第二章 方程(组)与不等式组(精讲本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（齐齐哈尔专版）

数学·精讲本 第二章 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及其应用 《考点梳理·夯基础》 客案73 贵点①方程的有关概念 边，常数项移到方程的另一边（移项必须 1.方程：含有团 的等式叫做方程 变号)； 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的② (4)合并同类项：把方程化成10 (a≠0) 叫做方程的解， 的形式： 3.等式的基本性质 (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的系数 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， a,得到方程的解Ⅲ 结果仍相等， 者点③二元一次方程（组）及其解法 如果a=b,那么a±c=③ 1.二元一次方程：含有四 个未知数，并且 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不 含有未知数的项的次数都是☒ ,像这样 为0的数，结果仍相等。 的方程叫做二元一次方程 如果a=b,那么ac=④ :如果a=b,那 2.二元一次方程组：方程组中有两个未知数，每个 含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个 么是=同 (c≠0) 方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 香点②一元一次方程及其解法 3.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组 1.一元一次方程：只含有⑥ 个未知数 的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组 (元)，未知数的次数都是☑ ,等号两边 的解。 都是整式，这样的方程叫做一元一次方程：它的4.解二元一次方程组的基本思想是4 ,使 一般形式为圆 (a,b是常数，且a≠0). 之转化为固 方程，消元的方法有G 2.解一元一次方程的一般步骤 消元法和加减消元法， (1)去分母：方程中未知数系数有分母时，方程 考点④一次方程（组）的应用 两边都乘各分母的⑨ (不含分母的 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 项也要乘)： 找等量关系 实际问题 方程问题 设未知数，列方程（组） (2)去括号：方程中有括号时，先去括号（括号外 的符号是负号，要变号)： 检验 实际问题的解 方程的解 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的 (符合实际意义) 见业图标合抖音微信门码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 第二章方程（组）与不等式（组） 2.列方程（组）解应用题的常见类型 续表 类型 数量间基本的相等关系 类型 数量间基本的相等关系 相遇问题 路程=速度和×时间 利润=售价一进价=进价×利润率； 打折销售 甲速度>乙速度，同时不同地： 售价=标价×折扣： 问题 甲的时间=乙的时间： 销售总额=单件售价×销售数量 行 甲的路程一乙的路程=距离差 程 追及问题 1,工作总量=工作效率×工作时间= 甲速度>乙速度，同地不同时： 问 甲的时间=乙的时间-时间差： 工程问题 各部分工作量之和： 题 甲的路程=乙的路程 2.常把工作总量看作“1” 顺流速度=静水速度+水流速度： 水中航行 设a,b分别为一个两位数的个位、十位 逆流速度=静水速度-水流速度 数字问题 上的数字，则这个两位数可表示为10 浓度问题 溶液=溶质+溶剂 (跨学科) 溶质=浓度×溶液 a 窖案73 《实战演练·品方法》 例（齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备 例2 ,(沈阳)已知方程组 2x+3y=14则x-y的 将生产的棕子装入A,B两种食品盒中，A种食 lx+4y=12. 品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个 值是 粽子，若现将200个粽子分别装人A,B两种食 A.1 B.2 C.4 D.5 品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不 同的分装方式有 温馨提示 请完成《精练本1》P13-18 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 第6讲 一元二次方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①一元二次方程的概念及解法 ⑥ 回 ,还可以用图象法求一 1.概念：等号两边都是整式，只含有□ 元二次方程的近似根. 未知数（一元），并且未知数的最高次数是② 解法 适用情况 方程的解 (二次)的方程，叫做一元二次方程，一般 直接开 能化成x2=P或(x+ x=±P 形式是ax2+bx+c=0(a≠0). 平方法 m)2=P的形式(P≥0) 或x=±√p-n 是分点裙>一 适用于所有一元二次 在一元二次方程的一般形式中要注意a≠ -b±y6-4ac 公式法 方程，化为一般形式 2a 0.当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次 ux2+bx+c=0(a≠0) (b2-4ac≥0) 方程.如关于x的方程(m-1)x2+2mx+1=0. 能化成(x+h)2-k的 当m≠1时，才是一元二次方程，当m=1时，就 配方法 x=±瓜-h 形式（≥0）】 是一元一次方程了. 因式分 能化成(x-a)(x-b) x1=0,2=b 2.解法：解一元二次方程的基本思路是3 解法 =0的形式 基本解法有④ 、固 见业图倾合抖音/微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 9 数学·精讲本 一提分点拔 ②设a为原来的量，x为平均增长（降低）率， ①用公式法解一元二次方程时应注意： b为增长（降低）后的量，n为增长（降低）的 (1)要把方程化为一元二次方程的一般形式： 次数，则a(1±x)”=b. (2)将a,b,c代入公式时应注意其符号； (2)利润问题 (3)若b2-4ac≥0，则代入求根公式，若b2 ①利润=售价-进价： 4ac<0,则原方程无解. ②方程两边不能随便约去含有未知数的因式 2利润率=利润×100%. 进价 如-2(x+4)2=3(x+4)中，不能随便约去 (3)面积问题 (x+4). I.如图①，设空白部分的宽为x,则S= ③当方程有等根时不能出现书写错误.如(x+ (a-2x)(b-2x）: 1)2=0,它的两个根可以写成x1=x2=-1,不 Ⅱ.如图②，设空白部分的宽为x,则S影= 能写成x=-1. (a-3x)(b-2x): 雪点2)一元二次方程根的判别式 Ⅲ.如图③，设阴影部分的宽为x,则S= 1.判别式与根的关系 (a-x)(b-x): 根的判别式为b2-4ac,用“△”表示，△=b2-4ac. V.如图④，设阴影部分的宽为x,则S白= 当△>0时，方程有⑧ 的实数根： (a-x)(b-x). 当△=0时，方程有回 的实数根： 当4<0时，方程回 实数根。 2.根与系数的关系（选学内容） 图② 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，则x1+x2=回 ,x2= 回 图3 图④ 麦直的一元二次方程的实际应用 (4)单循环球赛问题：单循环球赛总场数= 1.一般步骤：审、设、列、解、验、答。 n(n-1(n为参赛球队总数)， 提分点拨 2 检验时既要检验所求结果是否为所列方程 (5)握手问题：握手总次数=n,-山(n为参与 的解，还要检验是否符合实际意义 2 握手的总人数) 2.实际问题常见类型 (6)互赠礼物问题：互赠礼物总份数=n(n-1) (1)增长率问题 ①增长率=增长量 (n为参与互赠礼物的总人数). 基础量 ×100%; 见业图栋合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧 第二章方程（组）与不等式（组） 《实战演练·品方法》 答案73 例（陕西）在20世纪70年代，我 分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线 国著名数学家华罗庚教授将黄金 段BE的长为 米 分割法作为一种“优选法”，在全 圆（成都）若一个直角三角形两条直角边的长分 国大规模推广，取得了很大成果 别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数 如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框 根，则这个直角三角形斜边的长是 ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金 温馨提示 请完成《精练本1》P19-24 第7讲 分式方程及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 麦点①分式方程及其解法 奢点②分式方程的实际应用 1.分式方程：分母中含有四 的方程 1.一般步骤 2.解分式方程的一般步骤 审题→设未知数一→找等量关系一→列分式方程→ 去分母 解分式方程→双检验→作答 分式方程乘 →整式方程 提分点携> 解整式方程 检验 解分式方程实际应用问题，最终结果一定 代人固 要进行双检验：(1)检验是否是分式方程的解； 最简公分母为0 a是分式方程④ (2)检验是否符合实际意义. 最简公分母不为0 →a是分式方程的解 2.