精品解析：福建省宁德第一中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

宁德一中2024—2025学年度九年级数学第一次月考卷 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的是一个由块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 2. 若，则的值是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设a=3x，b=4x，代入计算即可． 【详解】设a=3x，b=4x， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，设出a=3x，b=4x是解题关键． 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接开平方法可进行求解． 【详解】解：， ， 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 4. 如图，， ，，则DF的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解是解题的关键． 5. 学校组织部分学生外出开展社会实践活动，安排给九年级三辆车，小敏与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．则小敏与小慧同车的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后再求出小敏与小慧同车的概率即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小敏与小慧同车的有3种情况， ∴小敏与小慧同车的概率是：，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用列表法或树状图求概率，解题关键是用字母或甲乙丙分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 6. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，E，F是的三等分点，G是的中点，交于点H，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进而可证，得出．结合题意易求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． ∵E，F是的三等分点，G是的中点， ∴，， ∴，即， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键． 8. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1800 摸到白球的频率mn 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.60 A. 试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B. 从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C. 当试验次数 n 为2000时，摸到白球的次数m 一定等于 1200 D. 这个盒子中的白球一定有28个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多次试验的频率估计概率，根据多次实验的频率估计概率可知频率稳定在0.6附近，所以概率等于0.6，再逐项判断即可． 【详解】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6． 因为不能确定试验1500次摸到白球的频率和试验800的频率大小，所以A不正确； 由多次试验可知从盒子中任意摸出一个小球为白球的频率接近0.6，可知概率约为0.6，所以B正确； 当试验次数为2000时，摸到白球的次数可能为1200，所以C不正确； 这个盒子中的白球有（个），所以D不正确． 故选 B． 9. 如图，点C为线段AB的中点，在AC边上取点D，分别以CD，BC，BD为边向上作正方形CDEF，正方形BCGH，正方形BDJI，已知AB为4，若连结AI恰好经过点E，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. 4﹣2 D. 8﹣8 【答案】D 【解析】 【分析】设 先求解 再利用正方形的性质分别表示再证明利用相似三角形的性质列方程，再解方程，从而可得答案. 【详解】解：设 点C为线段AB的中点，AB为4， 正方形CDEF，正方形BCGH，正方形BDJI， 整理得： 解得： 经检验：不合题意，舍去，取 所以阴影部分的面积为： 故选D 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，确定相似三角形，利用相似三角形的性质建立方程是解本题的关键. 10. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可． 【详解】解：在中，， 由射影定理得，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 12. 宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．“手影戏”中的手影属于________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 【点睛】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 13. 如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________． 【答案】120° 【解析】 【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论． 【详解】解：∵ △BPM∽△PAN， ∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN是等边三角形， ∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 14. 如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形地面的一边平行．若使剩余部分的面积为570平方米，则小路的入口宽度为_________． 【答案】1米 【解析】 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设小路的入口宽度为米， 则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴小路的入口宽度为米， 故答案为：米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 15. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴于点，作轴于点，，可证四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即的值最小，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵轴于点，作轴于点， ∴，且， ∴四边形是矩形，如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴求的最小值，即求的最小值，当时，的值最小， ∵点，点， ∴，，且， ∴在中，， 当时，的值最小， ∴是斜边边上的高， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等面积求高，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①；②；③；④当时，则．其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由“SAS”可证△ABM≌△DAN，可得∠ABM=∠ADN=45°，可证DN⊥BD，故①正确；通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠MAE=∠DNE，故②正确；通过证明△AEN∽△AND，可得MN2=2AD•AE，故③错误；通过证明△ANE∽△MDE，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°， ∵将AM绕点A逆时针旋转90°得AN， ∴AM=AN，∠MAN=90°=∠BAD， ∴∠BAM=∠DAN， ∴△ABM≌△DAN（SAS）， ∴∠ABM=∠ADN=45°， ∴∠BDN=∠ADB+∠ADN=90°， ∴DN⊥BD，故①正确； ∵∠MAN=∠MDN=90°， ∴点A，点M，点D，点N四点共圆， ∴∠MAE=∠DNE，故②正确； ∵AM=AN，∠MAN=90°， ∴MN2=AM2+AN2=2AN2，∠ANM=45°， ∵∠DAN=∠NAE，∠ANM=∠ADN=45°， ∴△AEN∽△AND， ∴， ∴AN2=AD•AE， ∴MN2=2AD•AE，故③错误； 设AB=AD=a，则BD=， ∵AD=MD=a， ∴BM=（）a=DN， ∴MN2=DN2+MD2=2AN2， ∴AN2=（）a2， ∵点A，点M，点D，点N四点共圆， ∴∠DAN=∠DMN，∠ANM=∠ADM， ∴△ANE∽△MDE， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）（配方法解方程） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： 移项得：， 配方得：， 合并得：， 开方得：， 解得，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形． 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AB=AC， ∴AE=AF， ∴平行四边形AEDF是菱形． 【解析】 【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （2） 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （3）是，Q点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 20. 如图，F为四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若四边形为平行四边形，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质； （1）由两角对应相等的三角形相似得，即可得证； （2）由平行四边形的性质得，由相似三角形的性质得，即可求解； 平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 由（1）知∶， ， ， ， ． 21. 在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． （1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ （2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 【答案】（1） （2）解：选择在线支付购物．理由如下： 选择在线支付购物．