（决胜中考）二次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习

（决胜中考）二次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•通州区校级月考）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（1，2），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则当a﹣b+c的值最小时，该二次函数图象经过（　　）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 2．（2024秋•朝阳区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表： 当y＜8时，则x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5 3．（2024•福建模拟）已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，则y3＞y2＞y1 B．若a＞0，则y1＞y3＞y2 C．若a＜0，则y1＞y3＞y2 D．若a＞0，则y2＞y1＞y3 4．（2024秋•平城区校级月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+2 5．（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 6．（2024•谯城区二模）一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0 8．（2024•安阳模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二．填空题（共8小题） 9．（2024•越秀区校级三模）若抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　 　． 10．（2024•无锡模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　 　． 11．（2024春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　 　． 12．（2024•邯郸二模）在平面直角坐标系中，有直线l：y＝m（x+4）﹣2（m≠0，m为常数）和抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）（a≠0，a为常数） （1）直线l经过的定点坐标为 　 　； （2）若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是 　 　． 13．（2024秋•新城区校级月考）如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为　 　，小孩将球抛出了约　 　米（精确到0.1m）． 14．（2024•柯桥区模拟）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则m的取值范围是 　 　． 15．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 　． 16．（2024•兴隆台区三模）如图，抛物线y＝x2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•南沙区校级月考）已知：二次函数y＝a（x﹣3）2+1的图象经过点（4，3）． （1）求a的值； （2）判断点（5，9）是否在此二次函数图象上． 18．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 19．（2024•汇川区一模）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上． （1）若m＝2，n＝4， ①求抛物线的解析式； ②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围； （2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣2，求a的值． 20．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 21．（2023秋•苏州期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为t（s）． （1）若P、Q两点的距离为时，求t的值？ （2）当t为何值时，△BPQ的面积最大？并求出最大面积． 22．（2024•垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 23．（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　 　，直接写出满足的函数关系式：　 　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ （决胜中考）二次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•通州区校级月考）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（1，2），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则当a﹣b+c的值最小时，该二次函数图象经过（　　）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 【解答】解：当点B、C、D三点在抛物线上时， ，得：， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣4）+5＝10； 当点A、C、D三点在抛物线上时， ，得：， ∴； 当点A、B、D三点在抛物线上时， ，得：， ∴； 当点A、B、C三点在抛物线上时， ，得：a＝﹣1，b＝2，c＝1 ∴a﹣b+c＝﹣1﹣2+1＝﹣2； ∵． 故选：D． 2．（2024秋•朝阳区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表： 当y＜8时，则x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5 【解答】解：根据表格可知抛物线经过点（1，2），（3，2） ∴对称轴为， 设抛物线经过点（a，8）， 则， 解得：a＝4， 观察表格发现：当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大， ∴当y＜8时，x的取值范围是0＜x＜4． 故选：A． 3．（2024•福建模拟）已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，则y3＞y2＞y1 B．若a＞0，则y1＞y3＞y2 C．若a＜0，则y1＞y3＞y2 D．若a＞0，则y2＞y1＞y3 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣ax2+4ax+c， ∴对称轴是直线x＝﹣＝2． 若a＜0，则﹣a＞0， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y1＞y3＞y2，故A错误，C正确． 若a＞0，则﹣a＜0， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大 ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y2＞y3＞y1，故B、D错误． 故选：C． 4．（2024秋•平城区校级月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+2 【解答】解：根据题意得到新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2． 故选：C． 5．（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 6．（2024•谯城区二模）一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）， ∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m， ∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x＝＝， 当a＞0时，当x1+x2＜1时， ∴＜， ∴y1＞y2， ∴y1﹣y2＞0， ∴a（y1﹣y2）＞0； 当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时， ∴， ∴当﹣＜时，y1＜y2， 则a（y1﹣y2）＞0； 当＞时，y1＞y2， 则a（y1﹣y2）＜0； 故选：B． 8．（2024•安阳模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 所以， 即2a﹣b＝0． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零， 所以x＝﹣3时，函数值小于零， 则9a﹣3b+c＜0． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， 所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2﹣a+bm+b≤0， 所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0． 故④正确． 由函数图象可知， 当x＝1时，函数值小于零， 则a+b+c＜0， 又因为b＝2a， 所以3a+c＜0． 故⑤正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•越秀区校级三模）若抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　2　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+ax+2的对称轴是y轴， ∴﹣＝0． ∴a＝2． 故答案为：2． 10．（2024•无锡模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是 　﹣3　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴＝m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（2024春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　x1＝﹣2，x2＝4　． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）， ∴关于x的方程ax2＝kx+b的解为：x1＝﹣2，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝4． 12．（2024•邯郸二模）在平面直角坐标系中，有直线l：y＝m（x+4）﹣2（m≠0，m为常数）和抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）（a≠0，a为常数） （1）直线l经过的定点坐标为 　（﹣4，﹣2）　； （2）若无论m取何值时，直线l与抛物线G总有公共点，则a的取值范围是 　a＜0或　． 【解答】解：（1）∵直线l：y＝m（x+4）﹣2，当x＝﹣4时，y＝﹣2， ∴直线l经过的定点坐标为（﹣4，﹣2）； 故答案为：（﹣4，﹣2）； （2）∵抛物线G：y＝a（x+5）（x﹣1）与x轴的交点为（﹣5，0），（1，0）， 当a＜0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点， ∴a＜0满足题意； 当a＞0时， ∵无论k为何值，直线l和抛物线G总有公共点， ∴x＝﹣4时，y2≤﹣2，即16a﹣16a﹣5a≤﹣2， 解得， ∴满足题意； 综上，当a＜0或时，抛物线G与直线l总有公共点． 故答案为：a＜0或． 13．（2024秋•新城区校级月考）如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为　y＝﹣x2+2x+1　，小孩将球抛出了约　16.5　米（精确到0.1m）． 【解答】解：如图，顶点B的坐标为（8，9），图象经过点A（0，1）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+9， 把点A代入解析式得a＝﹣， 因此这个二次函数的表达式为 y＝﹣（x﹣8）2+9． 当y＝0时，﹣x2+2x+1＝0， 解得x1≈16.5，x2＝﹣0.5（不合题意，舍去）； 因此小孩将球抛出了约16.5米． 故填y＝﹣（x﹣8）2+9、16.5． 14．（2024•柯桥区模拟）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则m的取值范围是 　2≤m≤4　． 【解答】解：当x＝1时，y＝3， 抛物线y＝x2﹣mx+m+2的对称轴为直线x＝， ∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小， ∴≥1， ∴m≥2． ∴m+1＞1， 当x＝﹣2时，y＝6+3m，当x＝时，y＝﹣+m+2， ∵﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1， ∴|y1﹣y2|的最大值为6+3m﹣（﹣+m+2）＝+2m+4， ∵|y1﹣y2|≤16恒成立， ∴+2m+4≤16． ∴﹣12≤m≤4， ∵m≥2， ∴2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 15．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　． 【解答】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c）， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：y＝x2+c①， PQ＝2xQ＝6， 故答案为：6； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的解析式为y＝x+b， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②， 联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0， 则x1+x2＝，x1x2＝﹣9， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝， 则|x1﹣x2|＝， 由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°， 则CH＝|x1﹣x2|＝， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°， 故设该直线的表达式为：y＝x+b， 将点C的坐标代入上式得：8＝6+b， 解得：b＝2， 则直线的表达式为：y＝x+2， 由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2， 联立上述两式得：x2＝x+2， 解得：x＝6或﹣1.5， 则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5， 则CH＝7.5×＝． 16．（2024•兴隆台区三模）如图，抛物线y＝x2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　（﹣6，10）　． 