常见类型及关系式 提分点透> ①分式方程的增根是去分母后的整式方程的 (1)工程问题：工作效率=工作总量 工作时间 根，也是使分式方程的最简公分母为0的根 总价=数量 (2)购买（盈利）问题：单价 ②分式方程无解，可能是整式方程的解使得最 简公分母为0，也可能是去分母后的整式方 (3)行程问题：时间=路程 速度 程无解。 答案73 《实战演练·品方法》 2 (齐齐哈尔)若关于x的分式方程 x+2 式方程~！ =·,-2的解是负整数，则所有满 y+1y+1 =+2m的解大于1，则m的取值范围是 足条件的整数a的值之和是 x2-4 4.-26 B.-24 (重庆)若关于x的一元一次不等式组 C.-15 D.-13 x-1≥4x-1 3'的解集为x≤-2，且关于y的分 5x-1<a 温馨提示 请完成《精练本1》P25-301 见业图倾合抖音微信扫码 对话中考安习助手考点攻克提分无忧◆。儿 数学·精讲本 第8讲 一元一次不等式（组）及其应用 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①不等式的基本性质 2.几种常见不等式组的解集 性质1：若a>b,则a±c□ b±c. 类型 图示 口诀 解集 (其中a<b) 性质2：若a>b,c>0,则ac>be或g>2 c 同大取大 ④ x>b 性质3：若a>b,c<0,则ac回 bc或a 同小取小 x <a b r<b 大小小大 固 考点2》一元一次不等式的解法及其解集表示 x<h 中间找 1.解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项 大大小小 无解 >b 找不到 →系数化为1. 者点④一元一次不等式的实际应用 2.解集在数轴上的表示 1,列不等式解应用题的一般步骤： 解集 在数轴上表示 总结 (1)审清题意： x<a 0在 方向：小于向 (2)设未知数； 左，大于向右： (3)找出数量关系列不等式； x>a 0 边界：“≤”“≥“ (4)解不等式； 为实心圆点， x≤d 0 (5)检验并写出答案， “<”“>”为空 2.解决不等式的实际应用题时，常用关键词与不等 x≥a 心圆圈 号的对照表： 考点③一元一次不等式组的解法及解集表示 常用关键词 符号 大于，多于，超过，高于 回 1.解法步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解 小于，少于，不足.低于 回 至少，不低于，不小于，不少于 圆 集，再在数轴上表示出各不等式的解集，然后利 至多，不超过，不高于，不大于 回 用数轴或根据口诀确定不等式组的解集， 2 见业图标号抖音微信码对话中考复习帅手考点攻克提分无忧。 第二章方程（组）与不等式（组） 2 《重摊研析·理要点》 答案73 置魔高、方案设计问题的实际应用 本巩固训练链接至《精练本1》32T3>之 典例2024年4月25日20时58分57秒，神舟十八号载人飞 船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学到当 地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A,B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10 元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量 心思维导引 相同. (1)找准等量关系，正确列出分式方程： (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ (2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于 (2)根据各数量之间的关系，正确列出 14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买 元一次不等式组： 方案？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折 】(3)根据各数量之问的关系，找出和（购买 优惠，B款每件让利m元，采购人员发现(2)中的所有购 资金)关于a(A款文化衬衫件数)的函数 买方案所需资金恰好相同，试求m值 关系式 见业图倾合抖音微信扫的 对话中考安习助手考点攻克提分无忧◆。3 R 数学·精讲本 组踪训练 北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A,B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润= 销售价-进货价) 类别 A款钥匙扣 B款钥匙扣 价格 进货价（元件） 30 25 销售价（元件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数： (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和 销售价都不变)，且进货总价不高于2200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销 售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调 查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天 销售利润为90元？ 温馨提示 请完成《精练本1》P31-36 4 见业图梅日抖暗微信鸣对话中考复习助手考点攻克提分无忧参考答案与解析 参芳答案与解析 第一章 数与式 第二章 方程（组）与不等式（组）】 第1讲实数及其运算 第5讲 一次方程（组）及其应用 考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 四0☑无限不循环小数图0④实数固大 ⑥互为相反数☑-a因0回相等⑩原点四0 回未知数回未知数的值固b±c ④e 固6 ☑1B1四10固6.5@0.3137大区绝对值 同一71图ax+b=0 ⑨最小公倍数0=b 回绝对值网0团减去回相反数☒正四负 因倒数b+a四a+(b+c)）ba2四a(b) 回x= b 2两314消元固一元一次G代入 网ab+ac3团负数网正数网-13团1351 【实战演练·品方法】 实战演练·品方法】 例1 C例2B 例1B例2解：原式=12 第6讲 第2讲数的开方及二次根式 元二次方程及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础 ▣一②2团降次 4用直接开平方法 团配方法 四a②'a图±8④8固4回因数或因式 回公式法☑因式分解法图两个不相等回两个相等 回a图-a@≥0> 四非负数20 【实战演练·品方法】 四没有回-名四9 例1B 【实战演练·品方法】 例2375 例1(5-1)例2 27 300 300 [解析] 3×2×5×2×5 3 第7讲 分式方程及其应用 n =10 考点梳理·夯基础 是大于1的整数，一 300=10n 3 >1.n为正整数 工未知数 四最简公分母 图最简公分母④增根 【实战演练·品方法】 n的值可以为3,12,75.∴.n的最小值是3，最大值是75. 例1m>0且m≠1 例2D 第3讲代数式与整式 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ▣a(1±10%)☑0.75a(1+x%)☒(ax+by) 1> ②<图< ④x>b圆a<x<b回> ④指数固系数回ab回相乘回指数 7<≥⑨ 回m+mb国ac+ad+bc+bd①a2-b四a2±2ab+ 重难研析·理要点】 3m(a+b-c)4平方差固完全平方 典例 解：(1)设B款文化衫每件x元， 【实战演练·品方法】 根据题意可得，500-400.解得x=40, 例12[解析]，1<2<2,1<3-5<2 x+10 :3-2的整数部分为1，小数部分为b, 经检验，x=40是原分式方程的解，并且符合题意 a=1,b=3-2-1=2-2, x+10=50. 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元 ∴.(2+2a)·b=(2+2)(2-12)=2.故答案为2. (2)设购进A款文化衫a件，B款文化衫(300-a)件，根 例24[解析]m2+n2+10=6m-2n, ,.m°+n°+10-6m+2n=0. 据题童可得十830洲-0240： 即(m-3)2+(n+1)2=0 解得275≤a≤280. .m=3,n=-1,.m-n=3-(-1)=4 a取正整数..a=275,276.277.278.279.280 第4讲分 式 ∴一共有六种方案 考点梳理·夯基础】 (3)设购买资金元， □B0网A=0且B≠0☒公因式 ④最简 固最简 e=50X0.7+(40-m)(300-a) 回同分母 回货图兴 回 =(m-5)a+12000-300m. ·(2)中所有购头方案所需资金相同 【重难研析·理要点】 ,与a的取值无关，，m=5 跟踪训练 典例2024 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题 跟踪训练 意，得厂+y=30. 2 、2 30x+25=850.解得=20. 1y=10. 解：原式= (+1)÷ 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件 x(x+1) (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥 (x+1)(x-1)=2 匙扣.依题意，得30m+25(80-m)≤2200，解得m≤40. x(x-1) .由「2(x一1）<x+1·可得该不等式 15x+3≥2x 设再次购进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1≤x<3, 的总利润为越元， 该不等式组的整数解为-1,0、1,2 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m）=3m+960 当x=-1.0,1时，分式无意义，∴x=2 3>0,w随m的增大而增大 把x=2代入得，原式= 2 ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960= 2=2 1080,此时80-m=80-40=40. 