记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 在线支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲）， 现金支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙）， 因为在线支付获奖的概率比现金支付获奖的概率大，所以选择在线支付购物． 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）求出去两种支付方式摸一次奖获10元礼金券的概率，比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：该纸盒里装有3个红球和2个白球， 现随机摸出一个球，这个球是红球的概率是． 【小问2详解】 略 22. 2023年11月中国新能源汽车市场火爆。其中问界汽车以一万五千多台的销量与零跑汽车并列新势力第二，仅次于理想汽车，超越了小鹏和蔚来，引起了社会各界的广大关注，在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0．5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． （2）下调后每辆汽车的售价为21万元． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了一元二次方程的应用，设汽车2020的产量为a台，这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据增长率列出方程求解即可，根题意列出方程是解题的关键； （2）本题主要考查了一元二次方程的应用，设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，利润洽为96万元，再根据题意列二元一次方程求解即可，根题意列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设汽车2020的产量为a台，这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x， 由题意可得：，解得：或（不合题意，舍去）． 答：这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时， , 整理可得：，解得：， 因为要尽量让利顾客，所以． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 23. 综合与实践： 数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动． 【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是，则这个三角形是黄金三角形． 【动手操作】如图1是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是，并制作了相同五角星如图2所示，的度数为，且，于是猜测是黄金三角形． 【解决问题】 （1）________°； （2）求证：是黄金三角形； （3）如图3，在中，，，，求的长． 【答案】（1）36 （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴． 设，则， ∴，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， ∴， ∴是黄金三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，理解和运用“黄金三角形”的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质求解； （2）证明，根据相似三角形的性质证明； （3）延长至点D，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，证明等腰是黄金三角形，根据黄金三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1，延长至点D，使得，连接，则． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 由黄金三角形定义可知，等腰是黄金三角形， ∴，即， 解得． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”； （3）若是“倍根方程”，求代数式 的值． 【答案】（1）不是 （2） 证明：∵点在双曲线上， ∴，且 ∴方程化为方程， 则，即：， 解得，， ∴方程是“倍根方程”． （3）代数式的值为或1 【解析】 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据题意将方程化为方程，解方程求得方程的根，根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）根据定义可求出或，代入原式后即可求出答案； 【小问1详解】 解：， ， 解得，， 故一元二次方程 不是“倍根方程”． 故答案为：不是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为和， ∴或， 当时，即时， 原式， 当时，即时， 原式． 故代数式的值为或1． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型． 25. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 【答案】（1）； （2） ，，理由如下： 延长相交于点 ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】()证明，即可得到； ()证明，得到，，延长相交于点，可以证明； ()作于，交的延长线于，首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值即可求解． 【小问1详解】 解： ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为， 由()知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德一中2024—2025学年度九年级数学第一次月考卷 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示的是一个由块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（　　　） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，， ，，则DF的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 9 D. 10 5. 学校组织部分学生外出开展社会实践活动，安排给九年级三辆车，小敏与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．则小敏与小慧同车的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，E，F是的三等分点，G是的中点，交于点H，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1800 摸到白球的频率mn 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.60 A. 试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B. 从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C. 当试验次数 n 为2000时，摸到白球的次数m 一定等于 1200 D. 这个盒子中的白球一定有28个 9. 如图，点C为线段AB的中点，在AC边上取点D，分别以CD，BC，BD为边向上作正方形CDEF，正方形BCGH，正方形BDJI，已知AB为4，若连结AI恰好经过点E，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. 4﹣2 D. 8﹣8 10. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则_______． 12. 宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．“手影戏”中的手影属于________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 13. 如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________． 14. 如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形地面的一边平行．若使剩余部分的面积为570平方米，则小路的入口宽度为_________． 15. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，则的最小值为____________． 16. 如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①；②；③；④当时，则．其中正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）（配方法解方程） 18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 20. 如图，F为四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若四边形为平行四边形，，，求的长． 21. 在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． （1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ （2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 22. 2023年11月中国新能源汽车市场火爆。其中问界汽车以一万五千多台的销量与零跑汽车并列新势力第二，仅次于理想汽车，超越了小鹏和蔚来，引起了社会各界的广大关注，在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0．5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 23. 综合与实践： 数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动． 【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是，则这个三角形是黄金三角形． 【动手操作】如图1是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是，并制作了相同五角星如图2所示，的度数为，且，于是猜测是黄金三角形． 【解决问题】 （1）________°； （2）求证：是黄金三角形； （3）如图3，在中，，，，求的长． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”； （3）若是“倍根方程”，求代数式 的值． 25. 如图 （1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是　 　； （2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）【拓展提升】如图，在（）的条件下，连接，则的最小值为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $