第16讲 特殊三角形(精练本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（齐齐哈尔专版）

中春123 第16讲 特殊三角形 基础集训 [答案P19] ⊙命题点1等腰三角形的有关判定与性质 1.(2024·装山模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=24°，延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则 ∠D的度数为 () A.39 B.40° C.49° D.51° B220 45 1题图 3题图 4题图 6题图 2.(2024·大庆模拟)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”. 若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ⊙命题点2等边三角形的有关判定与性质 3.(2024·龙东地区模拟)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则 △DEF的面积是 () A.1 c D. 4.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为() A.30° B.45 C.60° D.120° ⊙命题点3直角三角形的有关判定与性质 5.(2024·大庆模拟)下列说法不正确的是 ( A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角互余的三角形是直角三角形 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 6.(2024·绥化模拟)如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2.则△ABC的面积是() A.3+2 2 B.1+2 C.22 D.2+2 -73 ⊙命题点4勾股定理及其逆定理 7.(2024·荆门二模)有下列说法：①一个直角三角形的两条直角边长分别为1,3，则它的斜边长是2： ②一个直角三角形的两边长分别是3,4，则它的第三条边长是5：③“一个三角形的三条边长分别是 2,3,4,因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理.其 中，正确的个数是 () A.3 B.2 C.1 D.0 8.(2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意 图如图②，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺(1尺=0.33米).设AC的长度为x 尺，可列方程为 Q 9诗文波平如镜一湖而，半尺高 处生红莲亭亭多姿湖中立，突遭 狂风吹一边离开原处二尺远，化 贴湖而象瞬莲 8题图① 8题图② 微专题2角平分线的常考模型 [答案PI9] ⊙模型一过角平分线上的点向角两边作垂线 1.（2024·西安二模)如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC,E为AD的中点 EF⊥AD交AB于点F.若CD=3,则AF= ()》 A 1题图 A.33 B.3√2 C.6 D.5 ⊙模型二截取线段构造对称全等 2.(2024·济宁三模)如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证：AB=AC+CD. D 2题图 -74 见业图师合抖培微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无机、 第四章三角形 ⊙模型三平行线构造等腰三角形 3.(2024·武汉二模)如图，在矩形ABCD中，BC=6,E为CD上一点，CE=2,DE=1.将矩形ABCD沿 BE折叠，G是C的对应点，BG与AD交于点F,则AF= 3题图 ⊙模型四垂线构造等腰三角形、全等三角形 4.(2024·鄂州二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E =60°，若BE=10cm,DE=4cm,则BC的长为 A.7 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm 4题图 5题图 5.(2024·铜仁三模)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=8,BC= 5,则BD的长为 微专题3特殊三角形中的分类讨论 [答案P19] ⊙类型一等腰三角形中的分类讨论 1.(2024·泰安一模)等腰三角形的一个外角度数为80°，则顶角度数为 2.(2024·恩施州二模)如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm,那么此三角形的周长是 ( A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.12cm或15cm ⊙类型二直角三角形中的分类讨论 3.(2024·张掖一模)已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 A.5 B.13 C.1 D.5或13 4.(2024·南充模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8.点D是BC上的中点 点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP= 4题图 -75 数学·精练本1 见此图师合抖倍微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 微专题4中点常考模型 [答案P19] ⊙模型一中点构造中位线 1.(2024·齐齐哈尔模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点N是BC边上一点，点M为 AB边上的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值为 M 1题图 2题图 3题图 4题图 ⊙模型二垂线过中点构造中垂线 2.(2024·装山模拟)如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点N,交AC于点M, 且AB+BN=BC,则∠B的度数是 () A.45 B.50 C.55 D.60° ⊙模型三 等腰三角形构造“三线合一” 3.(2024·牡丹江模拟)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN LAN于点N,且AB=8, MN=3,则AC的长为 () A.12 B.14 C.16 D.18 ⊙模型四直角三角形构造斜边上的中线 4.(2024·大庆模拟)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC, ∠BAE=15°，则∠AE0= ⊙模型五倍长中线构造法 5.(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB=5,AC=7,则中线AD的取值范围是 中考集训 [答案P20] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.(2024·音迁)若等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 2.(2023·贵州)有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m,则底边上 的高是 A.4m B.6 m C.10m D.12m B 2题图 4题图 3.(2023·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+V2a-b-3+1c-3V21=0,则△ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,点D在AB的延长线上，且CD=AB,则BD的长是 A.10-2 B.6-2 C.22-2 D.22-6 -76— 5.(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E, DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 () A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9 :B: B 5题图 6题图 6.新法(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A,B,C,D,E 均在小正方形的顶点上，线段AB,CD交于点F,若∠CFB=a,则∠ABE等于 () A.180°-a B.180°-2a C.90°+a D.90°+2a 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(2023·新疆)如图，在△ABC中，若AB=AC,AD=BD,∠CMD=24°，则∠C= D B B D 7题图 8题图 9题图 10题图 8.(2024·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= 9.(2024·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC =3,则BD= 10.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠x=60°，点B,C表示 的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. 11.传统文他(2023·安徽)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计 算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出 了一个结论，如周.AD是锐角三角形BC的高.则BD=号C+4份RcAC当AB=7,BC=6,AC= 5时，CD= 弦e) 勾a 股O D C 1山题图 12题图 12.传统交他(2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边 长分别为a,b,斜边长为c.若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 -77 三、解答题（共40分） 13.(12分)(2023·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC 的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE. 13题图 14.(13分)(2023·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上，连接CE. (1)求证：∠E=∠ECD: (2)若∠E=60°，CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状. E 14题图 15.(15分)(2024·长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA, 连接AE. (I)求证：∠B=∠ACB: (2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积 D C 15题图 -78-见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 第15讲 一般三角形及其性质 12.(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， 基础集训 ∴∠CBD=∠EBD. 1.C ∵DE//BC, 2.-3<a<-2 ∴∠CBD=∠EDB, 3.66 4.D 5.B 6.B 7.35° ∴∠EBD=∠EDB. 8.1 [解析]如答图，过点D作 DF⊥AC于点F,∵AD 平分∠BAC,DEIAB,∴ DF=DE=1,: SAc=2AC (2)解：CD=ED.理由如下： ∵AB=AC,∴∠C=∠ABC ∵DE//BC, ·DF=2×2×1=1 ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, ∴∠ADE=∠AED, ∴. AD=AE,∴ CD=BE. A 由(1)得∠EBD=∠EDB, ∴ BE=DE,∴ CD=ED.E F 第16讲 特殊三角形 B D C 基础集训 8题答图 1.A 2.6 3.D 4.C 5.A 6.D 7.B 9.解：∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°, 8.x2+22=(x+0.5)2 . ∠BAD=2∠BAC=30. 微专题2 角平分线的常考模型 1.C∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°,∴∠B=50°, ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=100°. 2.证明：如答图，在AB上取点E,使得AE=AC, 在△AED和△AGD中， 综合集训 1.C 2. B 3.C[解析]如答图，过点0作0Q⊥MN,则∠COQ= ∠D0Q=90°.又∵∠A0Q=∠BOQ(提示：入射角等于 反射角),∴∠BOD=∠A0C=35°.又∵PD⊥CD, ∴∠OBD=90°-∠BOD=55°??选C. ∴△AED≌△ACD(SAS), ∴∠AED=∠C,ED=CD. ∵∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE, ∴∠B=∠BDE, ∴BE=DE, ∴. AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD. Q A B A C刀 M 0 N D 2 3题答图 E 4.C [解析]∵DE是△ABC的中位线，BC=6,∴ DE// BC,DE=3,∴△DEF∽△BMF,∴B=∵DF= CB D 2题答图 2BF,m=2,: MB=2,:CM=BC+BM=5 3.4 4.C 5.1.5 微专题3 特殊三角形中的分类讨论 5.B [解析]∵AE//CD,∴∠1=∠2=35°.∵CA平分 ∠BCD,∴∠BCD=2∠1=70°.又∵∠D=60°,∴∠B =180°-∠BCD-∠D=50°% 1.100° 2.B 3.D [解析]当3和2为两直角边长时，第三边长为 √13;当3为斜边长，2为直角边长时，第三边长为√5. 6.B 7.4(大于2小于8的数即可)8.13 9.18 综上，第三边长为√5或√13.故选D. 10.55 [解析]∵ DE//BC,∠BDE =120°,∴∠B= 180°-∠BDE=60°.∵FG//AC,∠DFG=115°,∴∠A =180°-∠AFG=65°,∴∠C=180°-∠A-∠B =55°. 4.5 或号 微专题4 中点常考模型 1.号 2. B 3.B 4.30° 5.1<AD<611.12:15:10 —19— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 中考集训 2ab=96.∴b=16,∴每个直角三角形的面积为1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 13.证明：如答图，∵BD为等边三角形ABC的中线，6.C [解析]如答图，取格点G,H.易知GD=EH=1,CG ∴BD⊥AC,∠1=60°,∠3=30°. ∵BD=DE,∴∠E=∠3=30°% = BH=4,∠CGD=∠BHE=90°,∴△CGD≌△BHE, ∴∠GCD=∠HBE.∵CG//BD,∴∠CAB=∠ABD. ∵∠CFB=∠CAB+∠GCD=α,∴∠ABD+∠EBH=α, ∴∠ABE = ∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+α.故 ∵∠2+∠E=∠1=60°,∴∠2=30°=∠E, ∴CD=CE. A 选C. D 6题答图 7.52 [解析]∵AB=AC,AD=BD,∴∠DAB=∠B=∠C. ∵∠B+∠C+∠DAB+24°=180°,∴∠C=52°% 8.3 [解析]∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD= 5,∴ AB=2CD=10(依据：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半),∴BC=√102-82=6.∵E为AC 的中点，D为AB的中点，∴ DE是△ABC的中位线， ∴.DE=_BC=3(依据：三角形中位线的性质). 9.3-√3 [解析]如答图，过点A作AH⊥BC于 H. ∵△ABC是等边三角形，∴. AB=AC=BC=6,∠BAC= 60°.∵AH⊥BC,∴ BH=3(提示：等腰三角形“三线合 一”),AH=3√3,∠HAC=30°,∴∠HAE+∠EAC=30°% ∵∠DAE=30°,∴∠DAH+∠EAH =30°,∴∠DAH = ∠EAC(提示：等量代换),∴ tan∠DAH= tan∠EAC= 3,.DH=AH=、3,:BD=BH-DH=3-3. A B D E CH 9题答图 10.2 [解析]∵点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm, ∴ BC=3-1=2(cm).∵∠α=60°,直尺的对边平 行，∴∠ACB=∠α=60°.又∵∠A=60°,∴△ABC是 等边三角形，∴ AB=BC=2 cm 11.1 [解析]∵ AB=7,BC=6,AC =5,∴ BD= (Bc+A-C)=2×(6+76)=5,.CD=1. 12.96 [解析]由题意知，a2+b2=c2,b-a=4,c=20, ∴.a2+(a+4)2=202,解得a=12或a=-16(舍去), 3 B C E 13题答图 14.(1)证明：∵AD//BC,∴∠EAD=∠B. ∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D, ∴BE//CD,:∠E=∠ECD (2)解：等边三角形. 15.(1)证明：∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS), ∴∠B=∠ACB (2)解：∵△ABD≌△ACD,AB=5,∴AC=AB=5. ∵CE=CA,∴CE=5. ∵AB=5,AD=4,AD⊥BC, ∴BD=√AB2-AD2=3. ∵BD=CD,∴ CD=3, ∴ BE=BD+CD+CE=3+3+5=11, DE=CD+CE=3+5=8, ∴.AE=√AD2+DE2=√42+82=4√5, 则△ABE的周长为AB+BE+AE=5+11+4√5=16 +4√5, SAme=2BE·AD=2×11×4=22. 第17讲 全等三角形 基础集训 1.A 2.∠A=∠D(答案不唯一) 3.证明：∵B是线段AC的中点， .∴AB=BC 又∵AD//BE,BD//CE, ∴∠A=∠EBC,∠DBA=∠C, ∴△ABD≌△BCE. —20—