM中，∠BEM=45°, ∠BME=90°,∴ FN= EM=BM=15.在Rt△BFN中， ∠BFN=30°,∴ BN= FN·tan 30°=5√3,∴FD= AN=(30-5√3)米. ∴.DE=2CD=5(米). 答：点D到地面 BC的距离为5米. A B 45 30 F 30 DN E 尚 FM 博雅楼 美 60% α楼 B C E C A D 15题答图 11题答图 (2)如答图，过点D作 DF⊥AB于点F,则四边形 DFBE 为矩形，器=tam 30°=3,12.13.8 [解析]在Rt△ADB中， .BD=AD.在Rt ADC中，C=tan 60°=√3, : CD=<3AD,:BC=BD+CD=43SAD≈13.8m. ∴BF=DE=5米，DF=BE. 易得CE=√102-52=5√3(米). 设AB=a米，则AF=(a-5)米. 在Rt△ABC中，∠ACB=60°, 13.50 [解析]如答图，由题意知 AN//BM,∴∠MBA= 180°-∠NAB=180°-60°=120°,∴∠ABC=∠ABM -∠MBC=120°-30°=90°,∴AC= √AB2+BC2= √302+402=50(km). 4.CB=aA60=a(米), .DF=BE=(3a+5J3)米. 在Rt△ADF中，∠ADF=30°, C M N AF=DF m30=(34+513)×s=(3a+5)(米),;B A 13题答图 14.18.2 [解析]如答图，过点F作FM⊥AB于点M,交 DC于点N,则FN=CE=10米，MN=AC=20米，∴FM =AE=30米.由题意知CD//AB,∴△FND∽△FMB, FM=BWCD=7米，CN=EF=1.4米，:.DN= 30=56CD-CN=5.6米， 解得BM=16.8米.又 ∵AM=EF=1.4米，∴ AB=BM+AM=16.8+1.4= 18.2(米),即塔的高度为18.2米. B D M A M C 14题答图 F E 3a+5=a-5, 解得a=15,即 AB=15米. 答：该建筑物的高度AB为15米. 16.(1)证明：∵AB=AC=AD, ∴∠B=∠ACB,∠ADC=∠ACD, ∴ ∠BCD= ∠ACB+∠ACD=2(∠ACB+∠B+ ∠ACD+∠ADC)=2×180°=900, ∴DC⊥BC. (2)解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F 在Rt△BCD中，cosB=G,BC=1.8, .BD=BCB-0550~3.16, —26— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 ∴BE=BD+DE=3.16+2=5.16. 在Rt△EBF中，sinB=B 第五章 四边形 第20讲 平行四边形与多边形 基础集训 ∴ EF=BE·sin B=5.16×sin 55°≈4.2. 1.C 2.C 答：雕塑的高约为4.2 m. 3.(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， E ∴. AD//BC,∠BAD=∠BCD, ∴∠AEB=∠DAED/ ∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线， ∴∠AEB=∠DAE=2∠BAD,LBCF=2∠BCD, ∴∠AEB=∠BCF,∴ AE//CF. 又∵AF//CE. A B C F 16题答图 17.解：(1)如答图，过点D作DH⊥AB于点H,则四边形 DHBC为矩形， ∴四边形 AECF是平行四边形. .∴ DH=BC=10 (2)解：如答图，过点C作CH⊥AD于点H, 则∠CHD=90°.在Rt△AHD中，∠DAH=90°-45°=45°, ∴.AD=√2DH=10√2≈10×1.41≈14. 答：AD的长度约为14千米. A F H D GD C N B E C45% A B 3题答图 H ∵四边形ABCD是平行四边形，60° S ∴ AD//BC, E ∴∠ADC+∠BCD=180°, 17题答图 ∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°. ∵CF是∠BCD的平分线，(2)如答图，在Rt△AHD中，AH=DH=10,AD=10√2. ∵四边形 DHBC为矩形，∴ BH=CD=14, ∴AB=AH+BH=10+14=24. ∴ ∠DCF=2∠BCD=2×120°=60°, ∴∠ADC=∠DCF=60°, ∴△CDF是等边三角形， 在Rt△ABE 中，∠ABE=90°-60°=30°, ---65, .AE=÷BE=8/3. .CD=DF=2,DH=2DF=1. 在Rt△CHD中，由勾股定理，得CH= √CD2-DH2= √22-12=√3,线路①的长度为AD+DC+CB=10√2+14+10≈ Sco=2DF·cH=2×2×3=3.14.1+14+10=38.1; 线路②的长度为 AE+EB=8√3+16√3=24√3≈ 由(1)得四边形 AECF是平行四边形， 24×1.73=41.52. .CE=AF=-Dr=2×2=1.∵41.52>38.1, ∴小明应选择线路①. ∵AD//BC,∴△DGF∽△EGC, —27—