【解答】解：延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA． ∴CA＝CM． ∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． 过点C作CQ⊥AM于点Q， ∴QM＝AQ＝8． ∴点M坐标为（14，0）． 由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y＝﹣x+7， 令y＝﹣x+7＝x2﹣x﹣2， 解得x＝﹣6或6（舍去）， ∴x＝﹣6，y＝﹣×（﹣6）+7＝10． ∴点D坐标为（﹣6，10）． 故答案为：（﹣6，10）． 三．解答题（共7小题） 17．（2024秋•南沙区校级月考）已知：二次函数y＝a（x﹣3）2+1的图象经过点（4，3）． （1）求a的值； （2）判断点（5，9）是否在此二次函数图象上． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣3）2+1的图象经过点（4，3）， ∴3＝a（4﹣3）2+1， 解得：a＝2， ∴a的值为2； （2）由（1）可知：二次函数的解析式为y＝2（x﹣3）2+1， 当x＝5时，y＝2×（5﹣3）2+1＝9， ∴点（5，9）在这个二次函数图象上． 18．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：80（1+m）2＝125， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为25%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）] ＝（x﹣70）（700﹣5x） ＝﹣5x2+1050x﹣49000 ＝﹣5（x﹣105）2+6125． ∴当x＝105时，每天的最大利润为6125． ∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 19．（2024•汇川区一模）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上． （1）若m＝2，n＝4， ①求抛物线的解析式； ②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围； （2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣2，求a的值． 【解答】解：（1）①将坐标P（2，4）代入y＝a（x﹣1）2+3， 得a+3＝4， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+3． ②抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴方程是x＝1， 根据题意，得， 解得＜t＜2． （2）当a＞0时，y＞3，与题意不符， ∴a＜0． ∵抛物线y＝a（x﹣1）2+3开口向下，对称轴方程为x＝1， ∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小， ∴当m＝﹣1时，n＝﹣2， 将坐标P（﹣1，﹣2）代入y＝a（x﹣1）2+3， 得﹣2＝4a+3， 解得a＝﹣． 20．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O （0，0）代入函数表达式， 解得：a＝﹣， ∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4， 即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1， ∴将＝1代入y＝﹣x2+2x， 解得：y＝＝1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 21．（2023秋•苏州期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为t（s）． （1）若P、Q两点的距离为时，求t的值？ （2）当t为何值时，△BPQ的面积最大？并求出最大面积． 【解答】解：（1）由题知， BP＝6﹣t，BQ＝2t． 在Rt△BPQ中， PQ2＝PB2+PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2， 又因为P、Q两点的距离为， 所以（6﹣t）2+（2t）2＝（）2， 解得． 又因为0≤t≤4， 所以上述两解都符合题意， 故t的值为2或． （2）由（1）知， ﹣t）， 又因为0≤t≤4， 所以当t＝3时， S△BPQ有最大值为9cm2． 22．（2024•垦利区模拟）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， 解得k＝﹣， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， 过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，﹣t2+t+2），则Q（t，﹣t+2）， ∴PQ＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t， ∴S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）； （3）设M（m，﹣m2+m+2），N（n，0）， 当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2＝﹣m2+m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1， ∴N（1，0）； 当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0＝﹣m2+m+4， 解得m＝，n＝或m＝，n＝， ∴N（，0）或（，0）； 当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2＝﹣m2+m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7， ∴N（7，0）； 综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（，0）或（7，0）． 23．（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　11.25　，直接写出满足的函数关系式：　y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25）， ∴h＝＝3.5， ∴y＝a（x﹣3.5）2+k， ∴， 解得：， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25； 故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， （2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）； ∴d1＝5米； ∵y＝﹣5x2+40x﹣68， 当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0， 解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）； ∴d2＝+4＞5， ∴d1＜d2， 故答案为：＜； （3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12， ∴B（4，12）， ∴c＝12， ∴y＝﹣5t2+12， 当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8， ∵﹣0.8＜0， 即她在水面上无法完成此动作， ∴她当天的比赛不能成功完成此动作． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$