见业图倾合抖音微信码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧 3 忍数学·精讲本 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能 第11讲反比例函数 获得最大销售利润，最大销售利润是1080元 考点梳理·夯基础】 (3)设B款钥匙扣的售价定为每件元，则每件的销售 I02>3< ④减小固增大回原点(0.0) 利润为(a-25)元，平均每天可售出4+2(37-a)=(78 重难研析·理要点】 -2a)件 典例解：(1)ABLy轴，∴，∠AB0=90 依题意，得(a-25)(78-2a)=90 AB 1 'tan∠AOB= 整理，得a-64a+1020=0,解得a=30,a,=34. 20B=2 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙 AB=2,0B=4,∴A(2,4) 扣平均每天销售利润为90元 :点A在反比例函数y=(x>0)的图象上， 第三章函数 第9讲平面直角坐标系及函数 【考点梳理·夯基础】 六k=2×4=8反比例函数的解析式为y=8 ①(-，+)☑(+，-)圆>④>固<回< (2)如答图，过点A作AE⊥x轴于点E ☑纵图横回bl西lal回a+ .·∠AB0=∠BOE=∠AE0=90°. .四边形ABOE是矩形， ☒√(y-为)+(1-x2)了3×4解析式法 OE=AB=2.0B=AE=4. 15x≠216x≥017x≥0且x≠118x>0 ∠AD0=45°，.△AED是等腰直角三角形 实战演练·品方法】 .DE=AE=4. 例1B[解析]连接BD,在菱形ABCD中，∠A=60°， .0D=0E+DE=2+4=6,.D(6,0). ·△ABD为等边三角形. 设直线AD的解析式为y=:+b(≠0) 设AB=a,△ABD的面积为会，2 6。解得心6. .直线AD的解析式为y=-x+6, 由题图②可知，△ABD的面积为33， 8 0=35,解得a=26 点A,C是反比例函数y= 和一次函 数y=-x+6的交点， 例2(4,6)[解析]连接OB,OB',由位似可知点0，B,B 共线.由“四边形OA'BC的面积是四边形OABC面积的 联立少=8 4倍”可知OB=2OB.又因为点B在第一象限，点B为 得子或 1y=2. y=-x+6, OB的中点，结合B(2,3)可知，点B的坐标为(4,6). A(2,4),∴.C(4,2) 第10讲 一次函数及其应用 跟踪训练 【考点梳理·夯基础】 解：(1)如答图，过点D作DF⊥x轴于 四k≠0☑0图b 国- 点F,过点C作CG⊥x轴于点G. 固减小 回y=(x+m)+b回y=(x-m)+b “反比例函数y=点的图象经过点 回y=c+b-m四(-冬0) D(-6,2), 图y=kx+b+m 【重难研析·理要 6=2,解得%3=-12. 典例解：(1)120060 (2)90080015 反比例函数的解析式为y=-凸 答图 (3)设直线M的解析式为y=:+n(k≠0)， DE∥OC,.∠DEA=∠COA 由题意得/(15.00).N(20.800).则 又·∠DME=∠CMO,∴.△DAE∽△CAO, {”80:解得10 AD=AE=DF=1 2 1n=1200. 1C-A0=CG=3C6=3GG=6. .线段MN的解析式为y=-20x+1200(15≤x≤20). 当)=6时，-12 6.解得x=-2, (4)出发后第8分钟和第分钟。 点C的坐标为(-2,6) 跟踪训练 将点D(-6,2),C(-2,6)分别代入y=kx+b中. 解：(1)120 (2)出租车的速度：1=480÷4=120(km/h). 得{处66解得店8 b=8. 货车的速度：=120年 -=80(km/h). “,一次函数的解析式为y=x+8. (2)对于y=x+8, 当货车停下来开始装货时，两车相距： 当x=0时，y=0+8=8: 480-180-120=180(km). 当y=0时，x+8=0,解得x=-8, 当货车装完货物后再次开始出发时两车相距120km,所 点A,B的坐标分别为(-8,0)，(0,8) 以货车装货的时间为(180-120)÷120=0.5(h).货车 A038=3,解得A= AE I AE I 3 继续出发子h两车相遇，所以货车再次出发后的速度： 120÷2 Saa=Saw-SaE-S=子00B-A -120=60(km/h). DF (480-120)÷60=6(h). 20B·0G= 2x8x8-1 3x2 2×8x2=64 所以点F的横坐标为1.5+0.5+6=8， 即F(8,0).∴.B(2,120),G(8.480), 即四边形OCDE的面积为4 ∴直线BG的解析式为y=60x(2≤x≤8)， 微专题1与双曲线上的点有关的问题 (3h和停 17 1D22364C5号 6.C7.128.69.C10.3 见业图标合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。